已知函数y=13x3+x2+x的图象C上存在一定点P满足:若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x1,y1)、N

annwangyijia2022-10-04 11:39:541条回答

已知函数y=
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x3+x2+x
的图象C上存在一定点P满足:若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x1,y1)、N(x2,y2),且恒有y1+y2为定值y0,则y0的值为
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tigersword 共回答了17个问题 | 采纳率100%
解题思路:根据题意可知P点是函数图象的对称中心,由此求出函数的对称中心,即可求出定值,从而得出正确选项.

y′=x2+2x+1=(x+1)2≥0,
函数y=
1
3x3+x2+x单调递增,f′(-1)=0
则原函数关于P对称,f(−1)=−
1
3,
所以定点P(−1,−
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3),y1+y2=−
2
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于是y0=−
2
3.
故答案为:−
2
3.

点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题,P点是函数图象的对称中心是解题的突破口,属于中档题.

1年前

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3
x3+x2+x
的图象C上存在一点P满足:若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x1,y1)、N(x2,y2),恒有y1+y2为定值y0,则y0的值为(  )
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b8dpfcr1年前1
马九王 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%
解题思路:根据题意可知P点是函数图象的对称中心,由此求出函数的对称中心,即可求出定值,从而得出正确选项.

P为定点,y1+y2为定值,可以得出M、N两点关于P点对称
y′=x2+2x+1
y〃=2x+2
由于三次函数的对称中心点处的二阶导数为0
∴y〃=2x+2=0
x=-1
故P点为(-1,-[1/3])
y0=y1+y2=-[1/3]×2=-[2/3]
故选B.

点评:
本题考点: 函数恒成立问题.

考点点评: 本题主要考查了函数恒成立问题,P点是函数图象的对称中心是解题的突破口,属于中档题.

已知函数y=13x3+x2+x的图象C上存在一点P满足:若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x1,y1)、N(
已知函数y=
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x3+x2+x
的图象C上存在一点P满足:若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x1,y1)、N(x2,y2),恒有y1+y2为定值y0,则y0的值为(  )
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osmanzhang1年前2
食指711 共回答了19个问题 | 采纳率78.9%
解题思路:根据题意可知P点是函数图象的对称中心,由此求出函数的对称中心,即可求出定值,从而得出正确选项.

P为定点,y1+y2为定值,可以得出M、N两点关于P点对称
y′=x2+2x+1
y〃=2x+2
由于三次函数的对称中心点处的二阶导数为0
∴y〃=2x+2=0
x=-1
故P点为(-1,-[1/3])
y0=y1+y2=-[1/3]×2=-[2/3]
故选B.

点评:
本题考点: 函数恒成立问题.

考点点评: 本题主要考查了函数恒成立问题,P点是函数图象的对称中心是解题的突破口,属于中档题.

已知函数y=13x3+x2+x的图象C上存在一点P(x0,y0)满足:若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x1
已知函数y=
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x3+x2+x
的图象C上存在一点P(x0,y0)满足:若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x1,y1)、N(x2,y2),恒有y1+y2为定值2y0,则2y0的值为(  )
A.
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B.
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D.-2
欠夜1年前1
地球的一角 共回答了15个问题 | 采纳率80%
解题思路:由题设条件知,本题中的P点是函数图象的对称中心,由此求出函数的对称中心,即可求出定值,再对比四个选项,得出正确选项

P为定点,y1+y2为定值,可以得出M、N两点关于P点对称
y′=x2+2x+1
y〃=2x+2
由于三次函数的对称中心点处的二阶导数为0
∴y〃=2x+2=0
x=-1
故P点为(-1,-[1/3])
y1+y2=-[1/3]×2=-[2/3]
故选B

点评:
本题考点: 奇偶函数图象的对称性.

考点点评: 本题考查奇偶函数图象的对称性,正确解答本题,关键是由题意得出点P是函数图象的对称中心,以及了解当点P中曲线上时,对称中心处函数的二阶导数为0,本题知识性强,且涉及到二阶导数与图象的关系,题后应总结解题规律

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