已知函数y＝13x3+x2+x的图象C上存在一点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x1，y1）、N（

osmanzhang2022-10-04 11:39:542条回答

已知函数y＝

1

3

x3+x2+x的图象C上存在一点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），恒有y₁+y₂为定值y₀，则y₀的值为（　　）
A. −

1

3

B. −

2

3

C. −

4

3

D. -2

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食指711 共回答了19个问题 | 采纳率78.9%: 解题思路：根据题意可知P点是函数图象的对称中心，由此求出函数的对称中心，即可求出定值，从而得出正确选项．
P为定点，y₁+y₂为定值，可以得出M、N两点关于P点对称
y′=x²+2x+1
y〃=2x+2
由于三次函数的对称中心点处的二阶导数为0
∴y〃=2x+2=0
x=-1
故P点为（-1，-[1/3]）
y₀=y₁+y₂=-[1/3]×2=-[2/3]
故选B．

点评：
本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题主要考查了函数恒成立问题，P点是函数图象的对称中心是解题的突破口，属于中档题．; 1年前

wumin2201 共回答了17个问题 | 采纳率82.4%: 由y=x3+x2+x=(x+1)3-，可得函数的对称中心为点(-1，-)，即得点P的坐标为(-1，-)，过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则M、N两点关于点P中心对称，所以y1+y2=2×(-)，
∴y0=-2/3; 1年前

已知函数y＝13x3+x2+x的图象C上存在一点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x1，y1）、N（ 已知函数y＝ 1 3 x3+x2+x的图象C上存在一点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），恒有y₁+y₂为定值y₀，则y₀的值为（　　） A. − 1 3 B. − 2 3 C. − 4 3 D. -2 b8dpfcr1年前1: 马九王共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

解题思路：根据题意可知P点是函数图象的对称中心，由此求出函数的对称中心，即可求出定值，从而得出正确选项．
P为定点，y₁+y₂为定值，可以得出M、N两点关于P点对称
y′=x²+2x+1
y〃=2x+2
由于三次函数的对称中心点处的二阶导数为0
∴y〃=2x+2=0
x=-1
故P点为（-1，-[1/3]）
y₀=y₁+y₂=-[1/3]×2=-[2/3]
故选B．

点评：
本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题主要考查了函数恒成立问题，P点是函数图象的对称中心是解题的突破口，属于中档题．

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已知函数y＝13x3+x2+x的图象C上存在一点P（x0，y0）满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x1 已知函数y＝ 1 3 x3+x2+x的图象C上存在一点P（x₀，y₀）满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），恒有y₁+y₂为定值2y₀，则2y₀的值为（　　） A．− 1 3 B．− 2 3 C．− 4 3 D．-2 欠夜1年前1: 地球的一角共回答了15个问题 | 采纳率80%

解题思路：由题设条件知，本题中的P点是函数图象的对称中心，由此求出函数的对称中心，即可求出定值，再对比四个选项，得出正确选项
P为定点，y₁+y₂为定值，可以得出M、N两点关于P点对称
y′=x²+2x+1
y〃=2x+2
由于三次函数的对称中心点处的二阶导数为0
∴y〃=2x+2=0
x=-1
故P点为（-1，-[1/3]）
y₁+y₂=-[1/3]×2=-[2/3]
故选B

点评：
本题考点：奇偶函数图象的对称性．

考点点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，正确解答本题，关键是由题意得出点P是函数图象的对称中心，以及了解当点P中曲线上时，对称中心处函数的二阶导数为0，本题知识性强，且涉及到二阶导数与图象的关系，题后应总结解题规律

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已知函数y＝13x3+x2+x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x1，y1）、N 已知函数y＝ 1 3 x3+x2+x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），且恒有y₁+y₂为定值y₀，则y₀的值为 − 2 3 − 2 3 ． annwangyijia1年前1: tigersword 共回答了17个问题 | 采纳率100%

解题思路：根据题意可知P点是函数图象的对称中心，由此求出函数的对称中心，即可求出定值，从而得出正确选项．
y′=x²+2x+1=（x+1）²≥0，
函数y＝
1
3x3+x2+x单调递增，f′（-1）=0
则原函数关于P对称，f(−1)＝−
1
3，
所以定点P(−1，−
1
3)，y1+y2＝−
2
3
于是y₀=−
2
3．
故答案为：−
2
3．

点评：
本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题，P点是函数图象的对称中心是解题的突破口，属于中档题．

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