设集合G中的元素是所有形如a+b√2(a∈z,b∈z)的数 求证1,当x∈z时,X∈G

因为当x∈N时
可以看做x=x+0*根号2
因为x是自然数,所以x一定是整数,x∈Z成立
所以x符合上述的式子（a+b根号2）
所以x属于G

设：a,b,c,d∈Z
x=a+b根号2
y=c+d根号2
x+y=(a+c)+(b+d)根号2 a+c,b+d∈Z
故：x+y∈G
设：x=0+根号2
1/x=1/根号2=根号2/2
1/2不属于Z
1/x不属于G

解题思路：本题给出了新定义“融洽集”，判断给出的数集是否是“融洽集”，就要验证所给的数集是否满足“融洽集”，若其中有一个条件不满足，就不是“融洽集”．

①对于任意非负整数a，b知道：a+b仍为非负整数，∴a⊕b∈G；取e=0，及任意飞负整数a，则a+0=0+a=a，因此G对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”；
②对于任意偶数a，b知道：ab仍为偶数，故有a⊕b∈G；但是不存在e∈G，使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，故②的G不是“融洽集”．
③当a，b 都为平面向量时，两平面向量相加任然为平面向量，且存在零向量通过向量加法满足条件（2），故G是“融洽集”；
故答案为：①③．

点评：
本题考点： 进行简单的合情推理．

考点点评： 本题考查了对新定义“融洽集”理解能力，及对有关知识的掌握情况．关键是看所给的数集是否满足“融洽集”的两个条件．

设：a,b,c,d∈Z
x=a+b根号2
y=c+d根号2
x+y=(a+c)+(b+d)根号2 a+c,b+d∈Z
故：x+y∈G
设：x=0+根号2
1/x=1/根号2=根号2/2
1/2不属于Z
1/x不属于G

1、当b=0时,G=Z N含于Z
所以当x∈N时,x∈G
2、x=a1+b1√2 y=a2+b2√2
x+y=（a1+a2)+（b1+b2)√2
∵a∈Z,b∈Z 所∴a1+a2∈Z b1+b2∈Z
∴x+y∈G
当a=2 b=0时
x=2
1/x=1/2
易知1/2∉G
当a=1 b=0时
1/x=1
1/x∈G
∴1/x不一定属于集合G

解题思路：根据定义进行逐一判定，对于①，a与b通过加法运算还是非负整数，且存在一整数0满足条件（2），故①为融洽集；③当a，b 都为平面向量时，两平面向量相加任然为平面向量，且存在零向量通过向量加法满足条件（2），而②中找不到满足条件（2）的e．

根据题意我们可知①当a，b都为非负整数时，a，b通过加法运算还是非负整数，且存在一整数0∈G有0+a=a+0=a，所以①为融洽集；
③当a，b 都为平面向量时，两平面向量相加任然为平面向量，且存在零向量通过向量加法满足条件（2）；
②中找不到满足条件（2）的e．
故选C．

点评：
本题考点： 元素与集合关系的判断．

考点点评： 本题主要考查了新定义，解题的关键是注意给定条件的使用，属于基础题．

解题思路：本题给出了新定义“融洽集”，判断给出的数集是否是“融洽集”，就要验证所给的数集是否满足“融洽集”，若其中有一个条件不满足，就不是“融洽集”．

①对于任意非负整数a，b知道：a+b仍为非负整数，∴a⊕b∈G；取e=0，及任意飞负整数a，则a+0=0+a=a，因此G对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”；
②对于任意偶数a，b知道：ab仍为偶数，故有a⊕b∈G；但是不存在e∈G，使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，故②的G不是“融洽集”．
③取任意向量

a，

b，则

a+

b仍为向量，故有a⊕b∈G；取

e＝

0，及任意向量

a，则

a+

0＝

0+

a＝

a，故G是“融洽集”．
④取虚数a+bi与a-bi（其中b≠0），则（a+bi）（a-bi）=a²+b²为实数，也就是说不满足（a+bi）⊕（a-bi）∈G，
故④中的G不是“融洽集”．
故答案是B．

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

解题思路：根据题意对给出的集合和运算对两个条件：运算的封闭性和单位量e进行验证，分别用加法、乘法和平面向量的线性运算的法则判断，只有都满足时才是G关于运算⊕为“融洽集”．

①G={非负整数}，⊕为整数的加法，满足任意a，b∈G，都有a⊕b∈G，
且令e=0，有a⊕0=0⊕a=a，∴①符合要求；
②G={偶数}，⊕为整数的乘法，若存在a⊕e=a×e=a，则e=1，矛盾，∴②不符合要求；
③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法，两个向量相加结果仍为向量；取e＝

0，满足要求，
∴③符合要求；
④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，
∴④不符合要求；
⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴⑤不符合要求，
这样G关于运算⊕为“融洽集”的有①③．
故答案为：①③．

点评：
本题考点： 集合的含义．

考点点评： 本题考查了学生对新定义的理解和运用能力，可结合学过的运算性质进行类比理解，比如：第一条是运算的封闭性，第二条如加法中的“0”或乘法中的“1”．

（1）
x=x+0*√2
因为0和x均∈Z
所以x∈G
(2)
设x=a1+b1√2
y=a2+b2√2(4个参数均属于Z)
x+y = (a1+a2)+(b1+b2)√2
a1+a2∈Z b1+b2∈Z
所以x+y∈Z
1/x = 1/(a1+b1√2)
=(a1-b1√2)/(a1^2-2b1^2)
=a1/(a1^2-2b1^2) - b1/(a1^2-2b1^2)*√2
显然
a1/(a1^2-2b1^2)和b1/(a1^2-2b1^2)不一定是整数
所以1/x不一定属于G