设齐次方程组λx1+x2+λ^2x3=0 x1+λx2+x3=0……

这是很基础的高等数学问题哈 ,看书吧

2x1+x2+2x3=0,
其自由变量可任取,例如取 x2,x3 为自由未知量,得
2x1=-x2-2x3
取 x2=-2,x3=0,得基础解系 (1,-2,0)^T;
取 x2=0,x3=-1,得基础解系 (1,0,-1)^T.
则方程的通解是
x= k1 (1,-2,0)^T+k2 (1,0,-1)^T,
其中 k1,k2 为任意常数.
有的就不能随意取,例如方程组
2x1+3x2+2x3=0,
x3=0
第2个方程已确定 x3=0,x3就不再是自由未知量,
只能取 x1 或 x2 为自由未知量.
例如取 x2 为自由未知量,则
2x1=-3x2,
x3=0,
取 x2=-2,得基础解系 (3,-2,0)^T,
则方程组的通解是
x= k (3,-2,0)^T,
其中 k 为任意常数.

1,对于齐次方程组（λE-A)x=0有非0解的条件就是系数矩阵的行列式为0,
λ是矩阵A的特征值,所以|λE-A|=0,从而……
2,（AB）²=ABAB,显然只有AB可以交换时才能成立（AB）²=A²B²
取A=1 1 B= 0 1 验算下……
1 0 1 1

k=2

设方程组有m个方程n个未知量.
在已知条件情况下, r(A)

⑴假如相关,存在不全0之k,k1,……,k（n-r）,
使kη*＋k1ξ1+……+k（n-r）ξ（n-r）＝0.k≠0,否则ξ1,ξ2,……,ξn-r相关,
不可,从而η*可以用ξ1,ξ2,……,ξn-r线性表示,方程组右边的b=0,也不可.
所以η*,ξ1,ξ2,……,ξn-r线性无关;
⑵显然向量组｛η*,ξ1,ξ2,……,ξn-r｝与｛η*,η*+ξ1,η*+ξ2,……,η*+ξn-r｝
等价.（即可以互相线性表示）.而且向量个数相等,所以具有相同的相关性
,向量组｛η*,ξ1,ξ2,……,ξn-r｝线性无关;从而
向量组｛η*,η*+ξ1,η*+ξ2,……,η*+ξn-r｝也线性无关.

化成阶梯型的过程是不唯一的.阶梯型也不唯一,但是行最简形确实唯一的.要求方通通解的时候化成标准型的话会容易得出答案

线性代数里的,三个向量构成三阶矩阵,求矩阵的特征值,再求基础解系.
求特征值会吗?不会的话再联系我吧
补充：那就说明这个矩阵秩为1 基础解系的个数应该是3-1=2,
令x1=1,x2=0,解得x3=4,a1=（1.0.4）'
令x1=0,x2=1,解得x3=-1,a2=（0,1,-1）'
基础解系即a1,a2

由已知,A*=0
所以 r(A)所以 k = n-r(A) > n-(n-1) = 1
故(D) 成立.
参考:

因为 R(A)=n-1
所以 AX=0 的基础解系含 n-r(A) = 1 个解向量
所以 AX=0的通解为 k (a1-a2).

反证法,如果向量组α1,α2.……αn-r,β线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,.……,kn-r,k使得
k1*a1+k2*a2+.……+kn-r*αn-r+k*β=0.如果k不等于0,那么移项过去,β可以由向量组α1,α2.……αn-r线性表示,因为α1,α2.……αn-r是对应齐次方程组的一个解的基础解系,那么β也是齐次方程组的一个解,这与题设β是非齐次线性方程组Ax=b的解向量相矛盾；那么只有k=0,那么存在不全为零的数k1,k2,.……,kn-r使得k1*a1+k2*a2+.……+kn-r*αn-r=0,因为α1,α2.……αn-r线性无关,所以对于不全为0的k1,k2,.……,kn-r,k1*a1+k2*a2+.……+kn-r*αn-r不等于0,等式不成立,与假设α1,α2.……αn-r,β线性相关矛盾,所以α1,α2.……αn-r,β线性无关.

在齐次方程组Ax=b中,若方程个数少于未知数的个数时,有非零解.
在非齐次方程组中,不一定有解.当矩阵A的秩=增广矩阵（A,b）的秩的时候有解.

第一题
α1,α1+α2,α1 +α2 +α3 是Ax=0的解 比较简单 不证了
证明任何一组解 都能用这三组解表示就可以了
因为α1,α2,α3 是齐次方程组Ax=0的基础解系
那么就是说对于Ax=0的任何一组解α 都可以表示为
α = m*α1 + n*α2 + p*α3的形式
= (m-n)*α1 + (n-p)*(α1+α2) + p*(α1+α2+α3)
那么就是说 任何一组解α 都可以同样用
α = a*α1 + b*(α1+α2) + c*(α1+α2+α3)的形式表示
那么就是说α1 (α1+α2) (α1+α2+α3) 是Ax=0的一个基础解系
第二题 回去做

非齐次方程的解是它所对应的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解