在△ABC中，H为垂心，M为BC上的中点，AD为BC上的高，且AD=BC（AC＞AB）．求证：HD+HM=MC．

设三角形AOB的顶点均在抛物线y^2=2px(p>0)上,O为坐标原点,AOB垂心恰好是抛物线焦点,求三角形面积.

最佳拍挡31年前1

skyb1ue 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

OA=OB AB边上的高=p/2+p/4=3p/4
x=3p/4时,y^2=3p^2/2 y=+-(√6/2)p [AB]=√6p
三角形面积=(1/2)*(3p/4)*(√6p)=3√6p^/8

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等腰三角形垂心,分底边上的高的比例是多少?

秦小绵1年前2

papa_632 共回答了23个问题 | 采纳率82.6%

题目有错误.是等腰直角三角形时垂心在直角的顶点处,钝角等腰三角形时垂心在三角形外,是锐角三角形时垂心在三角形内.题目要说清楚.

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命题 在ΔABC中,各边不相等,O,I,H,Q分别为外心,内心,垂心与九点圆心,如果三角形ABC三个内角成等差数列.求证

命题 在ΔABC中,各边不相等,O,I,H,Q分别为外心,内心,垂心与九点圆心,如果三角形ABC三个内角成等差数列.求证:IQ⊥OH.

千亿资金砸大盘1年前1

波若波萝密 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%

命题 在ΔABC中,各边不相等,O,I,H,Q分别为外心,内心,垂心与九点圆心,如果三角形ABC三个内角成等差数列.求证:IQ⊥OH.
证明 因为三角形ABC三个内角成等差数列,所以有一角必为π/3.记A=π/3,R为外接圆半径.则AH=2RcosA=R=AO,又因为AI平分∠OAH,所以ΔAHI≌ΔAOI,即IH=IO.由于九点圆心在欧拉线OH上且平分线段OH.因此AI⊥OH.证毕.

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什么叫三角形的重心、内心、外心、垂心、中心?有什么特点么?

hanxue881年前1

xbsw 共回答了16个问题 | 采纳率100%

内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似...

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平面向量 三角形的垂心证明已知O为三角形所在平面内的一点,若向量OA*向量OB+向量OB*向量OC+向量OA*向量OC=

平面向量 三角形的垂心证明
已知O为三角形所在平面内的一点,若向量OA*向量OB+向量OB*向量OC+向量OA*向量OC=0向量 证明O为三角形的垂心.

ziqingaa1年前4

wbloveyou2006 共回答了25个问题 | 采纳率96%

等边三角形四心合一（重、内、外、垂）,设中心为点O,（向量）OA*OB+OB*OC+OC*OA=-3/2|OA|²
所以没戏了,四个心和都不会为0.题目应该有误吧

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已知三角形ABC的两个顶点坐标分别是A（-2,1).B（4,-3）,且三角形ABC的垂心坐标为H（0,2）,分别求BC,

已知三角形ABC的两个顶点坐标分别是A（-2,1).B（4,-3）,且三角形ABC的垂心坐标为H（0,2）,分别求BC,AC边所在直线的方程.

dada00551年前2

grayden21li 共回答了20个问题 | 采纳率85%

AH垂直于BC,BH垂直于AC
Kah=1-2/-2-0=1/2,Kbh=-3-2/4-0=-5/4
则Kbc=-2,Kac=4/5
BC,AC直线分别过B,C
则BC 为y+3=-2*(X-4),即2X+Y-11=0
同理AC 4X-5Y+13=0

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在三棱锥pabc中,点p在平面abc上的射影o是三角形abc的垂心,求证pa垂直bc

kkkk1年前3

温暖的指尖 共回答了24个问题 | 采纳率83.3%

因为po垂直底面,所以po垂直bc
因为ao垂直bc,所以bc垂直ao,op确定的平面
所以pa垂直bc

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重心,垂心,内心,外心,旁心是什么

重心,垂心,内心,外心,旁心是什么
加图

逍遥鹰王1年前1

天际流星111 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%

重心：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.
内心：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.
外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.
旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.

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已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC．

08226661年前0

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在Rt△ABC中,∠A为直角,垂心为直角顶点A,外心O为斜边BC的中点,内心I在三角形内部,

在Rt△ABC中,∠A为直角,垂心为直角顶点A,外心O为斜边BC的中点,内心I在三角形内部,
且切圆的半径为(b+c-a)/2(其中a.b.c分别为三角形的三边BC.CA.AB长）,为什么?

牛怪1年前0

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已知,po垂直平面ABC.O为三角形ABC的垂心,求证PA垂直BC这一题怎么做

已知,po垂直平面ABC.O为三角形ABC的垂心,求证PA垂直BC这一题怎么做
已知,PO垂直平面ABC,O为三角形ABC的垂心,求证PA垂直BC

少花钱多办事1年前2

hypc1 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

用摄影定理吧.（垂心：三角形的三条高的交点）说到这儿自己想想该怎么做咯!

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已知△ABC的两个顶点A（-10，2），B（6，4），垂心是H（5，2），求顶点C的坐标．

花开hmsx1年前1

花丛小鸟 共回答了22个问题 | 采纳率90.9%

解题思路：据两点连线斜率的公式求出直线AH，BH的斜率；据两线垂直斜率乘积为-1求出直线AC，BC的斜率，利用点斜式求出直线AC，BC的方程，联立方程组求出两直线的交点C的坐标．

kBH＝
2−4
5−6＝2∴kAC＝−
1
2
∴直线AC的方程为y−2＝−
1
2(x+10)即x+2y+6=0（1）
又∵k_AH=0∴BC所直线与x轴垂直故直线BC的方程为x=6（2）
解（1）（2）得点C的坐标为C（6，-6）

点评：
本题考点： 直线的斜率；直线的一般式方程．

考点点评： 本题考查两点连线的斜率公式；两线垂直的充要条件；利用两点求直线方程．

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在三棱锥P-ABC中,PA垂直BC,PC垂直AB.PO垂直平面ABC于O.求证O为三角形ABC的垂心

多少泪的亲爷1年前1

xincheng8899 共回答了30个问题 | 采纳率90%

∵PO⊥平面ABC,∴PO⊥AB、PO⊥BC.
∵BC⊥PA、BC⊥PO、PA∩PO＝P,∴BC⊥平面PAO,∴AO⊥BC.
∵AB⊥PC、AB⊥PO、PC∩PO＝P,∴AC⊥平面PCO,∴CO⊥AB.
由AO⊥BC、CO⊥AC,得：O是△ABC中BC、AB边上高的交点,∴O是△ABC的垂心.

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三角形的外心,垂心的性质

L刃1年前3

kk阁主人 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

外心三条边的垂直平分线的交点即外接圆的圆心三条高的交点叫垂心锐角三角形垂心在内部直角三角形垂心在直角顶点钝角三角形垂心在外部垂心是高线的交点垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点

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三角形的中心,重心,垂心,外心,内心分别是什么?

三角形的中心,重心,垂心,外心,内心分别是什么?
除此之外还有哪些"心"?

marry_sue1年前3

欣赏音乐 共回答了12个问题 | 采纳率91.7%

2007-04-15 09:35:39
来自：IANA 三角形的五心
一 定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.
垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.

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三角形的内心、重心,垂心的性质(越多越好)

花园女神1年前2

taotao9O 共回答了15个问题 | 采纳率100%

重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心;
垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;
外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心;
内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;
中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合,称为正三角形的中心.
三角形“五心歌”
三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心,
五心性质很重要,认真掌握莫记混．
重 心
三条中线定相交,交点位置真奇巧,
交点命名为“重心”,重心性质要明了,
重心分割中线段,数段之比听分晓；
长短之比二比一,灵活运用掌握好．
垂 心
三角形上作三高,三高必于垂心交．
高线分割三角形,出现直角三对整,
直角三角形有十二,构成六对相似形,
四点共圆图中有,细心分析可找清.
内 心
三角对应三顶点,角角都有平分线,
三线相交定共点,叫做“内心”有根源；
点至三边均等距,可作三角形内切圆,
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
外 心
三角形有六元素,三个内角有三边．
作三边的中垂线,三线相交共一点．
此点定义为“外心”,用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混,“内切”“外接”是关键．

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设抛物线y^2=4x有内接等腰△ABC,其垂心恰好为抛物线焦点坐标,求这个三角形的周长

设抛物线y^2=4x有内接等腰△ABC,其垂心恰好为抛物线焦点坐标,求这个三角形的周长
设抛物线y^2=4x有内接等腰△OAB,其垂心恰好为抛物线焦点坐标,求这个三角形的周长

hulahula01年前1

梅林核桃王 共回答了23个问题 | 采纳率82.6%

抛物线焦点坐标（1,0）,垂心为点c,ab交x轴与点d,ad=3/2,代入公式知ad=bd=根号6,oa=ob=2分之根号33,ab=2倍根号6,所以△oab周长为根号33+2倍根号6

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△ABC为正三角形,PA⊥平面ABC,AH⊥平面PBC,求证:H不可能是△PBC的垂心

konnie311年前1

clawfilt 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

若H为△PBC的垂心,则CH⊥PB,而AH⊥PB
所以 PB垂直于面ACH,PB⊥AC 而AC⊥PA
所以 AC垂直于面PAB,从而AC⊥AB
与△ABC为正三角形矛盾.
故H不可能是△PBC的垂心

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已知H是锐角三角形ABC的垂心,过H作平面ABC的垂线,在垂线上取一点P,使角APB=90度,求证PB垂直平面PAB.

tongjun19841年前3

mlfobj 共回答了17个问题 | 采纳率94.1%

证明,因为PH垂直平面ABC,所以PH垂直AC.又BH垂直AC,所以AC垂直平面PBH,所以AC垂直PB.又PB垂直PA,所以PB垂直平面PAC.

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三棱锥内证明一点是垂心的问题三棱锥V-ABC的三条侧棱VA VB VC 两两垂直,顶点V在底面内的射影是H求证H是三角形

三棱锥内证明一点是垂心的问题
三棱锥V-ABC的三条侧棱VA VB VC 两两垂直,顶点V在底面内的射影是H求证H是三角形ABC的垂心

princehaoming1年前1

boayangfei 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

证明:连结AH交BC于D点,连接CH交AB于E点,
∵VA⊥VB,VA⊥VC,VB∩VC=V,
∴VA⊥VBC面,又BCVBC面,∴BC⊥VA.
∵VH⊥ABC面,BCABC面,
∴BC⊥VH,又VA∩VH=A,∴BC⊥VHA面.
又ADVHA面,∴AD⊥BC,同理可得CE⊥AB,
∴H是△ABC的垂心.

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若知道A,B,C三点坐标,求其重心,垂心,外心,内心.

若知道A,B,C三点坐标,求其重心,垂心,外心,内心.
A（a，b）B（c，d）C（e，f）

磁偏角1年前2

任凭雨水 共回答了27个问题 | 采纳率88.9%

在三角形ABC中,三顶点的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),BC=a,CA=b,AB=c
有：
（一）重心.易知重心G((1+b)/3,c/3).重心坐标公式：三角形ABC,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则重心G((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3).
(二）外心.外心就是两边中垂线的交点.易知,AB边的中垂线为x=1/2.AC边的中垂线方程为2bx+2cy=b²+c².===>两中垂线的交点为外心：(1/2,(b²+c²-b)/(2c)).
（三）垂心就是两条高线的交点.易知,AB边上的高线为x=b,AC边上的高线方程为：bx+cy=b.两条高线的交点就是垂心(b,(b-b²)/c).
（四）内心（（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c),（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)）这里的ax1是a*x1.
内心算法：
内心为M （X,Y）则有aMA+bMB+cMC=0（三个向量）
MA=（X1-X,Y1-Y）
MB=(X2-X,Y2-Y)
MC=(X3-X,Y3-Y)
则：a(X1-X)+b(X2-X)+c(X3-X)=0,a(Y1-Y)+b(Y2-Y)+c(Y3-Y)=0
∴X=（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c),Y=（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)
∴M（（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c),（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)）

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在线等高二空间几何问题急~如图在四面体ABCD中,AC⊥BC,H为△BCD的垂心,求证AH⊥平面BCD

北极燕鸥1年前1

两天一杯雀巢 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

条件不足见参考
连接BH并延长交CD于E,连接DH并延长交BC于F,连接AE、AF
由于H是△BCD的垂心,所以BE⊥CD,BC⊥DE
由于AB⊥CD,AD⊥BC
所以CD⊥面ABE,BC⊥面AFD
由于H在BE、DF上,
所以AH在面ABE上,同时也在面AFD上
由于CD⊥面ABE,所以CD与面ABE上任何一条直线都垂直,故而,CD⊥AH
同理BC⊥AH
由于BC、CD都在面BCD上,且BC与CD不平行,
当一条直线与某个平面上的2条不平行的直线都垂直的时候,那么这个直线与该平面垂直,就得到了
AH⊥平面BCD

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三棱锥顶点P在底面的射影O是△ABC的垂心,PA⊥PB.

三棱锥顶点P在底面的射影O是△ABC的垂心,PA⊥PB.
(1)求证:PA⊥平面PBC
(2)若PA=BC=a,二面角P-BC-A的平面角是60°,求三棱锥A-PBC的体积.

xutao4381521年前1

女人香的很 共回答了19个问题 | 采纳率68.4%

1)O是△ABC的垂心 =>AO⊥BC
AO为PA在面ABC内的投影,由三垂线定理得PA⊥BC
由条件PA⊥PB,可得PA⊥平面PBC
2）AO交BC于D
因为PA⊥平面PBC,所以PD为AD在面PBC内的投影
又AD⊥BC,有三垂线定理得PD⊥BC
所以角PDA即二面角P-BC-A的平面角,角PDA=60°
同时BC⊥面PDA
三棱锥A-PBC的体积=1/3[S(APD)*BC]=1/3*1/2*a*a/√3*a=√3a^3/18

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已知三棱锥P-ABC,作PO垂直底面ABC,垂足为O,当给定什么已知条件时,O分别是三角形ABC的外心,垂心?

已知三棱锥P-ABC,作PO垂直底面ABC,垂足为O,当给定什么已知条件时,O分别是三角形ABC的外心,垂心?
有详解的赏分!

qqjxx6071年前2

欠揍 共回答了22个问题 | 采纳率81.8%

三棱锥P-ABC的侧棱长相等（或三棱锥P-ABC是正三棱锥）,O是外心.
三棱锥P-ABC有两组对棱互相垂直,O是垂心
三棱锥的十个性质
http://hi.baidu.com/ok%B0%C9/blog/item/b4deda108c429cc1a7ef3fdd.html

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正三角形的重心,外心,内心,垂心是不是重合

我爱nn1231年前3

鸭又红又专 共回答了21个问题 | 采纳率76.2%

正三角形的中线是高也是分角线也是中垂线 所以 重心,外心,内心,垂心是重合的同一点

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若O是△ABC内一点,OA+OB+0C=0（都是向量）则O是△ABC的内心、重心、外心还是垂心?

凯琪儿1年前4

终级┱gg士 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%

重心
以o点为（0,0）建立坐标
易证的（X1+X2+X3,Y1+Y2+Y3）=0向量
而重心的坐标（X1+X2+X3/3,Y1+Y2+Y3/3）的证
具体表述自己完成

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若O是△ABC内一点,OA向量+OB向量+OC向量=0,则O是△ABC的什么心?（内心,外心,重心,垂心）.

niuniusnow1年前3

沙漠yy 共回答了13个问题 | 采纳率76.9%

设线段AB中点D
OA+OB=2OD=-OC
所以OC、OD共线.
所以OC过AB边的中点,是AB边的中线.
同理可证其他都是对应边的中线.
所以中线的交点是重心..
上述未+说明的都是向量

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三角形的三个顶点A（2,2）B(-5,1)C(3,-5),求它的垂心坐标和外心坐标

三角形的三个顶点A（2,2）B(-5,1)C(3,-5),求它的垂心坐标和外心坐标
如题!

wangzy20071年前1

lhx0099 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

AB=√(-5-2)^2+(1-2)^2=5√2,BC=√(3+5)^2+(-5-1)^2=10,AC=√(3-1)^2+(-5-2)^2=5√2,AB^2+AC^2=BC^2,△ABC是RT△,

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记O为△ABC的外心,H是垂心,问△ABC满足什么条件时,才能使向量OH=向量OA

渝江顽石1年前1

twei 共回答了20个问题 | 采纳率90%

证明：设△ABC重心为G.首先,根据欧拉线定理,有O、G、H在同一直线上,G在O、H中间,且GH=2OG.（这段不明白连我百度Hi）
由此可得向量GH=2向量OG,即2向量OG-向量GH=0,2向量OG+向量HG=0,3向量OG+向量HO=0,3向量OG+向量GA+向量GB+向量GC=向量OH（用到了重心的向量性质）,向量OA+向量OB+向量OC=向量OH,证毕.

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设P,Q,R是等轴双曲线上的任意三点,求证,三角形PQR的垂心H必在同一等轴双曲线上.（用参数方程解）

丽颖1年前1

candy糖果店 共回答了20个问题 | 采纳率85%

参数方程可设为x = a/cos(t),y = a·tan(t).
并设P,Q,R分别对应t = 2p,2q,2r.
PQ斜率为(tan(2q)-tan(2p))/(1/cos(2q)-1/cos(2p))
= (cos(2p)sin(2q)-cos(2q)sin(2p))/(cos(2p)-cos(2q))
= sin(2q-2p)/(cos(2p)-cos(2q))
= 2sin(q-p)cos(q-p)/(2sin(q+p)sin(q-p))
= cos(q-p)/sin(q+p).
设b = cos(p)cos(q)cos(r)+cos(p)sin(q)sin(r)+sin(p)cos(q)sin(r)+sin(p)sin(q)cos(r),
c = sin(p)sin(q)sin(r)+sin(p)cos(q)cos(r)+cos(p)sin(q)cos(r)+cos(p)cos(q)sin(r).
取s = arctan(-b/c),则b·cos(s)+c·sin(s) = 0.
该式可变形为:cos(q-p)cos(s-r)+sin(q+p)sin(s+r) = 0 ①,
cos(p-r)cos(s-q)+sin(p+r)sin(s+q) = 0 ②,
cos(r-q)cos(s-p)+sin(r+q)sin(s+p) = 0 ③.
取S为曲线上对应t = 2s的点,可知RS斜率为cos(s-r)/sin(s+r).
而由①可得RS ⊥ PQ,同理②保证QS ⊥ RP,而③保证PS ⊥ QR.
因此S就是△PQR的垂心H,故H也在曲线上.

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已知O,N,P在三角形ABC所在的平面内,且向量PA*PB=PB*PC=PC*PA,证明点P是三角形ABC的垂心.

25361471年前1

w687698 共回答了24个问题 | 采纳率87.5%

因为PA*PB=PB*PC
所以PA*PB-PB*PC=0
PB*(PA-PC)=0
PB*CA=0
所以PB与CA垂直
同理可证PA垂直于BC,PC垂直于AB
所以点P是三角形ABC的垂心.

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三角形的中心，重心，旁心，垂心，外心都是如何定义的，有啥特性？

拿什么拯救n1年前4

yanfei2928 共回答了4个问题 | 采纳率25%

重心角三个平分线的交点 垂心是角垂直平分线交点 外心是三角形外接圆圆心

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一道向量.一道向量.三角形ABC的垂心为H,求证 HA·HB = HB·HC = HC·HA三角形的内心,外心,垂心,中

一道向量.
一道向量.
三角形ABC的垂心为H,求证 HA·HB = HB·HC = HC·HA
三角形的内心,外心,垂心,中心,哪三点共线,证明之.

225851461年前2

ROMANZ 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%

1,HA·HB=HA*(HC+CB)
HA*HC+HA*CB
因为HA,CB垂直,积=0 所以HA*HB=HA*HC
同理.
2,见百度百科“欧拉线”,有详细证明.

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已知三角形ABC的三个顶点都在反比例函数y=1/x的图像上,求证它的垂心H也在这个函数的图像上

泪眼千睡1年前1

gmsill1 共回答了20个问题 | 采纳率90%

∵A、B、C都在y＝1/x上,∴可设A、B、C的坐标依次是：（a,1/a）、（b,1/b）、（c,1/）.
令H的坐标为（x,y）.
容易得出：
AB的斜率＝（1/a－1/b）/（a－b）＝－1/（ab）,
BC的斜率＝（1/b－1/c）/（b－c）＝－1/（bc）,
AH的斜率＝（1/a－y）/（a－x）,CH的斜率＝（1/c－y）/（c－x）.
∵AH⊥BC,CH⊥AB,
∴（1/a－y）/（a－x）＝bc,　（1/c－y）/（c－x）＝ab,
∴a（1/a－y）/（a－x）＝c（1/c－y）/（c－x）,
∴（1－ay）（c－x）＝（1－cy）（a－x）,
∴c－x－acy＋axy＝a－x－acy＋cxy,　∴（a－c）xy＝a－c.
显然,a－c≠0,∴xy＝1,即：y＝1/x.
∴点H（x,y）在反比例函数y＝1/x的图像上.

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1.H是锐角三角形ABC的垂心,分别作H关于边BC,CA,AB的对称点H1,H2,H3,若P为三角形ABC的外接圆上任意

1.H是锐角三角形ABC的垂心,分别作H关于边BC,CA,AB的对称点H1,H2,H3,若P为三角形ABC的外接圆上任意一点,连结PH1,PH2,PH3分别与边BC,CA,AB或其延长线交于点D,E,F,试证:D,E,F三点共线
2.在锐角三角形ABC中,R为外接圆半径.
(1)求证:AB+BC+CA>4R
(2)当去掉锐角三角形的条件时,讨论命题的真假
3.设K为三角形ABC的内心,点C1,B1分别为边AB,AC的中点,直线AB与C1K交于点B2,直线AB与B1K交于点C2,若三角形AB2C2与三角形ABC面积相等,试求角CAB

hymingqoo1年前0

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在平行四边形ABCD中,做BC、CD边的高AE、AF,连接EF,O点是△AEF的垂心,连接AC,求证：AO^2+EF^2

在平行四边形ABCD中,做BC、CD边的高AE、AF,连接EF,O点是△AEF的垂心,连接AC,求证：AO^2+EF^2=AC^2

红豆151年前1

mm之士2006 共回答了24个问题 | 采纳率75%

过E作EM⊥EF交AB于M.
∵O是△AEF的垂心,∴AO⊥EF,又EM⊥EF,∴AO∥ME.
∵O是△AEF的垂心,∴OE⊥AG,又AG⊥DC,∴OE∥DC.
∵ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴AB∥OE.
由AO∥ME、AB∥OE,得：AOEM是平行四边形,∴AO＝ME.
由勾股定理,有：FM^2＝ME^2＋EF^2＝AO^2＋EF^2.
∵O是△AEF的垂心,∴FO⊥AE,又CE⊥AE,∴FO∥CE,∴∠GOF＝∠GEC.
∵AO∥ME,∴∠AOG＝∠MEG.
∴∠GOF＋∠AOG＝∠GEC＋∠MEG,∴AOF＝∠MEC.
∵FO∥CE、OE∥FC,∴OECF是平行四边形,∴FO＝CE.
由AO＝ME、FO＝CE、∠AOF＝∠MEC,得：△AOF≌△MEC,∴AF＝MC.
∵平行线间处处等距离,而AF是平行线AB、DC间的距离,∴MC也是AB、DC间的距离,
∴MC⊥FC.
由AM∥FC、AF⊥FC、MC⊥FC,得：AFCM是矩形,∴AC＝FM.
∴AC^2＝AO^2＋EF^2.

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三角形中三条边的垂线连线的交点叫垂心,那三个角的角平分线和三条边的中线连线的交点是什么呢?

2226183ying1年前1

轻舟彼岸 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

那三个角的角平分线 内心
三条边的中线连线的交点 重心
外心,一个角的内角平分线和另外两个的外角平分线

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已知三角形ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心H（-3,2）,求顶点A的坐标

vvhys1年前1

幼发拉底河 共回答了9个问题 | 采纳率88.9%

三角形三条高的高点叫垂心,
直线BC方程为:
(Y-3)/(1-3)=(X+6)/(2+6),即X+4Y-6=0,
BC斜率为Kbc=-1/4,则直线AH斜率为Kah=-1/kbc=4.
直线AH方程为:Y-2=4(X+3),即4X+Y-14=0,
直线CH方程为(Y-3)/(2-3)=(X+6)/(-3+6),即,X+3Y-3=0,
直线Kab斜率为:Kab=-1/kch=3.
直线AB方程为:Y-1=3(X-2),即3X+Y+5=0.
解方程组:
3X+Y+5=0,
4X+Y-14=0,
X=19,Y=-62.
顶点A的坐标为(19,-62).

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抛物线y^2=8x的内接三角形的一个顶点是抛物线的顶点O,它的垂心是抛物线的焦点,

lucong0071年前1

不爱九寨沟 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

抛物线y^2=8x的内接三角形 OAB.
XA=XB
YA=YB
焦点c=(2,0)
垂心是抛物线的焦点c
(XB,YB).(XA-a,-XA)=XB(XA-a)-YA.YB=0
XA^2-2XA-YA^2=XA^2-2XA-8XA=0
XA=XB=10
YA^2=8XA=80
YA=-YB=2(20)^(1/2)

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外心.内心.垂心.重心各表示什么?

只是随便说说罢了1年前3

小 共回答了17个问题 | 采纳率82.4%

外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点.
内心：三角形的三内角平分线交于一点.
垂心：三角形的三条高交于一点.
重心：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.

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数学高手进已知B(-3,0),C(3,0),三角形ABC中BC边上的高的长为3,求三角形ABC的垂心H的轨迹方程

GLXXWC1年前3

rong0729 共回答了27个问题 | 采纳率100%

由于△ABC,BC边上的高为3,可设A(a,3)或A(a,-3)
(1)A(a,3)
过A点的高线为x=a
直线AC:(a-3)y=3(x-3)
AC边上的高过B点,垂直于AC
∴其方程为y=[(3-a)/3](x+3)
将x=a代入
得x^2+3y-9=0
(2)A(a,-3)同理,其轨迹与A(3,0)的轨迹关于x轴对称
∴x^2-3y-9=0
综上可得(x^2-3y-9)(x^2+3y-9)=0
(x^2-9)^2=9y^2
即|x^2-9|=3|y|

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O,H分别是三角形ABC的外心,垂心,点D在AB上,AD＝AH点E在AC上AE＝AO,求证：DE=AE

O,H分别是三角形ABC的外心,垂心,点D在AB上,AD＝AH点E在AC上AE＝AO,求证：DE=AE
O,H分别是三角形ABC的外心,垂心,点D在AB上,AD＝AH,点E在AC上,AE＝AO,求证：DE＝AE
请给详细过程及定理的内容

xiaobei02021年前1

大文化沙龙 共回答了12个问题 | 采纳率91.7%

以O为圆心,OA为半径作圆,延BH交AC于Q,延AH交BC于P. 方法1：延长BQ交圆O于N
因为角ANB=角ACB=角AHQ,所以AN=AH=AD,角HAQ=角NAQ
延长AO交圆O于F,所以角ABF=90度,所以角BAF=90度-角BFA,又角AFB=角ACP, 所以角BAF=90度-角ACP=角PAC
所以角DAE=角NAQ =2角CAP+角OAP
AO=AE（已知）
三角形AED全等于三角形AON（SAS）又AO=ON
所以AE=AO=ON=ED.
方法2：延长CO交圆O于M
所以角MBC=角MAC=90度,角BQA=角APB=90度
所以MA平行BQ,MB平行AP,
所以平行四边形MAHB,所以MB=AD
又角BMO=角DAE（圆周角）,MO=AO=AE
所以三角形MBO全等于三角形ADE（SAS）
所以AE=MO,ED=OB,又MO=OB,
所以AE=DE
所以三角形MBO全

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已知A、B是抛物线y^2=2px上的两个点,O为坐标原点,且抛物线的焦点恰为△ABO的垂心,求直线AB的方程

破破的名1年前1

gxl_ll 共回答了13个问题 | 采纳率84.6%

抛物线焦点F坐标为（p/2,0),因为OF是△ABO的垂心,所以,OF的延长线垂直于AB,所以,AB‖y轴
设点A坐标为（x,y),则点B坐标为（x,-y)
直线AF⊥OB,
AF的斜率为：y/(x-p/2)
OB的斜率为：-y/x
因为：直线AF⊥OB,所以,y/(x-p/2)=x/y
得,y²=x²-px/2,把y²=2px代入,得,
2px=x²-px/2,即：x²-5px/2=0,即：x(x-5p/2)=0
解得,x=0（舍去）,或,x=5p/2
所以,直线AB的方程为：x=5p/2

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求棱柱棱锥棱台圆锥圆柱圆台球体六面体三棱锥三棱柱内心外心重心垂心什么是交线的性质和定义.

沛蔓1年前1

晴天每日 共回答了19个问题 | 采纳率100%

重心是都有的,内心外心进不一定了,一般是没有的,只有特殊情况下才有,垂心?在圆柱中无此概念.
重心是圆柱体各水平切面的中心,各中心的连线的中心是重心.

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如图,AD,BE,CF是△ABC的三条高,证明AD,BE,CF必定相交于一点(即垂心).(提示：过A,B,C分别作对边的

如图,AD,BE,CF是△ABC的三条高,证明AD,BE,CF必定相交于一点(即垂心).(提示：过A,B,C分别作对边的平行线,说明三条高所在的直线是新三角形三边上的垂直平分线）

deepwhitee1年前2

ddrmdk 共回答了19个问题 | 采纳率84.2%

用内心来证明
如图
作ML‖BC
MN‖AC
LN‖AB
因为BE⊥AC
所以BE⊥MN
同理有
FC⊥LN
AD⊥ML
可知四边形ABCN为平行四边形
又
∠BCN=∠ABC
∠MAB=∠ABC
则∠BCN=∠MAB
则
△MAB≌△BCN
即MB=NB
即
EB为MN边的垂直平分线
同理可证得其它两条都为相应边的垂直平分线
给大三角画个外切圆
它的三个边都是圆的弦
根据定理：弦的垂直平分线都交于圆点
可知FC,BE,AD交于同一点

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垂心在立体几何中有什么作用例如一道题告诉你一点H为三角形ABC的垂心,PH垂直于平面ABC,且角APB为90度,求证PC

垂心在立体几何中有什么作用
例如一道题告诉你一点H为三角形ABC的垂心,PH垂直于平面ABC,且角APB为90度,求证PC垂直于PB．
图画不出来,我口述一下．
这是一个典型的空间四边形,底面为三角形ABC,垂心H在三角形ABC上与空间四边形的顶点P相连接．

zgs13891年前2

我比任何人都帅 共回答了13个问题 | 采纳率84.6%

不需要用比列,也不用勾股定理,直接用射影定理就出来了
证明:因为PH垂直于平面ABC,所以BH为斜线BP在平面ABC上的射影
连接BH,因为H为垂心,所以BH垂直于AC
所以BP垂直于AC(射影垂直,斜线垂直)
切BP垂直于AP,则BP垂直于平面APC,所以BP垂直于PC

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如图,已知H为△ABC的垂心,PH⊥平面ABC,且∠APB=90°.

如图,已知H为△ABC的垂心,PH⊥平面ABC,且∠APB=90°.
求证：PC⊥PB

阳光下的乔伊1年前2

袋熊inBonn 共回答了20个问题 | 采纳率90%

证明：
连结BH并延长交AC于D,
因H是三角形ABC的垂心,故BH⊥AC,
又PH⊥平面ABC,
根据三垂线定理,
AC⊥PB,
又AP⊥PB,（已知）,
AP∩AC=A,
∴PB⊥平面PAC,
PC∈平面PAC,
∴PB⊥PC

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如题：证明三角形垂心到三角形三边之比是：1/cosA=1/cosB=1/cosC

如题：证明三角形垂心到三角形三边之比是：1/cosA=1/cosB=1/cosC
注意是垂心,我觉得挺难的,拜托大家了!

aizi881年前1

龙背上的宝皇后 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%

设垂心为O,BC,CA,AB边的垂足分别为：D,E,F
OF=AO*cos角FOA=AO*cosB
OE=AO*cos角AOE=AO*cosC
所以:OF/OE=(1/cosC)/(1/cosB)
同理可证:OE/OD=(1/cosB)/(1/cosA)
所以:OF:OE:OD=(1/cosC):(1/cosB):(1/cosA)
即:垂心到三角形三边之比=(1/cosA):(1/cosB):(1/cosC)

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已知空间四边形ABCD中,AO1⊥平面BCD,并且O1为△BCD垂心,BO2⊥平面ACD于O2

已知空间四边形ABCD中,AO1⊥平面BCD,并且O1为△BCD垂心,BO2⊥平面ACD于O2
求证 O2是△ACD的垂心

nono1234561年前2

忘记24 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

丿BUG ,
证明：连结BO1,AO2,
∵AO1⊥平面BCD,O1为ΔBCD的垂心,
∴BO1⊥CD,由三垂线定理得AB⊥CD.
又BO2⊥平面ACD,由三垂线逆定理得AO2⊥CD.
同理连结DO1,CO2可证BC⊥AD,即CO2⊥AD.
∴O2是ΔACD垂心.

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