抛物线方程y=ax^2+bx+c的焦点怎么计算?

由抛物线标准公式y^2=2px可见抛物线的焦点距离其顶点的距离只由二次项系数a决定,将方程写成标准式,即y=a(x+m)^2+k,其中m=b/2a,k=(4ac-b^2)/4a,则得(x+m)^2=(y-k)/a,即得p=1/2a,由抛物线的性质可知抛物线的焦点在距顶点1/8a处,顶点坐标为(-m,k),因此抛物线的焦点为(-m,k+1/8a),即(-b/2a,(8ac+1-2b^2)/8a).

原方程可化为(x+b/2a)^2=[y-(c-b^2/4a^2)]/a，因此焦点坐标为（0，1/4a）向左移动b/2a，向上移动c-b^2/4a^2，即（-b/2a，c-b^2/4a^2+1/4a)

应该化为标准方程。
先化为y=a[x+b/(2a)]²+(4ac-b²)/(4a)
于是 [x+b/(2a)]²=(1/a)[y+(b²-4ac)/(4a)]
令x'=x+b/(2a)，y'=y+(b²-4ac)/(4a)，则有
x'²=(1/a)y'，在x'O'y'内，焦点为(0，1/(4a) )
于是在xOy坐标系内，焦点为( -b/(2a)，(1+4ac-b²)/(4a) )。