设f(x)=a•2x−11+2x是R上的奇函数.

乔峰王道2022-10-04 11:39:541条回答

f(x)=
a•2x−1
1+2x
是R上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判定f(x)在R上的单调性.

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唉都没了 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%
解题思路:(1)先由函数是奇函数,利用待定系数法求解.
(2)由(1)求得函数,再用单调性定义来判断其单调性,先任取两个变量,且界定大小,再作差变形看符号.

(1)∵f(x)是R上的奇函数.
∴f(-x)=-f(x)

1−a2x
1+2x=
a2−x−1
1+2−x=
a−2x
1+2x
∴1-a•2=a-2x
∴a=1
(2)设x1<x2,则2x1<2x2
f(x1)-f(x2)=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1) <0
所以f(x)在R上是增函数.

点评:
本题考点: 奇偶性与单调性的综合.

考点点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,这类问题往往用到待定系数法求参数的值.还考查了函数单调性的判断与证明,一般用定义法或导数.

1年前

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设f(x)=
a•2x−1
1+2x
是R上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判定f(x)在R上的单调性.
(3)若对于任意的x∈[-1,1],f(x)-a≥0恒成立,求a的取值范围.
chxzh221年前1
kkcoming 共回答了22个问题 | 采纳率72.7%
解题思路:( 1)由于函数定义域是R,因为f(x)是奇函数,故有f(0)=a−12=0,由此解得a的值.(2)设x1,x2∈R,且x1<x2,可得2x1<2x2,f(x1)-f(x2)=2(2x1−2x2)(2x2+1)(2x1+1)<0,即f(x1)<f(x2),从而可得f(x)是增函数.(3)由于f(x)在[-1,1]上也是增函数,要使f(x)-a≥0恒成立,只要a小于或等于f(x)的最小值,求得f(x)的最小值,可得a的取值范围.

( 1)由于函数定义域是R,因为f(x)是奇函数,故有f(0)=[a−1/2]=0,
解得a=1.…(4分)
(2)f(x)增函数,…(5分)
因为f(x)=
2x−1
1+2x,设设x1,x2∈R,且x1<x2,可得2x1<2x2.
则f(x1)-f(x2)=…=
2(2x1−2x2)
(2x2+1)(2x1+1)<0,即f(x1)<f(x2
所以f(x)是增函数.…(9分)
(3)由(2)知f(x)在R上是增函数,所以f(x)在[-1,1]上也是增函数,
要使f(x)-a≥0恒成立,只要a小于或等于f(x)的最小值.
而f(x)的最小值为f(-1)=-[1/3],
∴a≤-[1/3]…(12分)

点评:
本题考点: 指数函数综合题.

考点点评: 本题主要考查函数的奇偶性、单调性,函数的恒成立问题,属于中档题.

设函数f(x)=a•2x−11+2x是实数集R上的奇函数.
设函数f(x)=
a•2x−1
1+2x
是实数集R上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断f(x)在R上的单调性并加以证明;
(3)求函数f(x)的值域.
男人责任1年前1
rx78ms 共回答了28个问题 | 采纳率89.3%
解题思路:(1)直接根据f(-x)=-f(x),整理即可得到结论.
(2)直接根据单调性的证明过程证明即可.
(3)先对原函数分离常数,再借助于指数函数的最值即可得到结论.(也可以采用反函数的思想).

(1)∵f(x)是R上的奇函数
∴f(-x)=-f(x),

a•2−x−1
1+2−x=−
a•2x−1
1+2x,即
a−2x
1+2x=
1−a•2x
1+2x
即(a-1)(2x+1)=0
∴a=1
(或者∵f(x)是R上的奇函数∴f(-0)=-f(0),∴f(0)=0.∴
a•20−1
1+20=0.,解得a=1,然后经检验满足要求.)
(2)由(1)得f(x)=
2x−1
2x+1=1−
2
2x+1
设x1<x2∈R,则f(x1)-f(x2)=(1-
2
2x1+1)-(1-
2
2x2+1)
=
2
2x2+1−
2
2x1+1=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1),
∵x1<x2
∴2x1<2x2
∴f(x1)-f(x2)<0,
所以f(x)在R上是增函数
(3)f(x)=
2x−1
2x+1=1−
2
2x+1,
∵2x+1>1,∴0<
1
2x+1<1,

点评:
本题考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的最值及其几何意义;函数奇偶性的性质.

考点点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、指数函数的性质等基础知识,考查运算求解能力与化归与转化思想.属于中档题.