皮亚诺公理的正确性是经过证明的还是凭借经验认为它是对的?

皮亚诺公理第5条,也就是归纳法公理,为什么能说明数系{0.5、1、2、3、...}不是自然数系
也就是说为什么能证明0.5不是自然数.我觉得这个归纳法公理只说明了如何证明一个性质对自然数成立,但这个公理并没有说一个性质对非自然数就未必不成立.

有关[皮亚诺公理]的问题!
0在数学教科书中被认为是自然数,而皮亚诺公理中的（4）1不是任何自然数的后继数,难道1不是0的后继数么?

皮亚诺公理很难理解
皮亚诺公理第5条:任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数1是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n 怎么理解

皮亚诺公理中“0不是任何自然数的后继”怎么理解
有这样一个例子,已知皮亚诺公理的第1条“0是一个自然数”和第2条“如果n是一个自然数,那么n++也是自然数”,考虑由0,1,2,3组成的数系,书中说“在此数系中,3++转回到0”,从而引出皮亚诺公理第3条“0不是任何自然数的后继”.我觉得很难理解,3++怎么会转回到0,而且自然数是无穷的,“0,1,2,3组成的数系”根本就不是自然数系,而且我认为在“由0,1,2,3组成的数系”中,3++运算（结果按常理应该是4）是无法定义的.
1楼的回答想得太多了，书中没有这个意思。就是普通的自然数，没有别的意思。我这里只是想搞明白为什么需要匹亚诺第3公理，这个例子的说法怎么会符合逻辑。书中在说明这个例子时，用了计算机的例子。比如一个二字节的整数，如果从0开始反复增1运算，那么最大到65535，再增1，由于超出记忆容量（2个字节），结果归零。不过我觉得这个东西和书上的例子搭不着边，那是计算机表示的溢出问题，而且溢出时的值可能也不是唯一确定的，和编译器有关，不见得到了65536都回归0。

关于皮亚诺公理的疑问
度娘百科上的“皮亚诺公理条目”是：
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
Ⅰ 0是自然数；
Ⅱ 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a'也是自然数（数a的后继数a‘就是紧接在这个数后面的整数（a+1）.例如,1‘=2,2’=3等等.）
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数,因为满足这两条的有可能不是自然数系统.比如考虑由 0,1 构成的数字系统,其中1的后继为0.这不符合我们对于自然数系统的期望,因为它只包含有限个数.因此,我们要对自然数结构再做一下限制：
Ⅲ 0不是任何自然数的后继数；
但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0,1,2,3,其中3的后继是3.看来,我们设置的公理还不够严密.我们还得再加一条.
Ⅳ如果b、c的后继数都是自然数a,那么b = c；
最后,为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3）,同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理.
Ⅴ 设S⊆N,且满足2个条件（i）0∈S；（ii）如果n∈S,那么n'∈S.则S是全体自然数的集合,即S=N.(这条公理也叫归纳公理,保证了数学归纳法的正确性)
注：归纳公设可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数,因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”,那么满足归纳公设的条件.
若将只考虑正整数,则公理中的0要换成1,自然数要换成正整数.
我对Ⅴ 有疑问,因为我觉得它并不能排除0.3等自然数中不应该出现的数

皮亚诺公理
证明(A+B)*C=A*C+B*C,是只需要保持固定A、B固定,对C进行归纳就可以了,还是需要对A、B、C逐一归纳?为什么?
可是这样怎么能保证当A、C固定时对B的有效性呢？