求幂函数∑(n=1,到无穷)(2n+3)x^(2n)在收敛域内的和函数

由于是求级数的收敛区间而不是一致收敛区间,故用数项级数的达朗贝尔判别法比较第n+1和第n项n趋于无穷时的极限与1比较即可得结果

∑ x^(n+1)/( (n+1)*3^n)
lim n^√[1/(n+1)*3^n]
=1/3
因此收敛域为(-3,3)
记S=∑ x^(n+1)/( (n+1)*3^n)
则S'=∑ (n+1)*x^n/((n+1)*3^n)
=∑ x^n/3^n
=∑(x/3)^n
=1+(x/3)+(x/3)^2+……+(x/3)^n,n趋于无穷
=[1-(x/3)^n]/[1-(x/3)],n趋于无穷
=1/(1-(x/3))
=3/(3-x)
S=S(0)+∫(0,x)S'(y)dy
=∫(0,x)3dy/(3-y)
=(-3)∫(0,x)d(3-y)/(3-y)
=(-3)ln(3-y) | (0,x)
=(-3)ln(3-x)-(-3)ln(3-0)
=(-3)ln(3-x)+3ln3
再讨论端点：
明显x=3,数项级数发散（在S与S'中）；x=-3,数项级数也发散（在S'中）
因此,收敛区间为：(-3,3)
有不懂欢迎追问

首先收敛域是(-1,1)
∑(n+1)²x^n
=[∑(n+1)x^(n+1)]'
=[x∑(n+1)x^n]'
=[x[∑x^(n+1)]']'
=[x[x/(1-x)]']'
=[x/(1-x)²]'
=(1-3x)/(1-x)³

1.S(x)=∑(∞,n=0)x^(2n+1)/(2n+1),S'(X)=∑(∞,n=0)x^2n=1/(1-x^2) 收敛域为（-1,1）2.S(x)=∫(0,x)1/(1-x^2)dx=1/2∫(0,x)[1/(1+x)+1/(1-x)]dx=1/2ln(1+x)/(1-x) x取值范围（-1,1)

首先你的n 没有范围,其次那个是x的n次方吗,如果是的话且n从0到无穷,这是很基本的e^x的展开式.你可以翻书到泰勒公式那里看看这个展开式.

an=1/n
收敛半径R=lim(n->∞)(1/n)/[1/(n+1)]=1
x=1,级数发散
x=-1,级数Σ(-1)^n·1/n收敛
所以
收敛域为[-1,1)

定义域求对数函数y=loga x 的定义域是{x ︳x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx（2x-1）的定义域,需满足{x>0且x≠1} . 　　{2x-1>0 ,x>1/2且x≠1},即其定义域为 {x ︳x>1/2且x≠1}值域：实数集R 　　定点：函数图像恒过定点（1,0）. 　　单调性：a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸 　　
0

以下级数皆是从一至无穷.
令f(x)=级数n(n+1)x^(n-1),两次积分后的函数是级数x^(n+1),即是1/(1-x)-(1+x),故f(x)=2/(1-x)^3,原式=xf(x)=2x/(1-x)^3.

首先y=x的三分之二次方是个偶函数,因此图像是关于y轴对称的,y轴的左右两边都有图像；
而y=x的三分之二次方（x>0）只有y轴右边的图像,它不能被叫做偶函数.

那一步是个泰勒级数的公式啦
1/（1-x）=1+X+X^2+x^3+……为公比为X的等比级数,收敛区间是（-1,1）.
这里把x平方带入公式里的x
1/（1-x）=1+X+X^2+x^3+……
这个公式又是由（1+x）^a的泰勒级数当a=-1 X取-X时推出来的
书上比较详细 maclaurin展开式那里.然后Rn趋于0时 该展开式就是maclaurin级数
这几个必须背得的.

收敛域是-2≤x＜0吧
令t=(x+1)²变换后能不能求出来?