解析函数的高阶导数,问下 cosπz 的4次方4加括号是什么意思?怎么计算这个? 求大神指导~~

解析函数：∂u/∂x=∂v/∂y
∂u/∂x=2y=∂v/∂y
v=y^2+c*g(x)
由g(0)=-i 可得c*g(x)=-1
v=y^2-1
f(z)=2(x-1)y+i*（y^2-1）

首先,你题目打错了.u-v就不是调和函数.
应该是u-v=x^3+3x^2y-3xy^2-y^3
令g=(1+i)f,则g=(u-v)+i(u+v).首先求g,把x和y用z和z的共轭表示.发现u-v=(1-i)z^3的实部.所以g=(1-i)z^3.所以f=-iz^3.所以u=3x^2y-y^3.

一样的

f(z)=iv/(3-2z)

可去奇点就是：右极限f(a+0)=左极限f(a-0)≠f(a)或f(a)没有意义,称a是函数
f(x)的可去奇点.
例如函数 { x²,当x≠0,
f(x)={
{ 1,当x=0.
已知 f(0+0)=0,f(0-0)=0,
∵f(0+0)=f(0-0)≠f（0）,
∴0是函数f(x)的可去奇点.

不就是（0,0）到（x,y）的积分?这个积分和路径无关所以你可以先从（0,0）积到（x,0） 所以此时dy=0,就是0到x的积分,积分的函数就是3x2,积得=x3,你再从（x,0）积到（x,y）此时dx=0,那么就是0到y积分,积分函数就是-6xy（x是常值）,积分得到-3xy2 再加上那个常数就是那个答案.题目是什么都没写出来.第二个要把题目给我看

我有个类似的题,方法一样,我以文件给你发过去吧

g=0b=6d=4s=

复合闭路定理是由柯西积分定理推广得到的.
它的意义是指函数沿着边界C的积分等于函数沿着C的内边界的积分之和.
你把每个奇点用C的内部的许多C''包围起来,符合复合闭路定理的要求,那自然含奇点的函数在闭曲线上求积分要使用这个定理喽. 以后学了留数,你就会知道用留数计算你所说的积分很容易……总之就是方法不唯一.
第二个问题,一般高校复变函数都不会讲或考到吧……不过很多书上会有,积分路径上有奇点的积分要用到复变留数理论.大致上是建立一个充分小的圆弧用它来绕开奇点……一般是计算暇积分会用到…….我们复变不考暇积分,哈哈.
还有什么问题的话追问我一起探讨哈~

在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差.泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒.他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式,尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例.在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差.泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒.他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式,尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例

(1)∂u/∂x=1+y
∂u/∂y=-1+x
根据柯西黎曼方程：
∂v/∂x=-∂u/y=1-x
f‘(z)=∂u/∂x+i(∂v/∂x)=1+y+i-ix=-iz+(1+i)
∴f(z)=-(i/2)z²+(1+i)z+C（C为一纯虚数）
(2)∂v/∂x=e^x siny
∂v/∂y=e^x cosy
根据柯西黎曼方程：
∂u/∂x=∂v/∂y=e^x cosy
f‘(z)=∂u/∂x+i(∂v/∂x)=e^x cosy+ ie^x siny=e^z
∴f(z)=e^z+C（C为一实数）

v+iu=i(u+iv)^*,所以一般来说不是.

由柯西-黎曼条件v'(x)=-u'(y),v'(y)=u'(x)得u'(y)=-6xy,u'(x)=3y²-3x²
因而选择B

用泰勒展开式做.

阿尔弗斯的书里的方法：
设所求的解析函数是f,用g(z)表示[f(z*)]*,其中*表示复共轭.令C=g(0)=f(0)* 是一个待定常数.
容易证明如果f是解析的,则g也是解析的.
令U(z,w)是一个二元复函数,定义为U(z,w)=[f(z+iw)+g(z-iw)]/2,U解析.
用 z/2,z/(2i) 代入,得到：U(z/2,z/(2i)) = [ f(z) + g(0) ]/2 = [ f(z)+C ]/2,得到 f(z) = 2U(z/2,z/(2i))-C
用实数x,y 代入,并记z=x+iy得到：U(x,y)=[ f(x+iy) + g(x-iy) ]/2 = [ f(z) + f(z)* ] /2 = f的实部 = u(x,y)
就是说,U在实数集上和u相等.由解析函数的唯一性,可知U(z,w)=w^3-3z^2 w是u(x,y)的自然扩充,也就是把u中的x,y替换成z,w得到的复函数.
所以 f(z)=2U(z/2,z/(2i))-C= z^3 * i /2 相差任意虚常数.

设f(z)=u+iv为解析函数,则由Cauchy-Riemann方程知∂v/∂x=-∂u/∂y=-x+2y；∂v/∂y=∂u/∂x=2x+y.v=-x^2/2+2xy+y^2/2+C,C为常数.f(z)=u+iv=x^2+xy-y^2+i(-x^2/2+2xy+y^2/2+...

令v（x,y）=0不就行了么、、、
或者u（x,y）在每处的偏导数都存在

1/z,在除原点外处处解析,但是除去原点的平面不是单连通区域,区域D是单连通区域要满足任意D内的简单闭曲线其内部均含于D,但是任意围绕原点的简单闭曲线内部并不均含于D（原点不含于D）,因此不满足定理条件,但除去支割线后的平面是单连通的,1/z的支点是0,∞,当取支割线为负实轴时,原函数lnz+C是单值解析的,支割线除了可负实轴还可以取任意连接0和∞的简单曲线,这样的简单曲线一定能把平面分出一个单连通区域.

应该不一定,平常我们碰见的题大都是系数很规律的幂级数,当系数不规律时该函数只能表现为级数形式.

解析函数
从直觉上来说是刚性的,因为只要知道一个开领域,就可以延拓到整个复平面.
环路积分实际上是同调不变.是拓扑找洞,找把手用的东西.
我个人觉得似乎可以认为和路径选取没什么关系.
当然我不确定如果你选了别的路径,你的计算是不是简单.

f(x+iy)=my³+nx²y+i(x³+lxy²)
对x求导
f'=2nxy+i(3x²+ly²)
对y求导
if'=3my²+nx²+i(2lxy)
即f'=2lxy-i(3my²+nx²)
所以2nxy=2lxy ①
(3x²+ly²)=-(3my²+nx²) ②
可以得到
n=l
3m=-l
-n=3
∴n=-3
l=-3
m=1

调和函数的定义为∂^2(u)/∂x^2+∂^2(u)/∂y^2=0.
对u(x,y)=x^2+xy-y^2,
∂u/∂x=2x+y,所以∂^2(u)/∂x^2=2；
∂u/∂y=x-2y,所以∂^2(u)/∂y^2=-2.
所以∂^2(u)/∂x^2+∂^2(u)/∂y^2=0,u为调和函数
设f(z)=u+iv为解析函数,则由Cauchy-Riemann方程知
∂v/∂x=-∂u/∂y=-x+2y；
∂v/∂y=∂u/∂x=2x+y.
所以v=-x^2/2+2xy+y^2/2+C,C为任意常数.
所以
f(z)=u+iv
=x^2+xy-y^2+i(-x^2/2+2xy+y^2/2+C)
=(1-i/2)(x^2+2ixy-y^2)+iC
=(1-i/2)(x+iy)^2+iC
=(1-i/2)z^2+iC,
再将f(i)=-1+i代入可求得C=1/2,所以
f(z)=(1-i/2)z^2+i/2

z=x+iy 通过这个转化

是复变函数的吗?这个很深的.你要看定义,了解定义才能更好的做题,更好的看清楚答题过程

f(z)=根号z不是定义在复平面上的单值函数,需要挖掉一条过原点的线才行的

在复平面上除z=1以外的区域解析 （z=1为奇点）
解析函数要满足C-R方程
f（z）=cos（z）在复平面上处处解析 满足C-R方程
f（z）=e^z在复平面上处处解析 满足C-R方程

设f(z)=u+iv为解析函数,则由
∂v/∂x=-∂u/∂y=-x+2y；
∂v/∂y=∂u/∂x=2x+y.
v=-x^2/2+2xy+y^2/2+C,C为常数.
f(z)=u+iv
=x^2+xy-y^2+i(-x^2/2+2xy+y^2/2+C)
=(1-i/2)(x^2+2ixy-y^2)+iC
=(1-i/2)(x+iy)^2+iC
=(1-i/2)z^2+iC,
f(i)=-1+i代入,得C=1/2,
f(z)=(1-i/2)z^2+i/2

U(x,y)＝my³+nx²y,V(x,y)＝x³+lxy².
根据αU/αx＝αV/αy,αU/αy＝-αV/αx,得2nxy=2lxy,3my²＋nx²＝-3x²-ly².
所以,n=l,n=-3,3m=-l
所以 ,m=1,n=-3,l=-3

不能.实部和虚部还必须是可微的.

正确!

f( i )=0则u(x,y)=u(i,y)=0且v(x,y)=v(i,y)=0
由u(x,y)=(x^2)-(y^2)+1得u(i,y)=i^2-y^2+1=0
∴y^2=i^2+1=0,y=0
则f(i)=0时,f(x)=u(i,0)+iv(i,0)

看不大懂你写的,给你说方法吧
因为是解析函数,所以处处可导（任意阶的都行）,因此满足柯西-黎曼方程
u为实部,v为虚部
刚才说的C-R方程：u对x求偏导=v对y求偏导；v对x求偏导=负的u对y求偏导
实际上u（x,y） v（x,y）就是区域B上两组正交曲线簇,将C-R方程两边相乘就得u、v的梯度正交
u、v均为B上调和函数,即满足拉普拉斯方程（就是梯度平方=0）
你算的时候应该直接用C-R条件就可以了吧

v(x.y)=2x^2+x-2y^2
偏u/偏x=偏v/偏y=-4y
偏u/偏y=-偏v/偏x=-4x-1
u=-4xy+g(y)
-4x+f'(y)=-4x-1
g'(y)=-1
g(y)=-y+C1
f(x+iy)=-4xy-y+C1+i[2x^2+x-2y^2+C2]
∵f(1)=3i
∴C1=0 2+1+C2=3 C2=0
∴
f(x+iy)=-4xy-y+i(2x^2+x-2y^2)

过程不算很详细,
(1) e^(iz)在原点的幂级数展开为1+iz+(iz)²/2+(iz)³/6+...
因此f(z) = (1+iz-e^(iz))/z² = 1/2+iz/6+...
可知a = lim{z → 0} f(z) = 1/2.
(2) 在定义f(0) = a以后,f(z)在整个复平面上解析.
由Cauchy积分定理,f(z)沿闭曲线D_A的积分∫{D_A} f(z)dz = 0.
(3) 曲线C_A可参数化为z = Ae^(it),t由0到π.
故∫{C_A} (1+iz)/z² dz = ∫{0,π} (1+iAe^(it))/(Ae^(it))² d(Ae^(it))
= ∫{0,π} (1+iAe^(it))/(Ae^(it))²·Aie^(it) dt
= i/A·∫{0,π} e^(-it)dt + ∫{0,π} (-1)dt
= i/A·(ie^(-iπ)-ie^(-i0))-π
= 2/A-π.
于是lim{A → +∞} ∫{C_A} (1+iz)/z² dz = -π.
(4) |∫{C_A} e^(iz)/z² dz| = |∫{0,π} e^(iAe^(it))/(Ae^(it))² d(Ae^(it))|
= |∫{0,π} e^(iAe^(it))/(Ae^(it)) dt|
≤ ∫{0,π} |e^(iAe^(it))/(Ae^(it))| dt
= ∫{0,π} |e^(-Asin(t)+iAcos(t))|/|Ae^(it)| dt (当b为实数,|e^(ib)| = 1).
= ∫{0,π} e^(-Asin(t))/A dt
≤ ∫{0,π} 1/A dt (Asin(t) ≥ 0,故e^(-Asin(t)) ≤ 1)
= π/A.
当A → +∞时π/A → 0,可得lim{A → +∞} |∫{C_A} e^(iz)/z² dz| = 0.
故lim{A → +∞} ∫{C_A} e^(iz)/z² dz = 0.
(5) 由(3)(4)的结果,可得lim{A → +∞} ∫{C_A} f(z)dz = -π.
又由0 = ∫{D_A} f(z)dz = ∫{C_A} f(z)dz+∫{-A,A} f(z)dz,
可得lim{A → +∞} ∫{-A,A} f(z)dz = π.
注意到∫{-A,A} f(z)dz = ∫{-A,0} f(z)dz+∫{0,A} f(z)dz
= ∫{0,A} f(-z)dz + ∫{0,A} f(z)dz
= ∫{0,A} f(z)+f(-z) dz
= ∫{0,A} (1+iz-e^(iz)+1-iz-e^(-iz))/z² dz
= 2∫{0,A} (1-cos(z))/z² dz.
因此∫{0,+∞} (1-cos(x))/x² dx = lim{A → +∞} ∫{0,A} (1-cos(z))/z² dz = π/2.

不是
你看这个概率函数：f（z）=∫（0,z）[e^(-t^2)]dt,
(0,z)表示下限为0上限为z,被积函数为e^(-t^2)
他在复平面解析,但却不是初等函数

等下啊.用手机给你发图.就是用柯西黎曼方程就好啦.因为是全平面的解析函数.所以满足柯西黎曼方程.

估计是求f(z)的解析式吧,由于函数解析,满足柯西黎曼方程,所以u'x=v'y=e^x*cosy,
,积分得u=e^x*cosy+g(y),再对x求偏导得u'y=-v'x=-e^x*siny+g'(y)=-e^x*siny,g'(y)=0,所以
g(y)=c,由于f(0)=1+g(0)=2得c=1,所以u=e^x*cosy+1,f(z)=u=e^x*cosy+1+ie^x*siny

导数通常有两个定义,解析函数的导数是指一个复数,而微积分中的多元函数的把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充,以满足实际研究工作的需要,这种

并列关系
解析函数是复函数,调和函数可看作是解析函数的实部或虚部代表的实二元函数,二者基本一一对应.从调和函数构造解析函数要求调和函数定义在单连通区域上,否则就对应的是一个复的多值函数了

au/ax=av/ay=e^x(cosy-ysiny+xcosy)+1
au/ay=-av/ax=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1
由第一个知u=e^x(cosy-ysiny)+cosyxe^x-cosye^x+x+f(y)=e^x(xcosy-ysiny)+x+f(y)
所以au/ay=e^x(-xsiny-siny-ycosy)+f'(y)=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1
所以f'(y)=-1,f(y)=-y+C
所以u=e^x(xcosy-ysiny)+x-y+C
令x=y=0：2=C
所以u=e^x(xcosy-ysiny)+x-y+2
不知道算错没有-_-|||

解析函数
analytic function
区域上处处可微分的复函数.17世纪,L.欧拉和J.leR.达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数Φ（x,y)与流函数Ψ（x,y)有连续的偏导数,且满足微分方程组,并指出f（z）＝Φ（x,y）＋iΨ（x,y）是可微函数,这一命题的逆命题也成立.柯西把区域上处处可微的复函数称为单演函数,后人又把它们称为全纯函数、解析函数.B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究,后来,就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程,或柯西-黎曼条件.K.魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数,而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数.关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的.基于魏尔斯特拉斯的定义,区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓 ,关于解析开拓的一般定义是,f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数,若DÉD* ,且在D*上f（z）＝g（z）.则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓 .解析开拓的概念可以推广到这样的情形 ：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数,且D1∩D2≠ ,在D1∩D2上f（z)＝g（z )则也称f与g互为解析开拓,把可以互为解析开拓的（ f（z）,Δ）的解析圆盘Δ全连起来,作成一个链.它们的并记作Ω,得到了Ω上的一个解析函数,称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数,这里可能出现这样的情形,在连成一个链的圆盘中,有一些圆盘重叠在一起,但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的,它们的每一个都称为完全解析函数的分支.这样的完全解析函数实际是一个多值函数.黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”,不使他们在求并的过程中只留下一个代表,于是形成了一种称为黎曼面的几何模型.将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数,这样多值解析函数变成了单值解析函数.
调和函数
如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域Ω中的调和函数.
广义来讲
在某区域中满足拉普拉斯方程的函数.通常对函数本身还附加一些光滑性条件,例如有连续的一阶和二阶偏导数.当自变量为n个（从而区域是n维的）时,则称它为n维调和函数.例如,n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程
若所考虑的区域包含一个闭圆域,例如x+y≤R,则有下列关于调和函数的平均值公式：
即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值.
更一般地,圆内任何一点x=rcosφ,y=rsinφ(0≤

du/dx=dv/dy=2x+1
du/dy=-dv/dx=-2y
u=x^2+x-y^2+c
f(z)=x^2-y^2+x+c+i(2xy+y)
f'(z)=(df/dx)dx+(df/dy)dy=(2x+1-2yi)dx+(-2y+(2x+1)i)dy

楼上的回答是牛头不对马嘴.
导数通常有两个定义,解析函数的导数是指一个复数,而微积分中的多元函数的导数是指一个线性变换.回想一下,一个R2到R2的多元函数的全微分由四个实数表示,而解析函数却只用两个,就是导数的实部和虚部.