2004^-2005*20032004^2-2005*2003

20032004*20042003-20032003*20042004
=(20032003+1)(20042004-1)-20032003*20042004
=20032003*20042004+20042004*1-20032003*1-1-20032003*20042004
=20042004-20032003-1
=10000
或用计算机
或:
原式=（20032003*20042003+20042003）-（20032003*20042004）
=20032003*（20042003-20042004）+20042003
=20042003-20032003
=10000

解题思路：（1）利用有理数的乘方运算法则得出即可；
（2）利用（1）中所求得出变化规律，进而得出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系；
（3）利用（1）中所求得出变化规律，进而得出2004²⁰⁰³和2003²⁰⁰⁴的大小关系．

（1）∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹，
∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²，
∵3⁴=81，4³=64，
∴3⁴＞4³，
∵4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵＞5⁴，
∵5⁶=15625，6⁵=7776
∴5⁶＞6⁵，
故答案为：＜，＜，＞，＞，＞；

（2）由（1）得出：nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ（n＜3）；
nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n≥3）；
故答案为：nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ（n＜3）；nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n≥3）；

（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论可知2004²⁰⁰³＜2003²⁰⁰⁴．

点评：
本题考点： 有理数的乘方；有理数大小比较．

考点点评： 本题考查的是有理数的乘方，先根据有理数乘方的法则计算出各数，再根据已知数据得出一般规律是解题关键．

20032004乘20042003减去20032003乘20042004
=20032004x(20042004-1)-20032003x20042004
=20032004x20042004-20032004-20032003x20042004
=20042004x(20032004-20032003)-20032004
=20042004-20032004
=10000

1.令a=20032003
则2004*20032002-2002*20032004
=2004(a-1)-2002(a+1)
=2004a-2004-2002a-2002
=2a-4006
=40064006-4006
=40060000
2.令a=2+...500
（1+2+...500）*（2+3+...504）-（1+2+...501）*（2+3+...+500）
是不是错了,第二个括号应该是（2+3+...501）?
（1+2+...500）*（2+3+...501）-（1+2+...501）*（2+3+...+500）
=(1+a)(a+501)-a(1+a+501)
=a(a+1)+501(a+1)-a(a+1)-501a
=501a+501-501a
=501
3.n(n+1)=n^2+n
所以1*2+2*3+……+n(n+1)=(1^2+2^2+……+n^2)+(1+2+……+n^2)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3
所以6*7+7*8+8*9+9*10+...20*21
=(1*2+2*3+……+20*21)-((1*2+2*3+……+5*6)
=20*(20+1)(20+2)/3-5*(5+1)(5+2)/3
=3080-70
=3010

设20032004为X ,所以原式可以变为X的平方除以（X-1）的平方+（X+1）的平方-2
根据完全平方公式（X-1）的平方+（X+1）的平方-2 可得2倍的X的平方
所以此题的结果为二分之一
此题运用的是换元的思想