在△ABC中，若sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，且满足ab=4，则该三角形

（Ⅰ）根据正弦定理设ka=sinA，kb=sinB，kc=sinC，
∵sin²A+sin²B-sin²C=sinA•sinB．
∴k²a²+k²b²-k²c²=ka•kb，即：a²+b²-c²=a•b
∴由余弦定理cosC=
a2+b2−c2
2ab=[1/2]
∴C=[π/3]
（Ⅱ）由余弦定理可知c²=a²+b²-2a•bcosC
∴4=a²+b²-a•b≥2ab-ab=ab（当且仅当a=b=2时等号成立）
即ab≤4
∴S_△ABC=[1/2]absinC≤
1
2×4×

3
2＝
3
∴△ABC面积的最大值为
3

点评：
本题考点： 正弦定理的应用．

考点点评： 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．正弦定理与余弦定理在解三角形时有很大的用途，要给予重视．

（1）证明：△ABC中，利用余弦定理可得cosC=
a2+b2−c2
2ab，
即a²+b²-c²=2ab•cosC．
再利用正弦定理可得sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC，
∴要证的等式成立．
（2）△ABC中，∵等式右边=4sin[A/2]sin[B/2]cos[C/2]=4sin[A/2]sin[B/2]cos[π−A−B/2]
=4sin[A/2]sin[B/2]sin[A+B/2]=4sin[A/2]sin[B/2]（sin[A/2]cos[B/2]+cos[A/2]sin[B/2]）
=2sin2
A
2sinB+2sinAsin2
B
2=（1-cosA）sinB+sinA（1-cosB）
=sinB+sinA-（sinBcosA+cosBsinA）=sinA+sinB-sin（A+B）
=sinA+sinB-sinC=左边，
∴要证的等式成立．

点评：
本题考点： 三角函数的化简求值．

考点点评： 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．

由正弦定理化简已知等式得：a²+b²-ab=c²，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=
a2+b2-c2
2ab=[ab/2ab]=[1/2]，
∵C为三角形的内角，
∴C=[π/3]，
∵ab=4，
∴S=[1/2]absinC=
3．
故答案为：
3

点评：
本题考点： 余弦定理；三角形的面积公式．

考点点评： 此题考查了余弦定理，正弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

①根据sin（α+β）=sinαcosβ+osαsinβ，由于α，β都是锐角，则cosα，cosβ∈（0，1），故sin（α+β）＜sinα+sinβ，故①正确；
②在△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，由正弦定理得，a²+b²＜c²，再由余弦定理得cosC=
a2+b2−c2
2ab＜0
即C为钝角，△ABC为钝角三角形，故②错；
③在△ABC中，若A＜B，则a＜b，由正弦定理得，sinA＜sinB，即有sin²A＜sin²B，即1-2sin²A＞1-2sin²B，即cos2A＞cos2B，故③错．
故答案为：①

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题以命题的真假判断为载体，考查正弦、余弦定理和两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式，是一道基础题．

（Ⅰ）根据正弦定理设ka=sinA，kb=sinB，kc=sinC，
∵sin²A+sin²B-sin²C=sinA•sinB．
∴k²a²+k²b²-k²c²=ka•kb，即：a²+b²-c²=a•b
∴由余弦定理cosC=
a2+b2−c2
2ab=[1/2]
∴C=[π/3]
（Ⅱ）由余弦定理可知c²=a²+b²-2a•bcosC
∴4=a²+b²-a•b≥2ab-ab=ab（当且仅当a=b=2时等号成立）
即ab≤4
∴S_△ABC=[1/2]absinC≤
1
2×4×

3
2＝
3
∴△ABC面积的最大值为
3

点评：
本题考点： 正弦定理的应用．

考点点评： 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．正弦定理与余弦定理在解三角形时有很大的用途，要给予重视．

（Ⅰ）由

m⊥

n得（sin²A+sin²B）×1+（-1）（sinAsinB+sin²C）=0，
即sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB（3分）
由正弦定理得a²+b²-c²=ab，即cosC＝
a2+b2−c2
2ab＝
1
2
∵C是△ABC的内角
∴C＝
π
3（6分）
（Ⅱ）f(x)＝cos(ωx−C)−cos(ωx+C)＝2sinωxsinC＝
3sinωx
∵f（x）的最小正周期为π
∴[2π/ω＝πω=2（9分）
∴f(x)＝
3sin2x
∵x∈[0 ，
π
3]
∴0≤2x≤
2π
3]
∴当2x＝
π
2即x＝
π
4时，f（x）的最大值为
3（12分）

点评：
本题考点： 数量积表示两个向量的夹角；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．

考点点评： 本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0、考查三角形的正弦定理，余弦定理、考查两角和与差的余弦公式、考查三角函数的周期公式及三角函数的有界性．

∵sin²A+sin²B-sinAsinB=sin²C，
∴a²+b²-ab=c²，
∴cosC=
a2+b2−c2
2ab=[1/2]，
∴C=60°，
∴S_△ABC=[1/2]absinC=[1/2]×4×

3
2=
3．
故选D

点评：
本题考点： 余弦定理．

考点点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题常用的公式，应熟练记忆．

（1）证明：△ABC中，利用余弦定理可得cosC=
a2+b2−c2
2ab，
即a²+b²-c²=2ab•cosC．
再利用正弦定理可得sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC，
∴要证的等式成立．
（2）△ABC中，∵等式右边=4sin[A/2]sin[B/2]cos[C/2]=4sin[A/2]sin[B/2]cos[π−A−B/2]
=4sin[A/2]sin[B/2]sin[A+B/2]=4sin[A/2]sin[B/2]（sin[A/2]cos[B/2]+cos[A/2]sin[B/2]）
=2sin2
A
2sinB+2sinAsin2
B
2=（1-cosA）sinB+sinA（1-cosB）
=sinB+sinA-（sinBcosA+cosBsinA）=sinA+sinB-sin（A+B）
=sinA+sinB-sinC=左边，
∴要证的等式成立．

点评：
本题考点： 三角函数的化简求值．

考点点评： 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．

（1）证明：△ABC中，利用余弦定理可得cosC=
a2+b2−c2
2ab，
即a²+b²-c²=2ab•cosC．
再利用正弦定理可得sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC，
∴要证的等式成立．
（2）△ABC中，∵等式右边=4sin[A/2]sin[B/2]cos[C/2]=4sin[A/2]sin[B/2]cos[π−A−B/2]
=4sin[A/2]sin[B/2]sin[A+B/2]=4sin[A/2]sin[B/2]（sin[A/2]cos[B/2]+cos[A/2]sin[B/2]）
=2sin2
A
2sinB+2sinAsin2
B
2=（1-cosA）sinB+sinA（1-cosB）
=sinB+sinA-（sinBcosA+cosBsinA）=sinA+sinB-sin（A+B）
=sinA+sinB-sinC=左边，
∴要证的等式成立．

点评：
本题考点： 三角函数的化简求值．

考点点评： 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．

利用正弦定理化简sin²A+sin²B-sinAsinB=sin²C，
得：a²+b²-ab=c²，即a²+b²-c²=ab，
∴根据余弦定理得：cosC=
a2+b2−c2
2ab=[1/2]，
∵C为三角形的内角，
∴sinC=
1−cos2C=

3
2，又ab=4，
则S_△ABC=[1/2]ab•sinC=
3．
故答案为：
3

点评：
本题考点： 正弦定理；余弦定理．

考点点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．