从1到2000这2000个连续自然数的和除以17所得的余数是______．

逆推法,
357*1+1=358
357*2+1=715
357*3+1=1072
357*4+1=1428
357*5+1=1786
……
357*6+1=2142,舍去
所以有五个

因为任何自然数除以9的余数等于各位数字和除以9的余数,因此只要算1到2000的各位和即可.
每个数字都可以表示为4位数（比如1也可以表示为0001,10则是0010）
这样,首位999个0,1000个1,1个2
各位,十位,百位,都是0到9均等出现
因此和是1002+200×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+0）×3=28002
除以9余数是3,因此这个数余数也是3

不明确你的意思.但其实很简单,举个例,根号下（2000*1999）,就大于500

既能被 6 整除 又能被 8 整除 的个数 2000/24=83
（2000-83）/2000=0.9585

解题思路：要求1到2000之间被3，4，5除余1的数共有多少个，先求出3、4、5的最小公倍数60，然后用2000除以60，商33余数20，另外加上1，则共有34个．被3、4、5除余1的数为60+1，120+1，180+1，…60×33+1；以60为公差的等差数列，然后加上1即可．因此的解．

因为3、4、5两两互质，所以3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60，
被3，4，5除余1的数为60+1，60×2+1，60×3+1，…，
1到2000之间被3，4，5除余1的数共有：
2004÷60=33…20，
1也是被3，4，5除余1的数，
所以共计：33+1=34（个）
答：1到2000之间被3，4，5除余1的数共有34个；
故答案为：34．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 此题考查了同余问题，明白1到2000中除了1之外被3、4、5除余1的个数是以3、4、5的最小公倍数为等差的等差数列是解决此题的关键．

解题思路：要求1到2000之间被3，4，5除余1的数共有多少个，先求出3、4、5的最小公倍数60，然后用2000除以60，商33余数20，另外加上1，则共有34个．被3、4、5除余1的数为60+1，120+1，180+1，…60×33+1；以60为公差的等差数列，然后加上1即可．因此的解．

因为3、4、5两两互质，所以3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60，
被3，4，5除余1的数为60+1，60×2+1，60×3+1，…，
1到2000之间被3，4，5除余1的数共有：
2004÷60=33…20，
1也是被3，4，5除余1的数，
所以共计：33+1=34（个）
答：1到2000之间被3，4，5除余1的数共有34个；
故答案为：34．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 此题考查了同余问题，明白1到2000中除了1之外被3、4、5除余1的个数是以3、4、5的最小公倍数为等差的等差数列是解决此题的关键．

解题思路：要求1到2000之间被3，4，5除余1的数共有多少个，先求出3、4、5的最小公倍数60，然后用2000除以60，商33余数20，另外加上1，则共有34个．被3、4、5除余1的数为60+1，120+1，180+1，…60×33+1；以60为公差的等差数列，然后加上1即可．因此的解．

因为3、4、5两两互质，所以3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60，
被3，4，5除余1的数为60+1，60×2+1，60×3+1，…，
1到2000之间被3，4，5除余1的数共有：
2004÷60=33…20，
1也是被3，4，5除余1的数，
所以共计：33+1=34（个）
答：1到2000之间被3，4，5除余1的数共有34个；
故答案为：34．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 此题考查了同余问题，明白1到2000中除了1之外被3、4、5除余1的个数是以3、4、5的最小公倍数为等差的等差数列是解决此题的关键．

取一个为1,共1998种取法（2-1999）
取一个为2,共997种取法（3-999）
3,共663种（4-666）
4,495（5-499）
5,394（6-399）
6,327（7-333）
7,278（8-285）
8,241（9-249）
9,212（10-221）
10,189（11-199）
11,170（12-181）
12,154（13-166）
13,140（14-153）
14,128（15-142）
15,118（16-133）
16,108（17-124）
17,100（18-117）
18,93（19-111）
19,86（20-105）
20,79（21-99）
21,74（22-95）
22,68（23-90）
23,63（24-86）
24,59（25-83）
25,54（26-79）
26,50（27-76）
27,47（28-74）
28,43（29-71）
29,39（30-68）
30,36（31-66）
31,33（32-64）
32,30（33-62）
33,27（34-60）
34,24（35-58）
35,22（36-57）
36,19（37-55）
37,17（38-54）
38,14（39-52）
39,12（40-51）
40,9（41-49）
41,7（42-48）
42,5（43-47）
43,3（44-46）
44,1（45）
总计7726种.

(1+2+.+2000)/400=5002.5

按被7除的余数分组
余1的个数：1到1996共286个
余2的个数：2到1997共286个
余3的个数：3到1998共286个
余4的个数：4到1999共286个
余5的个数：5到2000共286个
余6的个数：6到1994共285个
余0的个数：7到1995共285个
除余0的那组外,每组里任取3个数,其和都不能被7整除.
再考虑不同的组混合.
余1+余2 ,可以,572个
余1+余4 ,可以,572个
余1+余6 ,可以,571个
余2+余4 ,可以,572个
余2+余5 ,可以,571个
余3+余4 ,可以,572个
余3+余5 ,可以,571个
余3+余6 ,可以,571个
2组的不可能超过572个.
3组的不可能.
因此取余1、余2的2组共574个数,及加入余0组的2个数,共574个数,可以保证任意三个数之和都不能被7整除.

解题思路：要求1到2000之间被3，4，5除余1的数共有多少个，先求出3、4、5的最小公倍数60，然后用2000除以60，商33余数20，另外加上1，则共有34个．被3、4、5除余1的数为60+1，120+1，180+1，…60×33+1；以60为公差的等差数列，然后加上1即可．因此的解．

因为3、4、5两两互质，所以3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60，
被3，4，5除余1的数为60+1，60×2+1，60×3+1，…，
1到2000之间被3，4，5除余1的数共有：
2004÷60=33…20，
1也是被3，4，5除余1的数，
所以共计：33+1=34（个）
答：1到2000之间被3，4，5除余1的数共有34个；
故答案为：34．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 此题考查了同余问题，明白1到2000中除了1之外被3、4、5除余1的个数是以3、4、5的最小公倍数为等差的等差数列是解决此题的关键．

解题思路：用加法求出从1到2000这2000个连续自然数的和，然后除以17，根据“被除数÷除数=商…余数”解答即可．

（1+2+3+4+5+…+1999+2000）÷17，
=（1+2000）×（2000÷2）÷17，
=2001000÷17，
=117705…15；
故答案为：15．

点评：
本题考点： 有余数的除法；高斯求和．

考点点评： 考查了有余数的除法，本题的难点是求出1+2+3+4+5+…+1999+2000的和．

先求出其中有多少整数不能被6或8整除,反其道行之,即求出有多少能被6或8整除.其中被6整除的有2000/6＝333...2,即333-1＝332个,被8整除的有250个,如果直接用332+250＝582则重复了被24整除的部分（24是6与8的最小公倍数）,那么减去能被24 整除的即2000/24＝83...8即83个,所以被6或8整除的数共332+250-83＝499个,所以取到的整数不能被6或8整除的概率是（1998-499）/1998
方法就是这样,可能算错数

完整版（七道题技巧性较强!）：
1、119的倍数中,除以120余80的最小数为：
119×(120-80)=119×40=4760
120的倍数中,被119除于96的最小数为：
120×96=11520
119和120的最小公倍数为
119×120=14280
根据中国剩余定理,这个四位数为
4760+11520-14280=2000
2、答案应为3.
将前面1~999组成的位数进行如下处理：以0000开头,然后每个数前均补若干个0,使得成为一个四位数,如1补作0001,999补作0999,显然不改变其和数,也即不改变除9的余数.
考虑首尾错位相加,显然均为999,且有1000÷2=500对,其和自然是9的整数倍；
然后是100010011002……1999,除第1、5、9、13……等数位均为1外（共1000个1）,剩余位数为000001002……999,相当于1~999组成的数,其和是9的倍数.
那么,原数被9除所得的余数为1×1000+2+0+0+0=1002除以9所得的余数,即答案为3.
3、答案为86.
设十位位为x,个位为y.
首先,被11整除的数有个特点,即奇数位之和与偶数位之和的差必须能被11整除,那么：
2-5+7-6+3-3+x-y=x-y-2必可被11整除,或者x-y-2=0①,或者x-y-2=-11②
这个八位数被3除余1,则2+5+7+6+3+3+x+y=x+y+26被3除余1,也即x+y+1可被3整除.设x+y+1=3a③,a∈N；
这个八位数被4除余2,则末二位可被4整除,也即10x+y-2能被4整除,2x+y+2能被4整除.设2x+y+2=4b④,b∈N
由③和④得
x=-3a+4b-1,y=6a-4b ⑤
⑤代入①得
9a-8b+3=0
b=a+(a+3)/8
故a=8t-3,t∈Z,且b=9t-3
则x=-3a+4b-1=12t-4,
y=6a-4b=12t-6
考虑0≤x,y≤9,故t=1,x=8,y=6
也即此时末二位为86；
⑤代入②得
9a-8b-8=0
a=b+(8-b)/9
故b=8-9t,t∈Z,且a=8-8t
则x=-3a+4b-1=7-12t,
y=6a-4b=16-12t
考虑0≤x,y≤9,故t无解.
故答案为86.
4、答案为19.
19被99除余19；
1919=19×（99+1）+19被99除余19+19；
191919=1919×（99+1）+19被99除余19+19+19；
……
191919……19（100个19）除以99,余数为19×100除以99所得的余数,也即结果为19
5、答案为31
84=3×4×7
考虑1001=7×11×13,故1001×555=555555能被7整除.而1997=6×332+5,故55……55（1997个）÷7所得余数=55555÷7所得余数=3；
55……55（1997个）÷3所得余数=（5×1997）÷3所得余数=（5×2）÷3所得余数=1
55……55（1997个）÷4所得余数=55÷4所得余数=3
由于3、4、7互质,该数÷7所得余数=3,该数÷4所得余数=3,故
该数÷28所得余数为3,该数÷3所得余数为1：
假设该数÷84所得余数为a,1≤a≤83,那么a÷28所得余数为3,a÷3所得余数为1,根据中国剩余定理,a=3×（3的倍数中被28除余1的最小自然数）+1×（28的倍数中被3除余1的最小自然数）-84的若干倍=3×57+1×28-84×2=31
故答案为31
6、答案为5.
77的77次方+66的66次方+88的88次方的个位数字是（5）.
由：6×6=36,可知：
66的n次方（n≥1时）,个位数字一定是6；
由：7×7=49,9×7=63,3×7=21,1×7=7,可知,
7的n次方（n≥1时）,个位数字是按照7、9、3、1的顺序循环出现的,循环周期为4,
77÷4=21……3
因此77的77次方,与77的3次方、与7的3次方的个位数字相同,均为3；
同理可得：
8的n次方（n≥1时）,个位数字是按照8、4、2、6,循环周期为4,88÷4=22,
故88的88次方,与88的4次方、与8的4次方的个位数字相同,均为6；
从而：77的77次方+66的66次方+88的88次方的个位数字是 (6+3+6)-10=5
7、答案为2.
第一个数是15,第二个数是40.
第一个数被3除,余数为0；
第二个数被3除,余数为1；
第三个数等于第一个数与第二个数的和,因此,第三个数被3除,余数为1；
第四个数等于第二个数与第三个数的和,因此,第四个数被3除,余数为2；
第五个数等于第三个数与第四个数的和,因此,第五个数被3除,余数为0；
第六个数等于第四个数与第五个数的和,因此,第六个数被3除,余数为2；
第七个数等于第五个数与第六个数的和,因此,第七个数被3除,余数为2；
第八个数等于第六个数与第七个数的和,因此,第八个数被3除,余数为1；
第九个数等于第七个数与第八个数的和,因此,第九个数被3除,余数为0；
第十个数等于第八个数与第九个数的和,因此,第十个数被3除,余数为1.
至此,出现循环,即第九个数、第十个数被3除得余数分别与第一个数、第二个数被3除得余数相同,因此,循环周期为8.
1991÷8=248……7
故第1991个数被3除得余数与第7个数被3除所得余数相同,为2.

` 用int[A/B]表示A/B商的整数部分
1到2000中能被6或8整除的共有
int[2000/6]+int[2000/8]-int[2000/24]=333+250-83=500个
在1到2000中随机的取整数,取到的整数不能被6或8整除的概率为
1-500/2000=1-1/4=3/4

解题思路：要求1到2000之间被3，4，5除余1的数共有多少个，先求出3、4、5的最小公倍数60，然后用2000除以60，商33余数20，另外加上1，则共有34个．被3、4、5除余1的数为60+1，120+1，180+1，…60×33+1；以60为公差的等差数列，然后加上1即可．因此的解．

因为3、4、5两两互质，所以3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60，
被3，4，5除余1的数为60+1，60×2+1，60×3+1，…，
1到2000之间被3，4，5除余1的数共有：
2004÷60=33…20，
1也是被3，4，5除余1的数，
所以共计：33+1=34（个）
答：1到2000之间被3，4，5除余1的数共有34个；
故答案为：34．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 此题考查了同余问题，明白1到2000中除了1之外被3、4、5除余1的个数是以3、4、5的最小公倍数为等差的等差数列是解决此题的关键．

72=6²*2,故完全平方数*2后 再 乘以72后是完全平方数
2000/2=1000 而 32²>1000>31²
故有 1²*2 ,2²*2 ,...31²*2 共31个数

可以被6整除的都是6的倍数,假设有n个
6n小于等于2000
n小于等于2000/6