在四棱锥P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是菱形，求证：平面PAC⊥平面PBD．

（Ⅰ）证明：连接OM，BD，
∵M，O分别为PD和AC中点，
∴OM∥PB，
∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，
∴PB∥平面ACM…．（4分）
（Ⅱ）证明：由已知得PO⊥平面ABCD
∴PO⊥AD，
∵∠ADC=45°，AD=AC=1，
∴AC⊥AD，
∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，
∴AD⊥平面PAC．…..（8分）
（Ⅲ）取DO中点N，连接MN，则MN∥PO，
∴MN⊥平面ABCD
过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，
连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M-AC-D的平面角，
∵MN=1，NE=[1/2]
∴tan∠MEN=2…..（13分）

点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三垂直线定理的合理运用．

（1）证明：∵四边形ABCD为棱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，
又∵BC∥AD，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，
又∵PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
又E，F分别为BC，PC的中点，设AB=BC=CD=DA=2，所以AE=
3，
∵PA=2，
∴A（0，0，0），B（
3，-1，0），C（
3，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（
3，0，0），F（

3
2，[1/2]，1），
∴

AE=（
3，0，0），

点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．

考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便利用已知条件得到空间的线面关系，并且便于建立坐标系利用向量的有关运算解决空间角等问题．

（1）从正四棱锥的8条棱中任选两条，共有C28种不同方法，其中“ξ=π2”包含了两类情形：①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法；②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法，所以P(ξ＝π2)＝4+2C2...

点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

考点点评： 此题重点在于准确理解好题意，还考查了离散型随机变量的定义及其分布列，利用期望定义求出离散型随机变量的期望．

因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，
所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，
故A，C正确，
且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，
故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．
故选B

点评：
本题考点： 棱锥的结构特征．

考点点评： 本题考查学生的空间想象能力，对棱锥的结构认识，是基础题．

（1）过E作EF⊥AB，垂足为F，
∵PB⊥平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD，
又平面PAB∩平面ABCD=AB，EF⊂平面PAB，
∴EF⊥平面ABCD，即EF为三棱锥E-BAD的高，
∵EF∥PB，PE=2EA，PB=1，∴EF=[1/3]，
∵CD⊥BD，梯形ABCD为直角梯形，∴∠A=90°，
∵AB=AD=1，∴V_E-BAD=[1/3]×S_△BAD×EF=[1/18]．
（2）证明：连接AC交BD与G，连接EG，
∵∠A=90°，AB=AD=1，∴BD=
2，∠CBD=45°，
∵CD⊥BD，∴BC=2，
∵AD∥BC，BC=2，AD=1，∴[AG/GC]=[1/2]，
∵PE=2EA，∴EG∥PC，
又PC⊄平面BDE，EG⊂平面BDE，
∴PC∥平面BDE．

点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查线面平行的判定及棱锥的体积．

（Ⅰ）证明：连结AC，交BD于O，连结MO，
∵底面ABCD是正方形，M是PC的中点，
∴O是AC的中点，
∴MO是△APC的中位线，∴MO∥AP，
∵PA不包含于平面BDM，MO⊂平面BDM，
∴PA∥平面BDM．
（Ⅱ）以D原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
设PD=DA=2，∵侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，M是PC的中点，
∴D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1），
∴

DB＝(2，2，0)，

DM＝(0，1，1)，

DC=（0，2，0），
设平面BDM的法向量

n＝(x，y，z)，则

n•

DB＝0，

n•

DM＝0，
∴

点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

（1）证明：∵E是SC的中点，O是底面正方形ABCD的中心，
∴EO∥SA
∵EO⊄平面SAD，SA⊂平面SAD，
∴EO∥平面SAD；
（2）∵EO∥SA
∴直线EO与平面SCD所成的角等于直线SA与平面SCD所成的角
∵SD⊥AD，SD⊥CD，AD∩CD=D
∴SD⊥平面ABCD
∵AD⊂平面ABCD
∴SD⊥AD
∵AD⊥DC，SD∩DC=D
∴AD⊥平面SCD
∴∠ASD为直线SA与平面SCD所成的角
∵AB=SD
∴∠ASD=45°
∴直线EO与平面SCD所成的角等于45°．

点评：
本题考点： 圆锥曲线的几何性质；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

（1）如图，以点B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以BP为z轴，建立空间直角坐标系B-xyz．

设BC=a，则A（3，0，0），P（0，0，3），D（3，3，0），C（0，6，0）
∴

CD=（3，-3，0），

PA=（3，0，-3）
∴cos＜

PA，

CD＞=


PA•

CD
|

PA||

CD|=
9
3

点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题主要考查直线与平面的位置关系、两异面直线所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．

证明：（1）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又PD⊥底面ABCD，则PD⊥AC，从而AC⊥平面PBD；

（2）以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，不妨设PD=1，则DC=1，从而有A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0）P（0，0，1），又G为△PBC的重心，
则G(
1
3，
2
3，
1
3)．由（1）知

AC是平面PBD的法向量，
则AG与平面PBD所成的角θ＝
π
2−〈

AC，

AG＞
易知

AC＝(−1，1，0)，

AG＝(−
2
3，
2
3，
1
3)，
则sinθ＝cos〈

AC，

AG＞＝
2

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得AC⊥BD，PD⊥AC，（2）、（3）的关键是建立空间坐标系，将空间直线与平面的夹角问题转化为向量夹角问题．