、从1～999中选出连续6个自然数,使得它们的乘积的末尾恰有4个0,一共有 种选法．

给你公式自己算吧:1+2+3+...+n=n(n+1)/2 n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+...+(n+m)=(2n+m)(m+1)/2

解题思路：根据题意，先看1～999这些数，在个位上，1～9每十个数出现一次，那么1～999中，会出现100次，同理可知，1～9在十位与百位上也会出现100次，然后按高斯求和公式解答即可．

在1～999中，1～9各个数字在百位，十位，个位上都出现了100次，
所以在1～999中，所有数字之和是：
（1+9）×9÷2×100×3，
=45×100×3，
=13500．

点评：
本题考点： 高斯求和；数字问题．

考点点评： 本题考查了高斯求和与数字问题的综合应用，关键是根据题意，先分析好每一数位上的数字之和，再根据题意解答即可．

解题思路：2×5=10；（2×5）×（2×5）×（2×5）×（2×5）=10000；A×（2×5）×（2×5）×（2×5）×（2×5）即A后4个0；可以看出末尾要恰好有4个0就需要乘积分解质因数后又且只有4组2×5．六个连续的自然数中必然有3个偶数，且有一个是4的倍数，所以2一定足够多，也就相当于质因数中有几个5末尾就有几个0．这里就只需要考虑质因数5的个数．

6个连续自然数的乘积末尾恰有4个0，则这6个数中必有4个因数5和4个因数2，5的个数的组合方式就有3+1和4+0两种情况；（1）3+1时，必有125的倍数．120～125，125～130；245～250，250～255；370～375，375～380；495～5...

点评：
本题考点： 排列组合．

考点点评： 解决本题从因数2和5的个数入手，找出可能的数，进而进行求解．

解题思路：如果依照题意在上图中进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难的．我们还应从最简单的情况入手分析，归纳出解决问题的规律，再用此规律解题．
如果是2个数1，2，最后剩下1；如果是3个数1，2，3，最后剩下3；如果是4个数1，2，3，4，最后剩下1；如果是5个数1，2，3，4，5，最后剩下3；如果是6个数1，2，3，4，5，6，最后剩下5；如果是1-7，7个数，最后剩下7；如果是1-8，8个数，最后剩下1．发现当数的个数是2，4，8时，最后剩下的都是1．实际上，当数的个数为2ⁿ时（n≥2），当擦完一圈后还剩2^n-1个数，把问题化成2^n-1个数的情况．不断作下去，最后化为2个数的情况，显然最后剩下的数为1（1为起始数）．

由于2⁹=512，2¹⁰=1024，2⁹＜999＜2¹⁰，
999-512=487．
这就是说，要剩2⁹个数，需要先擦去487个数．按题意，每两个数擦去一个数，当擦第487个数时，最后擦去的数是：487×2=974．
下一个起始数是975，所以，最后剩下的数应是975．
答：最后剩下的数是975．

点评：
本题考点： 哈密尔顿圈与哈密尔顿链．

考点点评： 这类题目有一定的规律：如果数的个数是2n（n是自然数）个数，那么划一圈剩下2n-1个数，划两圈剩下2n-2个数，…划n-1圈，就剩两个数，再划一圈就是剩下安全的数．

解题思路：如果依照题意在上图中进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难的．我们还应从最简单的情况入手分析，归纳出解决问题的规律，再用此规律解题．
如果是2个数1，2，最后剩下1；如果是3个数1，2，3，最后剩下3；如果是4个数1，2，3，4，最后剩下1；如果是5个数1，2，3，4，5，最后剩下3；如果是6个数1，2，3，4，5，6，最后剩下5；如果是1-7，7个数，最后剩下7；如果是1-8，8个数，最后剩下1．发现当数的个数是2，4，8时，最后剩下的都是1．实际上，当数的个数为2ⁿ时（n≥2），当擦完一圈后还剩2^n-1个数，把问题化成2^n-1个数的情况．不断作下去，最后化为2个数的情况，显然最后剩下的数为1（1为起始数）．

由于2⁹=512，2¹⁰=1024，2⁹＜999＜2¹⁰，
999-512=487．
这就是说，要剩2⁹个数，需要先擦去487个数．按题意，每两个数擦去一个数，当擦第487个数时，最后擦去的数是：487×2=974．
下一个起始数是975，所以，最后剩下的数应是975．
答：最后剩下的数是975．

点评：
本题考点： 哈密尔顿圈与哈密尔顿链．

考点点评： 这类题目有一定的规律：如果数的个数是2n（n是自然数）个数，那么划一圈剩下2n-1个数，划两圈剩下2n-2个数，…划n-1圈，就剩两个数，再划一圈就是剩下安全的数．

解题思路：如果依照题意在上图中进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难的．我们还应从最简单的情况入手分析，归纳出解决问题的规律，再用此规律解题．
如果是2个数1，2，最后剩下1；如果是3个数1，2，3，最后剩下3；如果是4个数1，2，3，4，最后剩下1；如果是5个数1，2，3，4，5，最后剩下3；如果是6个数1，2，3，4，5，6，最后剩下5；如果是1-7，7个数，最后剩下7；如果是1-8，8个数，最后剩下1．发现当数的个数是2，4，8时，最后剩下的都是1．实际上，当数的个数为2ⁿ时（n≥2），当擦完一圈后还剩2^n-1个数，把问题化成2^n-1个数的情况．不断作下去，最后化为2个数的情况，显然最后剩下的数为1（1为起始数）．

由于2⁹=512，2¹⁰=1024，2⁹＜999＜2¹⁰，
999-512=487．
这就是说，要剩2⁹个数，需要先擦去487个数．按题意，每两个数擦去一个数，当擦第487个数时，最后擦去的数是：487×2=974．
下一个起始数是975，所以，最后剩下的数应是975．
答：最后剩下的数是975．

点评：
本题考点： 哈密尔顿圈与哈密尔顿链．

考点点评： 这类题目有一定的规律：如果数的个数是2n（n是自然数）个数，那么划一圈剩下2n-1个数，划两圈剩下2n-2个数，…划n-1圈，就剩两个数，再划一圈就是剩下安全的数．

如果有2n个数,那么转一圈擦去一半,剩下2n-1个数,起始数还是1；再转一圈擦去剩下的一半,又剩下2n-2个数,起始数还是1……转了n圈后,就剩下一个数是1.
如果有2^n+d（d＜2n）个数,那么当擦去d个数时,剩下2^n个数,此时的第一个数是最后将剩下的数.因为擦去的第d个数是2d,所以2d+1就是最后剩下的整数.999=2^9+487,最后剩下的一个数是487×2+1=975.

解题思路：2×5=10；（2×5）×（2×5）×（2×5）×（2×5）=10000；A×（2×5）×（2×5）×（2×5）×（2×5）即A后4个0；可以看出末尾要恰好有4个0就需要乘积分解质因数后又且只有4组2×5．六个连续的自然数中必然有3个偶数，且有一个是4的倍数，所以2一定足够多，也就相当于质因数中有几个5末尾就有几个0．这里就只需要考虑质因数5的个数．

6个连续自然数的乘积末尾恰有4个0，则这6个数中必有4个因数5和4个因数2，5的个数的组合方式就有3+1和4+0两种情况；（1）3+1时，必有125的倍数．120～125，125～130；245～250，250～255；370～375，375～380；495～5...

点评：
本题考点： 排列组合．

考点点评： 解决本题从因数2和5的个数入手，找出可能的数，进而进行求解．