双曲线16x2-9y2=144的左、右两焦点分别为F1、F2,点P在双曲线上,且|PF1|•|PF2|=64,求△PF1

SHUN0919ZHANG2022-10-04 11:39:541条回答

双曲线16x2-9y2=144的左、右两焦点分别为F1、F2,点P在双曲线上,且|PF1|•|PF2|=64,求△PF1F2的面积.

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解题思路:双曲线化成标准方程得
x2
9
y2
16
=1
,从而算出F1(-5,0),F2(5,0).再设|PF1|=m,|PF2|=n,由双曲线的定义和余弦定理,结合题意建立关于m、n的方程组,解出F1PF2=600,最后利用正弦定理的面积公式即可求出△PF1F2的面积.

双曲线方程16x2-9y2=144化简为
x2
9−
y2
16=1
即a2=9,b2=16
∴c2=25,解得a=3,c=5,可得F1(-5,0),F2(5,0)…(3分)
设|PF1|=m,|PF2|=n,
由双曲线的定义知|m-n|=2a=6,又已知m•n=64,…(5分)
在△PF1F2中,由余弦定理知
cos∠F1PF2=
|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2
2|PF1|•|PF2|=
m2+n2−(2c)2
2m•n
=
(m−n)2+2m•n−4c2
2m•n=
36+2×64−4×25
2×64=
1
2
∴∠F1PF2=600
因此,△PF1F2的面积为
S△F1PF2=
1
2|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2=
1
2m•n•sin600=16
3…(12分)

点评:
本题考点: 双曲线的简单性质.

考点点评: 本题给出双曲线的焦点三角形中,在已知两条焦半径的积的情况下求三角形的面积.着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、正余弦定理和三角形面积公式等知识,属于中档题.

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16
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,可得a=4,b=3,c=5,从而可求双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程、顶点坐标.

双曲线16x2-9y2=-144可化为
y2
16−
x2
9=1,
所以a=4,b=3,c=5,
所以,实轴长为8,焦点坐标为(0,5)和(0,-5),
离心率e=[c/a]=[5/4],渐近线方程为y=±[4/3]x,顶点坐标(0,±4).

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双曲线16x2-9y2=144
即:x^2/9-y^2/16=1
a^2=9,b^2=16
c^2=a^2+b^2=25
右焦点为:(5,0)
一条渐近线斜率=b/a=4/3
因此,过右焦点的平行线方程为:y=4(x-5)/3
解方程组:
y=4(x-5)/3
x^2/9-y^2/16=1
得:
x=17/5,y=-32/15
所以,交点为:(17/5,-32/15)
双曲线16x2-9y2=144的左、右两焦点分别为F1、F2,点P在双曲线上,且|PF1|•|PF2|=64,求△PF1
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9
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=1
,从而算出F1(-5,0),F2(5,0).再设|PF1|=m,|PF2|=n,由双曲线的定义和余弦定理,结合题意建立关于m、n的方程组,解出F1PF2=600,最后利用正弦定理的面积公式即可求出△PF1F2的面积.

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9−
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16=1
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|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2
2|PF1|•|PF2|=
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2m•n
=
(m−n)2+2m•n−4c2
2m•n=
36+2×64−4×25
2×64=
1
2
∴∠F1PF2=600
因此,△PF1F2的面积为
S△F1PF2=
1
2|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2=
1
2m•n•sin600=16
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所以a=4,b=3,c=5,
所以,实轴长为8,焦点坐标为(0,5)和(0,-5),
离心率e=[c/a]=[5/4],渐近线方程为y=±[4/3]x,顶点坐标(0,±4).

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所以,实轴长为8,焦点坐标为(0,5)和(0,-5),
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所以,实轴长为8,焦点坐标为(0,5)和(0,-5),
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点评:
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9=1,
所以a=4,b=3,c=5,
所以,实轴长为8,焦点坐标为(0,5)和(0,-5),
离心率e=[c/a]=[5/4],渐近线方程为y=±[4/3]x,顶点坐标(0,±4).

点评:
本题考点: 双曲线的简单性质.

考点点评: 本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,确定双曲线的几何量是关键.

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,可得a=4,b=3,c=5,从而可求双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程、顶点坐标.

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9=1,
所以a=4,b=3,c=5,
所以,实轴长为8,焦点坐标为(0,5)和(0,-5),
离心率e=[c/a]=[5/4],渐近线方程为y=±[4/3]x,顶点坐标(0,±4).

点评:
本题考点: 双曲线的简单性质.

考点点评: 本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,确定双曲线的几何量是关键.

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所以,实轴长为8,焦点坐标为(0,5)和(0,-5),
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点评:
本题考点: 双曲线的简单性质.

考点点评: 本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,确定双曲线的几何量是关键.