已知函数ft(x)＝(x−t)2−t（t∈R），设a＜b，f(x)＝fa(x)，fa(x)＜fb(x)fb(x)，fa(

解题思路：（Ⅰ）由ft(x)＝

1

1+x

−

1

(1+x)2

(t−x)，知ft′(x)＝−

1

(1+x)2

−

−(1+x)2−(t−x)•2(1+x)

(1+x)4

＝

2(t−x)

(1+x)3

．由此能求出函数f_t（x）在（0，+∞）上的最大值．
（Ⅱ）由S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），知a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂=2ⁿ+1．所以bn＝1−

1

an

＝

2n

2n+1

＞0，由此能够证明对任意的x＞0，不等式bn≥f

1

2n

(x) (n＝1，2，…)成立．

（Ⅰ）∵ft(x)＝
1
1+x−
1
(1+x)2(t−x)，
∴ft′(x)＝−
1
(1+x)2−
−(1+x)2−(t−x)•2(1+x)
(1+x)4＝
2(t−x)
(1+x)3…（3分）
∵x＞0，
∴当x＜t时，f'_t（x）＞0；
当x＞t时，f'_t（x）＜0，
∴当x=t时，f_t（x）取得最大值ft(t)＝
1
1+t． …（6分）
（Ⅱ）证明：由题意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
∴a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）…（5分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2
=2ⁿ+1（n≥3）…（8分）
检验知n=1、2时，结论也成立，
故a_n=2ⁿ+1．…（9分）
所以bn＝1−
1
an＝
2n
2n+1＞0，
令t＝
1
2n＞0，
则f
1
2n(x)＝
1
1+x−
1
(1+x)2(
1
2n−x)，
由（Ⅰ）可知，f
1
2n(x)≤f
1
2n(
1
2n)＝
1
1+
1
2n＝
2n
2n+1＝bn．
∴对任意的x＞0，不等式bn≥f
1
2n(x) (n＝1，2，…)成立．…（13分）

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查数列与不等式的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质和累加求和法的合理运用．易错点是运算量大，容易失误，解题时要注意计算能力的培养．