垂径定理的逆定理是正确的么?

证明：（1）如图1，连接AD，BD，
∵C是劣弧AB的中点，
∴∠CDA=∠CDB，
∴△ADB为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴AE=BE；

（2）如图2，延长DB、AP相交于点F，再连接AD，
∵ADBP是圆内接四边形，
∴∠PBF=∠PAD，
∵C是劣弧AB的中点，
∴∠CDA=∠CDF，
∵CD⊥PA，
∴△AFD为等腰三角形，
∴∠F=∠A，AE=EF，
∴∠PBF=∠F，
∴PB=PF，
∴AE=PE+PB

（3）AE=PE-PB．
连接AD，BD，AB，DB、AP相交于点F，
∵弧AC=弧BC，
∴∠ADC=∠BDC，
∵CD⊥AP，
∴∠DEA=∠DEF，∠ADE=∠FDE，
∵DE=DE，
∴△DAE≌△DFE，
∴AD=DF，AE=EF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DFA=∠PFB，∠PBD=∠DAP，
∴∠PFB=∠PBF，
∴PF=PB，
∴AE=PE-PB；

十三分之九倍根号十三（可以证得OC垂直于BD,则BC的平方等于BE乘以BD,而BD可以求得）.

1 有 ,你可以变换思路 无论P点怎么运动,角PHO都是90度 是垂直的 ,而且OP是固定的 是6 你可以把OP当作一个新圆的直径 H点在这个圆上无论怎么变化 角PHO总是90度 ,令新圆的圆心为M,则MH是固定的,且MH=3 GH=2/3MH=2（三角形重心推论) 那么很显然
答案一定是2
2
明天再写给你

垂径定理是指在圆中垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧.
如圆O中,直径AB垂直弦CD于E点,即：1、AB是直径 2、AB垂直CD 可得：3、弧AD=弧DB 4、弧AC=弧CB 5、AE=EB （上面的5条中,由其中任意2条可得另3条）

垂直于AO的那个弦5^2-3^2=4^2
最短就是8了

我个人感觉只要你自己理清公式
对就是公式要背熟
刚刚开始你当然会觉得圆是个莫名其妙的东西 垂径定理比起圆周角出难题可能性要大
真的 你只要好好背公式都没问题的

如图所示

连接BC,则∠ABC=∠BCD,故弧AC=弧BD

证
我简单写下思路
连AD,AE
∠AFG=∠DAB+∠ADE=(弧DB的度数+弧AE度数）/2,
∠AGF=∠EAC+∠AED=(弧AD的度数+弧EC度数）/2
由已知易得(弧DB的度数+弧AE度数）=(弧AD的度数+弧EC度数）
从而∠AFG=∠AGF,从而AF=FG

垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的实质可以理解为：一条直线,如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦,那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦,(4)平分弦所对的劣弧,(5)平分弦所对的优弧(如图所示)．
如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个,就可得到九个逆命题,并能证明它们都是真命题．教科书把较重要的作为推论l,而其余的作为练习题.总之,一条直线,如果它五个性质中的任何两个成立,那么它也一定具有其余三个性质．
推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,
推论1的实质是：一条直线(如图)
(1)若满足：i)经过圆心,ii)平分弦,则可推出:iii)垂直于弦,iv)平分弦所对的劣弧,v)平分弦所对的优弧．
(2)若满足：i)垂直于弦,ii)平分弦.则可推出：iii)经过圆心,iv)平分弦所对的劣弧,v)平分弦所对的优弧．
(3)若满足；i)经过圆心,ii)平分弦所对的一条弧,则可推出：iii)垂直于弦,iv)平分弦,v)平分弦所对的另一条弧．
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等．
如图中,若AB‖CD,则AC＝BD
注意：在圆中,解有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线.
三、例题分析：
例1．如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,过A,B向CD引垂线,垂足分别为E,F,求证：CE=DF.
证明：过O作OM⊥CD于M,
∴CM=DM,
∵AE⊥CD,BF⊥CD,
∴AE//OM//FB,
又∵O是AB中点,
∴M是EF中点（平行线等分线段定理）,
∴EM=MF,
∴CE=DF.
说明：此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题.由于C、D两点是轴对称点,欲证CE=DF,那么E,F也必是轴对称点,由于E,F是垂足,那么E,F也应关于某条垂线成轴对称点,这样,这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴.
例2．已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,⊙O的半径等于6cm,O点到BC的距离为2cm,求AB的长.
分析：因为不知道△ABC是锐角三角形,还是钝角三角形（由已知分析,△ABC不会是直角三角形,因为若是直角三角形,则BC为斜边,圆心O在BC上,这与O点到BC的距离为2cm矛盾）,因此圆心有可能在三角形内部,也可能在三角形外部,所以需分两种情况进行讨论：
（1）假若△ABC是锐角三角形,如图,由AB=AC,
可知,,∴点A是弧BC中点,
连结AO并延长交BC于D,由垂径推论
可得AD⊥BC,且BD=CD,这样OD=2cm,
再连结OB,在Rt△OBD中OB=6cm,
可求出BD的长,则AD长可求出,
则在Rt△ABD中可求出AB的长.
（2）若△ABC是钝角三角形,如图,
连结AO交BC于D,先证OD⊥BC,
OD平分BC,再连结OB,由OB=6cm,
OD=2cm,求出BD长,然后求出AD的长,
从而在Rt△ADB中求出AB的长.
（1）连结AO并延长交BC于D,连结OB,
∵AB=AC,
∴ ,∴AD⊥BC且BD=CD,
∴OD=2,BO=6,
在Rt△OBD中,由勾股定理得：BD===4,
在Rt△ADB中,AD=OA+OD=8,
由勾股定理可得：AB===4(cm)
（2）同（1）添加辅助线求出BD=4,
在Rt△ADB中,AD=AO-OD=6-2=4,
由勾股定理可得：AB===4(cm),
∴AB=4cm或4cm.
说明：凡是与三角形外接圆有关的问题,一定要首先判断三角形的形状,确定圆心与三角形的位置关系,防止丢解或多解.
例3．已知如图：直线AB与⊙O交于C,D,且OA=OB.求证：AC=BD.
证明：作OE⊥AB于点E,
∴CE=ED,
∵OA=OB,
∴AE=BE,
∴AC=BD.
请想一下,若将此例的图形做如下变化,将如何证明.
变化一,已知：如图,OA=OB,求证：AC=BD.
变化二：已知如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,求证：AC=BD.
说明：这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距,利用垂径定理进行证明,所变化的是A,B两点位置.
例4．如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1cm,EB=5cm,∠DEB=600,求CD的长.
作OF⊥CD于F,连结OD,
∵AE=1,EB=5,
∴AB=6,∴OA==3,
∴OE=OA-AE=3-1=2,
在Rt△OEF中,
∵∠DEB=600,
∴∠EOF=300,∴EF=OE=1,
∴OF==,
在Rt△OFD中,OF=,OD=OA=3,
∴DF===(cm),
∵OF⊥CD,∴DF=CF,
∴CD=2DF=2(cm)
说明：因为垂径定理涉及垂直关系,所以就可出现与半径相关的直角三角形,求弦长,弦心距,半径问题,常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形,用其性质来解决问题,因而,在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线,然后用垂径定理来解题.

这是垂径定理的一个推论,当然可以用垂径定理来证明

可过圆心O作AB的垂线,由垂径定理可知,该垂线垂直平分AB,即与CD重合
由此知CD是⊙O的直径

垂径定理是指在圆中垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧.
如圆O中,直径AB垂直弦CD于E点,即：1、AB是直径 2、AB垂直CD 可得：3、弧AD=弧DB 4、弧AC=弧CB 5、AE=EB （上面的5条中,由其中任意2条可得另3条）

这个靠练习的,同类的题目练到闭上眼睛也知道怎么做的程度就差不多了,然后根据情况来灵活运用就行.画辅助线时看图形要求什么,然后想办法加辅助线,让图形变为你熟悉的再做就容易了

有三条,首先最长的一定是直径10cm
最短一定是与op垂直的弦,可以用垂经定理算出该弦长是8cm
在8-10的变化中一定可以取道9,所以有三条

1.5 2.4 3.16
AO 勾股 垂径

OE垂直于AB,是位置关系,
应理解为直线OE垂直于AB
所以OE是半径或直径都行

首先好好画图,有助于你做题,不会混乱
然后就是要做题
做题要做有代表性的,比如你要理解一个定理或者推论什么的,可以做几道运用这个知识点的题来帮助你理解,体会一下要怎么做
同时做题要总结方法,建议总结一下题型或者方法什么的,因为常见的总归就这几种,这样以后就能得心应手,即使困难的也可以抽丝剥茧,一步一步做出来
几何题其实不难,这个可能是概念有点多了,有点混乱,开始都是这样,以后就好了,呵呵

设半径r
r^2=AC^2+OC^2=(AB/2)^2+(r-CD)^2=3.6^2+(r-2.4)^2
r=3.9
r^2-(3/2)^2=3.9^2-1.5^2=12.96=3.6^2
OC+2=(r-CD)+2=3.9-2.4+2=3.5

垂径定理证明是通过构造两个全等三角形来证的,如果是两条直接,全等三角形就会变成两个点,也就没法证了.因为任意两条直径都互相平分,所以肯定要去掉直径这条特殊的弦

2.连结AO并延长AO交AB于点E,交圆O于点F,连结O,提交回答
因为 AB=AC,
所以 弧AB=弧AC,
所以 OA垂直于BC,且OA平分BC,(垂径定理）,
所以 BE=BC/2=4厘米,
所以 在直角三角形ABE中,由勾股定理可得：AE=3厘米,
又在直角三角形OBE中,由勾股定理可得
r^2=BE^2+(r--AE)^2 (r表示圆O的半径）,
r^2=16+(r--3)^2
解此方程得：r=25/6,
即：圆O 半径长为25/6（厘米）.
3.作三角形ABC的高AD, 连结BO,
因为 三角形ABC是等腰三角形,底边BC=8厘米,
所以 AD是底边BC的垂直平分线,
所以 AD过圆心O（垂径定理）,
BD=BC2=4厘米,
因为 圆O的直径为10厘米,
所以 半径OB=OA=5厘米,
在直角三角形OBD中,因为 OB=5厘米,BD=4厘米,
所以 由勾股定理可知：OD=3厘米,
所以 AD=OA+OD=8厘米,
所以 三角形ABC的面积=(BCxAD)2
=(8x8)2
=32(平方厘米）.
6.证明：分别过点O1, O2作O1E垂直于AP于E, O2F垂直于BP于F,
则因为 AB垂直于CP,
所以 O1E\CP\O2F,
因为 C是O1O2的中点,
所以 P是EF的中点,EP=FP(平行线等分线段定理）,
因为 O1E垂直于AP, O2F垂直于BP,
所以 AP=2EP, BP=2FP（垂径定理）,
所以 AP=BP.

（1）证明：作OF垂直于DE垂足为F,则 FD=FE,因为 BM垂直于DE,CN垂直于DE,OF垂直于DE.所以 BM//OF//CN,因为 AB是圆O的直径,OA=OB,所以 FM=FN,所以 FM--FD=FN--FE,所以 DM=EN.（2） 因为 AH垂直于BC于H,BM垂直于DE于M,...

实质是一样的,因为垂线和垂径在同一直线上
而垂线作起来相比垂径更加方便,因此做题时更多作垂线

设OC交AB于D
∵C为弧AB的中点
∴OD⊥AB
OD=1
设半径OB=OC=x
则在Rt△BOD与Rt△CDB中
BD²=BC²-CD²
BD²=BO²-OD²
即
12-(x-1)²=x²-1
解得x=3

圆心角的度数和它所对的弧的度数相等垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

书上如果强调过这个公式那么你就写上,证明你了解书本知识；如果书上没有这个公式,那你更要写上,这样才能让阅卷老师看明白. 所以,结论是你必须写上.

用待点相减法A（x1,y1） B（x2 y2 ） M（xm ym）
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1①
x2²/a²+y2²/b²=1②
①-② [（x1+x2)(x1-x2)]/a²+[（y1+y2)(y1-y2)]/b²=0
[2xm(x1-x2)]/a²+[2ym(y1-y2)]/b²=0
同除以2xm(x1-x2)
1/a²+(KomKon)/b²=0
KomKon=-b²/a²

设半径r
r^2-(r-10)^2=(60/2)^2
r=50米

根据垂径定理,在圆O中,半径OC平分弦AB
所以OC垂直于AB,设垂足为D,且AD=AB/2=6/2=3
所以∠ADO=90°
设OC=x
则OA=OC=x,OD=OC/2=x/2(因为半径OC与弦AB互相平分)
在Rt△ADO中,∠ADO=90°
有AO^2=AD^2+OD^2
即x^2=3^2+(x/2)^2
解得x=2√3或-2√3(舍)
所以OC=2√3

由R为（AE+BE）/2=3CM
得OE=2CM
因为角DEB=60°
O到CD距离为根号3
连DO,则DO=R=3CM
易得0.5CD=根号6
则CD等于两倍根号6
DREKEY：“不知对不对,但大概是这样.”

证明：
延长AO,交圆O于点H,连接BH.
易知
∠ABH=90°且有∠AHB=∠ACB
另一方面,因为
∠HAB+∠AHB=90°
∠AEO+∠ACB=90°
所以
∠HAB=∠AEO
从而
△OAD∽△OEA
所以
OA/OD=OE/OA
此即OA²=OD•OE 证完.

因为圆里的任意两条直径都是互相平分的,但它们不一定互相垂直.
所以,要在弦的后面加上 不是直径 的限制.

3个
圆心到弦AB 的距离为3,半径为5,OP的长在3到5之间,满足整数的就只有3,4,5三个

解题思路：（1）连接AD，BD，易证△ADB为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得AE=BE．
（2）根据圆内接四边形的性质，先∠CDA=∠CDF，再证△AFD为等腰三角形，进一步证得PB=PF，从而证得结论．
（3）根据∠ADE=∠FDE，从而证明△DAE≌△DFE，得出AE=EF，然后判断出PB=PF，进而求得AE=PE-PB．

证明：（1）如图1，连接AD，BD，∵C是劣弧AB的中点，∴∠CDA=∠CDB，∴△ADB为等腰三角形，∵CD⊥AB，∴AE=BE；（2）如图2，延长DB、AP相交于点F，再连接AD，∵ADBP是圆内接四边形，∴∠PBF=∠PAD，∵C是劣弧AB的中...

点评：
本题考点： 圆心角、弧、弦的关系．

考点点评： 此题主要考查了垂径定理及其推论，垂径定理-在5个条件中，1．平分弦所对的一条弧；2．平分弦所对的另一条弧；3．平分弦；4．垂直于弦；5．经过圆心（或者说直径）．只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个．

利用弦长、半径和弦心距构造出直角三角形,再利用勾股定理、解直角三角形来解.

（2）其实这是一个定理 叫阿基米德折弦定理 证明：延长BP,在BP延长线上取点M,使MP=EP 连接AB CB AC CM CP 则∠CAB+∠CPB=180°（凸四边形外接圆的对角 和等于180°） ∵∠CPM+∠CPB=180° ∴∠CAB=∠CPM ∵弧AC=弧BC ∴∠APC=∠CAB（同弧所对的圆周角相等） ∴∠APC=∠CPM ∵PM=PE PC=PC ∴三角形CPM≌三角形CPE ∴CE=CM ∠AEP=∠AMP=90° ∵AC=BC（在同圆中,弧相等所对的弦相等） ∴三角形AEC≌三角形BMC(H·L) ∴AE=BM=BP+PM=BP+PE (3)AE+PB=PE 证法类似 打得好累啊 呵呵 能看明白吗

在这里：http://baike.baidu.com/view/245522.html?wtp=tt#3

垂径定理是数学几何中的一个定理,它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧.数学表达为：如右图,直径DC垂直于弦AB,则AE=EB,劣弧AD等于劣弧BD,优弧AC=优弧BC

垂经定理 ：垂直于弦的直线经圆心,两条经圆心的直线,的交点不是圆心吗》?

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
三
四
写不下了

当然可以,不过需要递加说明

不满足啊
两条直径必定互相平分
然后它们却不一定互相垂直
对吧
所以要除了直径以外

不是直径,平分,平分

A

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:
在5个条件中:
1.平分弦所对的一条弧
2.平分弦所对的另一条弧
3.平分弦
4.垂直于弦
5.经过圆心(或者说直径)

求出公共弦的两点,求该弦的垂直平分线；再取一点与P,求垂直平分线
两条垂直平分线交点即是圆心,然后求半径即可

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧
推论
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 (证明时的理论依据就是上面的五条定理) 但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断: 一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 1.平分弦所对的优弧 2.平分弦所对的劣弧 （前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧） 3.平分弦 (不是直径) 4.垂直于弦 5.经过圆心 6.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.

圆的基本性质有：
　　1.圆是轴对称图形,也是中心对称图形．对称轴是任何一条直径所在的直线,对称中心是它的圆心,并且具有绕其圆心旋转的不变性．
　　2.直径所对的圆周角是直角．
　　3.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．
　　4.在同圆或等圆中,两个圆心角和它所对的两条弧、两条弦以及两个弦心距这四组量中,如果其中一组量相等,则其它三组量也都分别相等．
　　5.如果弦长为2a,圆的半径为R,那么弦心距d为．
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD,当PA=PB,即直线AB重合,即PA切线是得到切线定理PA^2=PC*PD
证明：（令A在P.B之间,C在P.D之间）因为ABCD为圆内接四边形,所以角CAB+角CDB=180度,又角CAB+角PAC=180度,所以角PAC=角CDB,又角APC公共,所以三角形APC与三角形DPB相似,所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD
切线的判定和性质
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言：∵l ⊥OA,点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言：∵OA是⊙O的半径,直线l切⊙O于点A
∴l ⊥OA（切线性质定理）
推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
∴PA=PC,∠APO=∠CPO（切线长定理）
弦切角
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言：∵∠BCN所夹的是 ,∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
几何语言：∵∠BCN所夹的是 ,∠ACM所对的是 ,=
∴∠BCN=∠ACM
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
4．弦切角概念：顶点在圆上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：
（1）顶点在圆上,即角的顶点是圆的一条切线的切点；
（2）角的一边和圆相交,即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；
（3）角的另一边和圆相切,即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线．
它们是判断一个角是否为弦切角的标准,三者缺一不可,比如下图中 均不是弦切角．
（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例,即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此,弦切角具有与圆周角类似的性质．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤对的圆周角．它是圆中证明角相等的重要定理之一．
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
推论：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
这些是我摘录的