拉普拉斯方程u=u(x,y,z)的物理意义

当体系达到热平衡后,该体系中的任意一小区域内都没有净热流入或净热流出,即热流密度的散度为0,因此选用拉普拉斯方程.
稳定场方程中的“稳定”二字和你这里理解的有出入.注意泊松方程,左边的u(x,y,z)和右边的f(x,y,z)对应的是两种不同的物理量.比如对于真空中电场,泊松方程即为▽²φ(x,y,z)=-ρ(x,y,z)/ε0,其中φ(x,y,z)代表电势,而ρ(x,y,z)代表电荷密度.
同理,如果▽²u(x,y,z)=f(x,y,z),则右侧的f(x,y,z)代表的物理量和左侧的u(x,y,z)是不同的.如果u(x,y,z)代表温度,则f(x,y,z)代表的不是温度,因而与题目中的表面的温度分布是无关的.

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式.一个弯曲的表面称为曲面,通常用相应的两个曲率半径来描述曲面,即在曲面上某点作垂直于表面的直线,再通过此线作一平面,此平面与曲面的截线为曲线,在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1.通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交,可得到第二条截线和它的曲率半径R2,用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况.若液面是弯曲的,液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同,在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2,其数值与液面曲率大小有关,可表示为：
　　在数理方程中,拉普拉斯方程为：△u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0,其中△为拉普拉斯算子,此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程.三维情况下,拉普拉斯方程可由下面的形式描述,问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：
　　上面的方程常常简写作：
　　或
　　其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场）,grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场）,或者简写作：
　　其中Δ称为拉普拉斯算子.
　　拉普拉斯方程的解称为调和函数.
　　如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z),即：
　　则该方程称为泊松方程. 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程.偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子,英文是 Laplace operator 或简称作 Laplacian.
　　拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ,使得在D的边界上等于某给定的函数.为方便叙述,以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数）,直到区域内部热传导使温度分布达到稳定,这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解.
　　拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身,而是φ沿D的边界法向的导数.从物理的角度看,这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言,这种效果便是边界热流密度）.
　　拉普拉斯方程的解称为调和函数,此函数在方程成立的区域内是解析的.任意两个函数,如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程）,这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程.这种非常有用的性质称为叠加原理.可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来,构造适用面更广的通解.
　　
在流场中的应用
　　设u、v 分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的x 和y 方向分量（这里仅考虑二维流场）,那么不可压缩条件为：
　　无旋条件为：
　　若定义一个标量函数ψ,使其微分满足：
　　那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件.积分的结果函数ψ称为流函数,因为它在同一条流线上各点的值是相同的.ψ的一阶偏导为：
　　无旋条件即令 ψ 满足拉普拉斯方程.ψ的共轭调和函数称为速度势. 柯西-黎曼方程要求
　　所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场.解析函数的实部为速度势函数,虚部为流函数.

Mathematica当前是不支持直接求解调和方程的,要解的话需要用点小手段,具体可参考这里4楼：
不过,你的代码之所以会报出这个错误,还有更根本的问题,那就是
1 内置函数首字母要大写
2 你NDSolve里的函数名是T,前面你却试图赋值给u是作甚?
3 也许还有其他问题但你不给代码我也没法实验.

错误.梯度的方向是等势面的法线方向.

错误.泊松方程适用于有源区域,拉普拉斯方程适用于无源区域.
正确.这里场强与气球表面积成反比.
正确.恒定电流满足连续性方程.
错误.恒定磁场是一种无散无源场.
正确.
错误.在理想导体中可以存在恒定磁场.
错误.在理想的导体表面,电力线与导体表面不可能成平行关系.
错误.在恒定电流的周围不一定存在恒定电场.
错误.磁介质在外部磁场的作用下,磁化介质出现了束缚电流.

u=Re((x+iy)^n)(整式)
u=ln(x^2+y^2)（对数）
u=arctan(y/x)（反三角）
u=Re(e^(x+iy))（指数,即三角）
u=Re((1+z)/(1-z)),z=x+iy（分式）

x=r*cosθ y=r*sinθ
代入即可

我算了一个多小时,终于算出来了,写在后边.
这个方程是个微分方程,空间任何一点都必须满足这个方程,即使是r = 0,写成方程后也像下边这样.



不知道为什么,图片上传不上来了.我把证明过程放在附件的压缩包里边了.

你的题目不完整,需要继续提供以下信息我才能帮你：
1、空间有没填充介质,如果有,则：
2、介质的性质如何?例如是线性介质还是非线性介质?
3、你的球是什么东西?是两个金属壳,还是单纯的两个介质球?
补充：
原来是介质球,最恶劣的情况.我实在没有把握用勒让德多项式的通解来解决,因为现在的边界条件因为不对称而变得很复杂.不是说边界条件的方程描述复杂,而是不知道将边界条件代入勒让德多项式之后会出来个啥.
首先将贯穿两球心的直线设为极轴,大球的球心为极点设立坐标,于是空间的电势分布与φ无关,其通解为欧拉方程的解乘以勒让德多项式.显然,该通解适用于整个空间.
将空间分为3部分：
1、大球以外的部分
2、大球内小球外的部分
3、小球内的部分
在这三个部分中,必然有不同的解,于是每个部分都有一个形式一样的通解,只是通解的系数不同.
另外,由于极点的电场不为无穷,则第二部分对应的通解还能约简1项.
三部分对应三个边界条件：
1、在小球球壳处,即第三部分和第二部分交界处,两边的D相等.
2、在大球球壳处,两边的D相等
3、接下来考虑无穷远.这个我就没办法了,只能给出当电场方向跟极轴方向平行的情况,此时在无穷远处,电势为E0*r*cos(θ).至于电场与极轴不平行,我无能为力.
将三个通解代入上面三个边界条件,可得出全解.
如果你的电场真的跟极轴有夹角,那就只能用其他方法了.嗯,也许能用格林函数也真的不一定,不过很麻烦.首先你要将电场看成由一个无穷大的平面电荷组成,然后求出每一点的格林函数,积分再积分.只是说说了,我不会去尝试的,哈.

f是函数,ə是求偏导符号直角坐标下的拉普拉斯方程为：(ə²/əx²)+(ə²/əy²)f=0极坐标下的拉普拉斯方程：(ə²/ər²)+(1/r)(ə/ər)+(1/r²)...