设可微函数f(x),g(x)满足f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0.g(0)不等于0.设z(x)

在
∫x0tf(t−x)dt中，令u=t-x，则有

∫x0tf(t−x)dt=
∫0−x(u+x)f(u)du=−
∫−x0uf(u)du−x
∫−x0f(u)du
∴x＝
∫x0f(t)dt−
∫−x0uf(u)du−x
∫−x0f(u)du
两边对x求导，整理得
f(x)＝1+
∫−x0f(u)du
两边对x求导，得f'（x）=-f（-x），
∴f''（x）=f'（-x）=-f（x），
解得：f（x）=C₁cosx+C₂sinx，
∴f'（x）=-C₁sinx+C₂cosx
由于f（0）=1，f'（0）=-1，
∴C₁=1，C₂=-1
∴f（x）=cosx-sinx

点评：
本题考点： 可微的充要条件．

考点点评： 此题考查了变限积分函数的导数以及微分方程的求解，都是基础知识点．

因为f（x）可微，
所以f（x）连续，则由
lim
x→0
f(x)
x＝0，可得：
f（0）=0，f′(0)＝
lim
x→0
f(x)−f(0)
x−0＝0，
令t=x-u，得：
∫x0f(x−u)du＝
∫x0f(t)dt，
从而：
xf′(x)+
∫x0f(x−u)du＝xf′(x)+
∫x0f(t)dt
由：xf′(x)+
∫x0f(x−u)du＝sin2x，
得：
f′(x)＝
sin2x−
∫x0f(t)dt
x，x≠0，
∴f″(0)＝
lim
x→0
f′(x)−f′(0)
x−0＝
lim
x→0
sin2x−
∫x0f(t)dt
x2
=
lim
x→0
sin2x
x2−
lim
x→0

∫x0f(t)dt
x2＝1−
lim
x→0
f(x)
2x＝1−0＝1＞0，
从而：f′（0）=0，f″（0）＞0，
∴f（0）是f（x）的极小值，
故选：A．

点评：
本题考点： 多元函数连续、可导、可微的关系．

考点点评： 注意当f′（x0）=0时，x0是f（x）的驻点，此时，若f″（x0）＞0，则f（x）在x0处取得极小值，反之则f（x）在x0处取得极大值．若f″（x0）=0，则x0不是极值点．

曲线x=f（y，z），z=g（y），将x，y，z对y求导，可得：

xy′＝
dx
dy＝fy′+fz′•zy′＝fy′+fz′g′
y′＝1
z′＝g′
所以，曲线x=f（y，z），z=g（y）在点（x₀，y₀，z₀）处的切线方程为：
x−x0
fy′(y0，z0)+fz′(y0，z0)g′(y0)＝y−y0＝
z−z0
g′(y0)

点评：
本题考点： 平面曲线的切线方程和法线方程的求法．

考点点评： 本题考查空间曲线的切线方程．不同于平面曲线的切线方程的点斜式，空间曲线的切线的方向向量是三维的，需要注意点斜式和点向式区别．

可微函数f（x，y）在点（x₀，y₀）取得极小值，
根据取极值的必要条件知f′_y（x₀，y₀）=0，即
f（x₀，y）在y=y₀处的导数等于零．
故选：A．

点评：
本题考点： 二元函数偏导数的概念；多元函数连续、可导、可微的关系；极值点和驻点的定义和求法．

考点点评： 本题考查了偏导数的定义，f（x0，y）在y=y0处的导数即f′y（x0，y0）；而f（x，y0）在x=x0处的导数即f′x（x0，y0）．

根据题意，可以构建拉格朗日函数：
F（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）
M（x₀，y₀）是f（x，y）在约束条件下φ（x，y）=0下的一个极值点，
根据拉格朗日函数极值点的条件，在（x₀，y₀）处要满足：


Fx′＝0
Fy′＝0
Fλ′＝0
即：
F_x′=f_x′（x₀，y₀）+λφ_x′（x₀，y₀）=0；
F_y′=f_y′（x₀，y₀）+λφ_y′（x₀，y₀）=0；
因为：φ_y′（x₀，y₀）≠0；于是根据F_y′=f_y′（x₀，y₀）+λφ_y′（x₀，y₀）=0，可以解得：
λ=-
fy′(x0，y0)
φy′(x0，y0)
将λ=-
fy′(x0，y0)
φy′(x0，y0)代入F_x′=f_x′（x₀，y₀）+λφ_x′（x₀，y₀）=0，得：
f_x′（x₀，y₀）-
fy′(x0，y0)
φy′(x0，y0)φ_x′（x₀，y₀）=0
即：f_x′（x₀，y₀）=
fy′(x0，y0)
φy′(x0，y0)φ_x′（x₀，y₀）
当f_x′（x₀，y₀）=0时，有φ_x′（x₀，y₀）=0或者f_y′（x₀，y₀）=0；
当f_x′（x₀，y₀）≠0时，有：φ_x′（x₀，y₀）f_y′（x₀，y₀）≠0，则必有：φ_x′（x₀，y₀）≠0且f_y′（x₀，y₀）≠0．
A选项为当f_x′（x₀，y₀）=0时，f_y′（x₀，y₀）可能等于0，而不是一定等于0，故A不对．
B选项为当f_x′（x₀，y₀）=0时，f_y′（x₀，y₀）可能不等于0，而不是一定不等于0，故B不对．
C选项为当f_x′（x₀，y₀）≠0时，f_y′（x₀，y₀）必不等于0，故C不对．
D选项为当f_x′（x₀，y₀）≠0时，f_y′（x₀，y₀）必不等于0，故D对．
故选：D．

点评：
本题考点： 利用拉格朗日乘数法求条件极值．

考点点评： 本题主要考察拉格朗日函数在求二元函数极值中的应用．通过构建拉格朗日函数在求多元函数极值，是一种很常见的方法，考生需要完全掌握．

令t=x^y，n=y^x
则：z=f（x^y，y^x）=f（t，n）
[dz/dx]=[∂f/∂t
∂t
∂x]+[∂f/∂n
∂n
∂x]

因为：[∂t/∂x]=
∂xy
∂x=yx^y-1
[∂n/∂x]=
∂yx
∂x=y^xlny
因此：
[dz/dx]=[∂f/∂t
∂t
∂x]+[∂f/∂n
∂n
∂x]=[∂f/∂t]yx^y-1+[∂f/∂n]y^xlny

=f1′yx^y-1+f2′y^xlny
故本题答案为：f1′yx^y-1+f2′y^xlny．

点评：
本题考点： 多元函数偏导数的求法；复合函数微分法则．

考点点评： 本题主要考察二元函数的偏导数以及复合函数的求导法则，属于基础题．