设f（x）=a•2x−11+2x是R上的奇函数．

（1）∵f（x）是R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x），
即
a•2−x−1
1+2−x＝−
a•2x−1
1+2x，即
a−2x
1+2x＝
1−a•2x
1+2x
即（a-1）（2^x+1）=0
∴a=1
（或者∵f（x）是R上的奇函数∴f（-0）=-f（0），∴f（0）=0．∴
a•20−1
1+20＝0．，解得a=1，然后经检验满足要求．）
（2）由（1）得f(x)＝
2x−1
2x+1＝1−
2
2x+1
设x₁＜x₂∈R，则f（x₁）-f（x₂）=（1-
2
2x1+1）-（1-
2
2x2+1）
=
2
2x2+1−
2
2x1+1＝
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)，
∵x₁＜x₂
∴2x1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x）在R上是增函数
（3）f(x)＝
2x−1
2x+1＝1−
2
2x+1，
∵2^x+1＞1，∴0＜
1
2x+1＜1，
∴

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、指数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于中档题．

（1）∵f（x）是R上的奇函数．
∴f（-x）=-f（x）

1−a2x
1+2x＝
a2−x−1
1+2−x＝
a−2x
1+2x
∴1-a•2=a-2^x
∴a=1
（2）设x₁＜x₂，则2^x₁＜2^x₂
f（x₁）-f（x₂）=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1) ＜0
所以f（x）在R上是增函数．

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，这类问题往往用到待定系数法求参数的值．还考查了函数单调性的判断与证明，一般用定义法或导数．