(2011•平湖市模拟)如图,已知Rt△ABC≌Rt△DEF,∠C=∠F=90°,AC=DF=3,BC=EF=4,△DE

Eli_von2022-10-04 11:39:541条回答

(2011•平湖市模拟)如图,已知Rt△ABC≌Rt△DEF,∠C=∠F=90°,AC=DF=3,BC=EF=4,△DEF绕着斜边AB的中点D旋转,DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P,Q.当△BDQ为等腰三角形时,AP的长为
[25/6]或[13/6]或[11/12]
[25/6]或[13/6]或[11/12]

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白色啦 共回答了20个问题 | 采纳率95%
解题思路:分类讨论:当BD=BQ,由AC=DF=3,BC=EF=4,则AB=5,过D作DM⊥BC与M,DN⊥AC于N,利用三角形的中位线的性质得到DM=AN=[1/2]AC=[3/2],BD=[1/2]AB=[5/2],DN=BM=[1/2]BC=2,可得到BQ与QM的长,然后利用等腰三角形的性质得到∠3=90°-[1/2]∠B,易得∠2=[1/2]∠B,又Rt△ABC≌Rt△DEF,利用三角形全等的性质得到∠EDF=∠A=90°-∠B,则∠1=[1/2]∠B,即∠1=∠2,则△CPD∽△CDA,然后根据三角形相似的性质得到PN:QM=DN:DM,代值计算可得CP,从而求得AP;
当DB=DQ,则Q点在C点,易证△CPD∽△CDA,然后根据三角形相似的相似比即可得到CP,从而求得AP;
当QB=QD,则∠B=∠BDQ,而∠EDF=∠A,得到∠EDF+∠BDQ=90°,即ED⊥AB,易证Rt△APD∽Rt△ABC,然后根据三角形相似的相似比即可求得AP.

(1)当BD=BQ,
∠C=∠F=90°,AC=DF=3,BC=EF=4,
则AB=5,
过D作DM⊥BC与M,DN⊥AC于N,如图,
∵D为AB的中点,
∴DM=AN=[1/2]AC=[3/2],BD=[1/2]AB=[5/2],DN=BM=[1/2]BC=2,
∴BQ=BD=[5/2],QM=[5/2]-2=[1/2],
∴∠3=90°-[1/2]∠B,
而∠2+∠3=90°,
∴∠2=[1/2]∠B,
又∵Rt△ABC≌Rt△DEF,
∴∠EDF=∠A=90°-∠B,
而∠1+∠EDF+∠2=90°,
∴∠1=[1/2]∠B,即∠1=∠2,
∴△DQM∽△DPN,
∴PN:QM=DN:DM,即PN:[1/2]=2:[3/2],
∴PN=[2/3],
∴AP=[3/2]+[2/3]=[13/6];

(2)当DB=DQ,则Q点在C点,如图,
DA=DC=[5/2],
而Rt△ABC≌Rt△DEF,
∴∠EDF=∠A,
∴△CPD∽△CDA,
∴CP:CD=CD:CA,即CP:[5/2]=[5/2]:3,
∴CP=[25/12],
∴AP=3-[25/12]=[11/12];

(3)当QB=QD,则∠B=∠BDQ,
而∠EDF=∠A,
∴∠EDF+∠BDQ=90°,即ED⊥AB,如图,
∴Rt△APD∽Rt△ABC,
∴AP:AB=AD:AC,即AP:5=[5/2]:3,
∴AP=[25/6].
故答案为[13/6]或

点评:
本题考点: 等腰三角形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

考点点评: 本题考查了等腰三角形的性质:两腰相等,两底角相等.也考查了三角形全等的性质和三角形相似的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论思想的运用.

1年前

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10,10,4;
10,11,3;
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共12种情况,
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(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AB=AD,
又∵AE⊥BC,AF⊥DC,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
∴△AEB≌△AFD;

(2)△CEF为等腰三角形.
∵△AEB≌△AFD,
∴BE=DF,
又∵BC=CD,
∴CE=CF,
∴△CEF为等腰三角形.

点评:
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∵BE=FD=[BD−EF/2]=[448−36/2]=206米,
∴BF=BE+EF=206+36=242米.
∵在直角△ABF中,tan∠AFB=[AB/BF],
∴AB=BF•tan∠AFB=242×tan28.2°≈242×0.536=129.712≈130米.
故答案是:130.

点评:
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