二阶常系数线性微分方程的特解该怎么设

y''+5/2y'=5/2x^2
e^(5/2x)(y''+5/2y')=5/2x^2e^(5/2x)
(y'e^(5/2x))'=5/2x^2e^(5/2x)
两边积分：y'e^(5/2x)=∫x^2e^(5/2x)d(5/2x)
=∫x^2d(e^(5/2x))
=x^2e^(5/2x)-∫e^(5/2x)*2xdx
=x^2e^(5/2x)-4/5∫xd(e^(5/2x))
=x^2e^(5/2x)-4/5xe^(5/2x)+4/5∫e^(5/2x)dx
=e^(5/2x)(x^2-4/5x+8/25)+C1
所以y'=x^2-4/5x+8/25+C1e^(-5/2x)
两边积分：y=x^3/3-2/5x^3+8/25x+C1e^(-5/2x)+C2

3、选A 由条件可得关于两个参数的方程组参数之和＝1参数之差＝0 解得，两个参数都为1/2 过程如下图：

性非齐次微分方程的通解=对应齐次微分方程的通解+特解
求解过程大致分以下两步进行：
1、求对应齐次微分方程y''-y=0...（1）的通解,方程（1）的特征方程为r^2-1=0,则r=1,-1 从而方程（1）的通解就是y=ce^x+de^(-x),c、d为待求量,这里还需用到两个边界条件,不知有没有,就是f（0）=a,f‘（0）=b,a、b均为已知,用于带入通解以确定待求量c、d,否则就无法求了.
2、假设第一步中所需条件已知,现在就可以求特解了,构造一个带参数的特解（待定系数法）,带入原方程,根据同类项对比就能解出系数,这里就构造如下待定特y=a0+a1*x+a2*x^2,带入原方程,可解得a0,a1,a2,这样就求出了特解

解题思路：将特解代入原方程，解出未知的参数α，β，γ，这样就可以求得原方程对应的齐次线性微分方程的通解，再得出原方程的通解．

将特解y=e^x+（1+x）e^-x代入原方程得：
e^x+（x-1）e^-x+α（e^x-xe^-x）+β[e^x+（1+x）e^-x]=γe^-x
即：[（β-γ-1）+（-α+β+1）x]e^-x+（1+α+β）e^x=0
∴

−α+β+1＝0
β−γ−1＝0
α+β+1＝0
解得：α=0，β=-1，γ=-2
所以，原方程为：y″-y=-2e^-x，
其特征方程为：r²-1=0
解得：r₁=1，r₂=-1
因此原方程对应的齐次线性微分方程的通解为：y＝k1ex+k2e−x，（k₁，k₂为任意常数）
故原方程的通解为：
y＝k1ex+k2e−x+ex+(1+x)e−x＝c1ex+c2e−x+xex．（c₁，c₂为任意常数）

点评：
本题考点： 二阶常系数非齐次线性微分方程求解．

考点点评： 此题考查二阶常系数非齐次微分方程的通解=二阶常系数齐次微分方程的通解+二阶常系数非齐次微分方程的特解，前者通过特征方程求出．

是说,sinx 可以写成 e^(ax)*sin(bx)的形式,其中a,b是常数

推导过程用到了著名的欧拉公式：

两个实际上是一样的
先看特解部分,是-xe^(2x),两个都相同
之前的通解部分,第一个是c1*e^(3x)+(c2-c1)*e^x,第二个是c1*e^(3x)+c2*e^x
之所以看起来好像不一样,是因为第一个写法是为了让两部分正交,而第二个写法为了看着简便
实际上第二种方法就是用c2替代c2-c1,比如第一种方法当c1=3,c2=7时,第二种方法所对应的就是c1=3,c2=4
因为c的取值范围是复数,所以c1可以写成c1^2,可以写成sin(c1),可以写成c1*c2,怎么写都行

解题思路：先由已知的三个解确定微分方程的两个线性无关解以及特解，然后利用线性微分方程解的结构定理求出通解，最后利用初值条件确定参数．

由线性微分方程解的性质可得，y₁-y₃ 与 y₂-y₃ 为对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个解．
因为　y₁-y₃=e^3x 与 y₂-y₃=e^x 为线性无关的，
故由解的结构定理，该方程的通解为
y=C₁e^3x+C₂e^x -xe^2x．
把初始条件代入可得　C₁=1，C₂=-1，
所以 y=e^3x-e^x -xe^2x．
故答案为 y=e^3x-e^x -xe^2x．

点评：
本题考点： 二阶常系数非齐次线性微分方程求解；线性微分方程解的性质及解的结构定理．

考点点评： 本题考察了线性微分方程解的性质以及解的结构定理，是一个基础型题目，难度系数不大．

特征方程为r^2+1=0,r=±i
所以y1=C1sinx+C2cosx
设特解y2=Axcosx
则y2'=Acosx-Axsinx
y2''=-Asinx-Asinx-Axcosx=-2Asinx-Axcosx
所以-2Asinx=4sinx,A=-2
所以y=y1+y2=C1sinx+C2cosx-2xcosx

@可降阶的二阶微分方程
1,y''=f(x)型的微分方程
此类方程特点是 方程右端仅含有自变量x,只需积分两次便可得到方程的通解.
2,y''=f(x,y')型的微分方程
此类方程特点是 方程右端不显含未知函数y.
作变量代换y'=P（x）
3,2,y''=f(y,y')型的微分方程
此类方程特点是 方程右端不显含自变量x.
作变量代换y'=P（y）
适当运用换元法简化微分方程,方便计算.
@二阶常系数线性微分方程
y''+a1y'+a2y=f(x) （a1,a2为常数）
当f(x)为多项式,P(x)e^(ax),P(x)e^(ax)cosbx,P(x)e^(ax)sinbx,(a,b为实数)
可运用特征方程求特征根解得~
@一般二阶线性微分方程
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
解的叠加原理
常数变易法,（刘威尔公式）