（2012•许昌县一模）一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（　　）

（I）函数的定义域为（-∞，3）∪（3，+∞）
求导函数可得f′（x）=
(2x−5)(x−3)−(x2−5x+10)
(x−3)2=
(x−1)(x−5)
(x−3)2
令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞5；令f′（x）＜0，x≠3可得1＜x＜3或3＜x＜5
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（5，+∞）；f（x）的单调递减区间为（1，3），（3，5）；
（II）当x∈[0，2]时，f(x)＝(x−3)+
4
x−3+1在[0，1]上单调增，在[1，2]上单调递减，∴f（x）∈[-4，-3]
若命题成立，等价于g（x）在[0，t]上的值域是[-4，-3]的子集
∵g（x）=x³-2a²x+a³-4
∴g′（x）=3x²-2a²=3（x+

2
3a2）（x-

2
3a2）
①当a=0时，g′（x）=3x²＞0，∴g（x）在R上是增函数
∴0≤x≤t时，-4≤g（x）≤t²-4
∴只需t²-4≤-3，∴-1≤t≤1
②a≠0，∵g（0）=a³-4
要使命题成立，只需-4≤g（0）≤-3，∴-4≤a³-4≤-3
∴0≤a≤1
∴g′（x）=3（x+

2
3a）（x-

2
3a）
∴函数g（x）在（-∞，-

2
3a）上单调增，在（-

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，考查分类讨论的数学思想，正确运用导数，合理分类是关键．

y

y

所有样本点都在

y=bx+a上，则变量间的相关系数为±1，故A错误；
回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故B错误；
若所有的样本点都在

y=bx+a上，则bx_i+a的值与y_i相等，故C错误；
相关系数r与b符号相同，若

y=bx+a斜率b＞0，则r＞0，样本点应分布从左到右应该是上升的，则变量x与y正相关，故D正确；
故选D

点评：
本题考点： 最小二乘法．

考点点评： 本题考查的知识点是线性回归及最小二乘法，其中熟练掌握最小二乘法的相关基本概念是解答的关键．

证明：（I）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，
则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB．
又面ABCD是正方形，则AB⊥CD，故AB⊥面VAD．
（II）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，
设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，
由三垂线定理知BF⊥VD，
故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角．
设正方形ABCD的边长为a，
则在Rt△ABF中，，AB=a，AF=

3
2a，tan∠AFB=
AB
AF＝
a


3
2a＝
2
3
3
故二面角A-VD-B的正切值为：
2
3
3；
（III）：由（Ⅰ）可知AB⊥平面VAD，
∴CD⊥平面VAD．
∴平面VAD⊥平面ECD．
又∵△VAD是正三角形，
∴当E是VA的中点时，ED⊥VA．
∴VA⊥平面EDC．
∴面DCE⊥面VAB
三棱锥V-ECD的体积等于三棱锥C-EVD的体积，
VC−VED＝
1
3•S△VED•DC=
1
3×
1
2×
3×1×2＝

点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质．

考点点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，几何体的体积的求法，以及二面角及其度量，对于二面角的度量在高考中有所弱化，属于综合题．

由已知得：S=[1/2]bcsinA=[1/4]（b²+c²-a²）
变形为：
b2+c2−a2
2bc=sinA，
由余弦定理可得：cosA=
b2+c2−a2
2bc，
所以cosA=sinA即tanA=1，又A∈（0，π），
则A=[π/4]．
故答案为：[π/4]

点评：
本题考点： 余弦定理．

考点点评： 此题考查学生灵活运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值，是一道基础题．

根据已知中的三视图可知
该几何体由一个正方体和一个正四棱锥组成
其中正方体的棱长为3，故V_正方体=3×3×3=27
下四棱锥的底面棱长为3，高为1，故V_正四棱锥=[1/3]×3×3×1=3
故这个几何体的体积V=27+3=30
故选B．

点评：
本题考点： 由三视图求面积、体积．

考点点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析已知中的三视图，进而判断出几何体的形状及几何特征是解答本题的关键．

（Ⅰ）证明：平面VAD⊥平面ABCD，底面是正方形，∴AB⊥AD，
AB⊂平面ABCD，
平面VAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥面VAD．4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB⊥平面VAD，
∴CD⊥平面VAD．
∴平面VAD⊥平面ECD．
又∵△VAD是正三角形，
∴当E是VA的中点时，ED⊥VA．
∴VA⊥平面EDC．
∴面DCE⊥面VAB
三棱锥V-ECD的体积等于三棱锥C-EVD的体积，
VC−VED＝
1
3•S△VED•DC=
1
3×
1
2×
3×1×2＝

3
3．12分

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查计算能力，转化思想．

（1）由已知S_n=n²，得a₁=S₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
所以a_n=2n-1（n∈N^*）
由已知，b₁=a₁=1
设等比数列{b_n}的公比为q，由2b₃=b₄得2q²=q³，所以q=2
所以b_n=2^n-1
（2）设数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，
则T_n=1×1+3×2+5×2²++（2n-1）•2^n-1，2T_n=1×2+3×2²+5×2³++（2n-1）•2ⁿ，
两式相减得-T_n=1×1+2×2+2×2²++2×2^n-1-（2n-1）•2ⁿ（10分）=1+2（2+2²++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ=1+4（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ（11分）=-（2n-3）•2ⁿ-3
所以T_n=（2n-3）2ⁿ+3

点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题主要考查了等差数列的性质和等比数列的性质．当数列是由等差数列和等比数列的积构成时，可求得利用错位相减法求和．

（I）∵f′（x）=e^x+（a-2），且f（x）=e^x+（a-2）x在定义域内不是单调函数
∴a-2＜0
令f′（x）=e^x+（a-2）=0，则x=ln（2-a）
∵当x∈（-∞，ln（2-a））时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（ln（2-a），+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
∴当x=ln（2-a）时，函数f（x）取极小值f（ln（2-a））=（2-a）+（a-2）ln（2-a），函数没有极大值；
证明：（II）设h（x）=e^x-1+（[a/2]-1）x，则h′（x）=f（x）=e^x+（a-2）x
由（I）知，f（x）_min=（2-a）+（a-2）ln（2-a），
当a∈（2-e.2）．f（x）_min＞0
故h′（x）=f（x）=e^x+（a-2）x＞0恒成立
从而有h（x）=e^x-1+（[a/2]-1）x在R上单调递增
当x≥0时，h（x）=e^x-1+（[a/2]-1）x≥h（0）=0
故e^x≥1+（1-[a/2]）x²．

点评：
本题考点： 指数函数综合题．

考点点评： 本题是指数函数与导数的综合应用，考查了利用导数求极值，及确定函数单调性的方法和步骤，熟练掌握导数法在求极值和单调性时的方法和步骤是解答的关键．

∵log_（2x）y=1
∴y=2x，满足条件的x，y有3对，（1，2），（2，4），（3，6）；
而骰子朝上的点数x，y共有6×6=36对
∴概率为：[3/36]=[1/12]．
故选：B．

点评：
本题考点： 选择结构；等可能事件的概率．

考点点评： 如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=[m/n]．

设四门选修课分别为a，b，c，d．
甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门分别有以下6种情况：ab，ac，ad，bc，bd，cd．
所以共有
C24×
C24=36个基本事件．
则两人所选课程中恰有一门相同的情况包括以下情况：（ab，ac），（ac，ab），（ab，ad），（ad，ab），（ac，ad），（ad，ac），；（ba，bc），（bc，ba），（ba，bd），（bd，ba），（bc，bd），（bd，bc）；（ca，cb），（cb，ca），（ca，cd），（cd，ca），（cb，cd）；（da，db），（db，da），（da，dc），（dc，da），（db，dc），（dc，db）等共有基本事件的个数为
C14×
C13×
C12=24．
设两人所选课程中恰有一门相同的事件为P，则P=[24/36]=[2/3]．
故答案为[2/3]．

点评：
本题考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

考点点评： 正确列举总的基本事件个数及该事件所包含的基本事件的个数是解题的关键．

∵数列{a_n}为等差数列，
∴a₇+a₈+a₉=（a₇+a₉）+a₈=3a₈=24，
∴a₈=8，
又a₁+a₁₅=2a₈，
则S₁₅=
15(a1+a15)
2=15a₈=120．
故选B

点评：
本题考点： 等差数列的性质；等比数列的前n项和．

考点点评： 此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．

（1）设g（x）=ax²+bx+c
于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2
所以

a＝
1
2
c＝−1
又g（1）=-1
所以b=−
1
2
所以g(x)＝
1
2x2−
1
2x−1
（2）H(x)＝
1
2x2+mlnx−(m+1)x，(1＜m≤e)
因为对∀x∈[1，m]，
H′(x)＝
(x−1)(x−m)
x≤0
故H（x）在[1，m]上为减函数
（3）由（2）得：H（x）在[1，m]上为减函数则：
|H（x₁）-H（x₂）|＜1⇐
1
2m2−lnm−
1
2＜1⇔
1
2m−lnm−
3
2m＜0
记h(m)＝
1
2m−lnm−
3
2m(1＜m≤e)，
则h′(m)＝
1
2−
1
m+
3
2m2＝
3
2(
1
m−
1
3)2+
1
3＞0
所以h(m)＝
1
2m−lnm−
3
2m(1＜m≤e)是单调增函数，

所以h(m)≤h(e)＝
e
2−1−
3
2e＝
(e−3)(e+1)
2e＜0，故命题成立

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 求函数模型已知的函数的解析式，一般用待定系数法求；利用导数判断函数的单调性，导函数大于0，对应的是函数的单调递增区间；导函数小于0对应的是函数的单调递减区间；解决不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值问题．

在△ABC中，由余弦定理得：a²+b²=c²+2abcosC，①
又a²+b²=3c²，
∴c²=[1/3]（a²+b²）代入①式有：
a²+b²=[1/3]（a²+b²）+2abcosC，
∴cosC=

2
3(a2+b2)
2ab≥

2
3×2ab
2ab=[2/3]（当且仅当a=b时取“=”）．
∴cosC最小值为[2/3]．
故答案为：[2/3]．

点评：
本题考点： 余弦定理．

考点点评： 本题考查余弦定理与基本不等式的综合应用，属于中档题．

（I）由已知Sn＝n2
当n=1时，a₁=S₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
而a₁=2×1-1=1适合上式
∴a_n=2n-1（n∈N₊）
∵b₁=a₁=1，2b₃=b₄．
∴_2q²=q³
∴q=2，bn＝2n−1（6分）
（II）由（I）知a_n=2n-1
∴Cn＝
1
(2n−1)(2n+1)=[1/2(
1
2n−1−
1
2n+1)
∴Tn＝
1
2(1−
1
3+
1
3−
1
5+
1
5−
1
7+…+
1
2n−1−
1
2n+1)
=
1
2(1−
1
2n+1)=
n
2n+1]
∴Tn＝
n
2n+1（12分）

点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查了利用递推公式an＝S1，n＝1Sn−Sn−1，n≥2]求解数列的通项公式，等差及等比数列的通项公式的应用，数列求和中的裂项求和

∵x²-2x＜0
∴0＜x＜2
∴M=（0，2）
∵N={x|y=
x−1}={x|X-1≥0}=[1，+∞）
∴M∩N=[1，2）
故选A

点评：
本题考点： 交集及其运算．

考点点评： 本题主要考察了交集及其运算，属基础题，较简单．解题的关键是理解集合M的意义为一元二次不等式x2-2x＜0的解集，集合N的意义为函数y=x−1的定义域以及透彻理解交集的定义M∩N={x|x∈M且x∈N}!

（Ⅰ）设A坐标是（a，0），M坐标是（x，y），B（0，b），则

AM=（x-a，y），

AB=（-a，b），

PA=（a，1）
∵

AM=2

AB，∴有（x-a，y）=2（-a，b），即有x-a=-2a，y=2b，即x=-a，y=2b
∵

PA•

AM=0，∴有a（x-a）+y=0
∴-x（x+x）+y=0，∴-2x²+y=0
即C的方程是y=2x²；
（Ⅱ）设Q（m，2m²），直线l的斜率为k，则y′=4x，∴k=-[1/4m]
∴直线l的方程为y-2m²=-[1/4m]（x-m）
与y=2x²联立，消去y可得2x²+[1/4m]x-2m²-[1/4]=0，该方程必有两根m与x_R，且mx_R=-m²-[1/8]
∴（2m²）y_R=4（-m²-

点评：
本题考点： 圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用向量知识是关键．

∵{a_n}是等比数列，
则由“a₁＜a₂＜a₃”可得数列{a_n}是递增数列，故充分性成立．
若数列{a_n}是递增数列，则一定有a₁＜a₂＜a₃，故必要性成立．
综上，“a₁＜a₂＜a₃”是“数列{a_n}是递增数列”的充分必要条件，
故选C．

点评：
本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性．

考点点评： 本题考查充分条件、必要条件的定义，递增数列的定义，判断充分性是解题的难点，属于中档题．

∵函数f(x)＝sin(2x−
π
2)=-cos2x
∴f（-x）=-cos（-2x）=-cos2x=f（x）且T=[2π/2]=π
∴函数f（x）是最小正周期为π的偶函数
故选B

点评：
本题考点： 余弦函数的奇偶性；诱导公式的作用；三角函数的周期性及其求法．

考点点评： 本题考察了三角函数的图象和性质，y=Acos（ωx+φ）型函数的周期性和奇偶性的判断方法

（Ⅰ）x_n=2n-1，y_n=3ⁿ-1，（n≤2013）．
（Ⅱ）∵x_n-y_n=2n-3ⁿ，
∴S_n=（2+4+6+…+2n）-（3+3²+3³+…+3ⁿ）
=
n(2+2n)
2-
3(1−3n)
1−3
=n（n+1）-
3n+1−3
2（n≤2013）．

点评：
本题考点： 数列的求和；程序框图．

考点点评： 本题考查程序框图与数列的求和，识图是关键，考查分析与运算、识图的能力，属于中档题．

设圆心坐标为（a，b），
则

a+2b−3＝0

|a−b+1|

2＝
(a−2)2+(b−3)2，
解得a=7，b=-2，
所以r=5
2，
所以要求圆的方程为（x-7）²+（y+2）²=50．
故答案为：（x-7）²+（y+2）²=50．

点评：
本题考点： 圆的标准方程；点到直线的距离公式．

考点点评： 本题主要考查方程思想及点到线的距离公式，圆的方程的求法，考查计算能力．