在集合论中,两个关系的左复合和右复合有什么区别?分别如何表示

1,在幂集公理的有关P（A）命题中,“A是集合”是前提,条件和结论都要满足前提.所有命题都是在一定前提下构成的条件与结论的结构,可以由结论推出条件,或从条件推出结论,但不能由他们的关系来推出前提,如果要推出的话那...

集合具有限性性,映射只是在集合的条件下才成立的.
以上不符合.
望及时采纳谢谢! 辩驳,请追问.

集合A={1,2,{1},{3}},A里的元素是1,2,{1},{3},可以说1属于A,2属于A,{1}属于A,{3}属于A.
而{1,2}是包含于A但不属于A；
集合的概念要分清包含,属于,元素与集合之间是属于关系,集合与集合之间是包含、包含于的关系

法1：分4种情况讨论,元素的分属情况
法2：图示法

　　定义在集合上的划分可以确定一个等价关系；反过来,一个等价关系可产生一个唯一的划分.如整数集上 mod2 的同余关系确定一个划分,即所有偶数和所有奇数；反过来,把整数集划分为偶数集合奇数集,即 mod2 的两个同余类,它确定了整数集上的一个等价关系,即整数集上 mod2 的同余关系.

第三次数学危机就是由英国数学家罗素提出的罗素悖论,就是说集合论是自相矛盾的,没有相容性.而19世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论,也就是一切的数学大厦都是建立在集合论之上的,而这一基础就被罗素提出有矛盾,所以就导致了第三次数学危机,至今都还未解决的数学危机!

我知识有限,还没学到那

空集就是不包含任何元素的集合,A={x|x不等于x},x不等于x表示没有元素属于A,即A是空集

1.
a) （A∩B）并（~A∩B）=（A∩C）并（ A∩C）
即：（A并~A）∩B = （A并~A）∩C
U∩B = U∩C
B = C
b) （A∩C）并（A∩~C）包含于（B∩C）并（B∩~C）
即：A∩(C并~C）包含于B∩(C并~C）
A∩U包含于B∩U
A包含于B
2.看上去 应该是空集的符号.我当 表示 空集 来做：
A的幂集 = ,}}
B=A的幂集的幂集 = {{?,}},},{{?}},}
1.2.3.都对.

设R,是X上的一个自反的二元关系.则相等关系真包含于关系R,即对任意a,(a,a)属于R.对集合X,该关系还包含其它的点集是Q={（a1,a2)|a1!=a2,a1,a2属于X}的任一个子集.而Q的子集个数为2^(N^2-N),所以最后答案就是：2^(N^2-N)

那句话对,但补充得不对.
近代数学的基础是微积分,现代数学的基础是集合论,没问题.
“如果正确,难道康托尔和牛顿能够相提并论?”这句话可以稍微改动一下,康托尔和牛顿在数学贡献方面,可以相提并论.牛顿的更大成就在物理方面上.换句话说,姚明在象棋成就上,也许还赶不上我~

函数要求B中每个元素在∅中有像,但是∅是空集, 不可能
而如果是∅到A, 则因为∅是空集, 其中没有元素, 干脆规定这个函数为∅

不知道是不是你要的那种,个人观点,仅供参考,请勿见笑
集合是逐点决定的,所以证明集合运算律应逐点进行运算
（1）证明：（单向的左分配律）
对于任意x属于 A交（B并C） 任意x属于A 且 x属于（B并C）
任意x属于A且x属于B,或者任意x属于A且x属于C
对于任意x,有x属于（A并B）,或者x属于（A并C）
对于任意x,有x属于（A并B）交（A并C）
（2） 德摩根律类似于（1）的思路
（3） 思路：运算的恒等式属于等价关系,并和交运算在等价条件下是对偶的.
证明还真的不清楚.

你应该是没看懂定义
R是A上的n元关系,那么R已经是A^n上的一个子集了
而对每个i来讲,Ai是A的子集,他是把R中,第i个坐标的范围搜集了起来.
一个关系是一个笛卡尔子集.一个n元组只能说符不符合这个关系,如果n元组在子集里就说符合.不在就不符合

如果 x

唯一的解析！G.康托尔是作为数学分支的集合论的奠基人。1870 年前后，他关于无穷序列的研究导 致集合论的系统发展。1874 年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有 名的证明。1878 年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。然而，朴素集合论中包 含着悖论。第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。1901 年罗素发现了有名的罗素悖 论。1932 年康托尔也发表了关于最大基数的...

有的书上那样的符号表示 补集

根据德摩根律能得到(A∪B)-A=(A-B)∩(B-A)?楼主,请问你是怎么使用德摩根律的?
X-Y=X∩Y补
所以(A∪B)-A=(A∪B)∩A补=(A∩A补)∪(B∩A补)=∅∪(B∩A补)=(B∩A补)=B-A

狭义的数理逻辑是指一阶谓词逻辑.
广义的数理逻辑包括一阶谓词逻辑、集合论、递归函数论和证明论.
可以把数理逻辑作为集合论的基础,也可以把数理逻辑作为集合论的一个子集.

1874年,德国数学家康托尔创立了集合论,很快渗透到大部分数学分支,成为它们的基础.到19世纪末,全部数学几乎都建立在 集合论的基础之上了.就在这时,集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果,特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论,

首先tg函数把R跟(-pi/2,pi/2)一一对应了吧
接线性函数把(-pi/2,pi/2)跟（0,1）一一对应了把
有理数可数个把 那么[0,1) 上有理数列跟(0,1)上有理数可以一一对应了吧 无理数不变
那么[0,1)跟（0,1）一一对应了吧
RXR的话么前一个R跟(0,1]一一对应 有一个跟[1,2)一一对应
最后用正比例(0,2)跟(0,1)一一对应
RXR与R等势了吧
大致思路全是用得实变函数里面得基数的一些定理因为他们的基数都是连续基数

D.康托尔!

由定义,infC=lim a.f(i)+b.f(i),其中.代表下标,f是N到N的函数.
对所有i,a.f(i)>=infA,所以lima.f(i)>=infA.同理,limb.f(i)>=infB.因此对于所有i,a.f(i)+b.f(i)>=infA+infB.两边取极限即可.

实数集.-----------------“还有没有和实数集不同类型的”：区间[0,1].“集A可数的充要条件是A中所有元素可以排成一无穷序列”：对.“实数中的所有元素可以在数轴上排成一无穷序列”：数轴上依序排开没问题,排成一个...

B*C={}
在集合论中A-B={x|x∈A∩x∉B}
而笛卡尔乘积是有序对组成的集合,每一对数组是一个元素
所以A-(B*C)={1}

如果不存在x属于R且不属于E 那么E=R 不可列 矛盾

题设集合A={｛3｝,A},集合A=集合{｛3｝,A},假设元素｛3｝属于集合A,那么｛3｝=A ,不满足互异性.所以题设错误.

左乘矩阵的第1行的数0,0,1 分别乘 右乘矩阵第1列对应的 1,0,0 再加起来 就是乘积矩阵第1行第1列的数
一般情况 是 左乘矩阵的第 i 行的数 分别乘 右乘矩阵第 j 列对应的数 再加起来 就是乘积矩阵第 i 行第 j 列的数

帮不上忙,刚去新华书店文轩网搜索 集合论 ,多是高中数学的集合

是这样的：
1.由公理集合论常用的公理系统zf中的子集公理可以定义出空集也就可以看做是0,有无序对公理可以依次的定义出n,有无限公理保证了自然数集是在zf中的
2.由无序对公理定义有序对,从而定义“关系”的概念
3.由幂集公理和子集公理可知自然数集上的全关系是一个集,于是可以再用子集公理证明自然数集关于一个等价关系的商集是集合,于是我们有了整数集
4.类似3在整数集上定义一个等价关系,商集有理数集
5.在有理数列上定义等价关系（通常的用基本列的概念）得到实数集
6.复数集可看为实数集上的全2元关系构成的集
值得一提的是以上过程可皆在zf内完成
因此反过来看能够建立通常数学中的论域c便作为zf已经充分强大的佐证
事实上绝大部分数学的论证都可用zfc表达
那么依上述定义（3）^（1/2）究竟被定义为了什么呢?
定义为了一族有理数集（前面已经定义了）上的等价的基本列所构成的集合
这个集合的代表元可以通过求x^(1/2)对x=1taylor展开,得到一个函数项级数,此级数在正实数集上收敛到x^(1/2),而且这个函数项级数的系数通项全是有理数且可求出其通项公式,现在把这个函数想级数的自变量x代为3,现在这个级数的每一项构成的集就是一个基本列,是一个代表元

0 1 0 1
0 0 0 0
1 1 0 1
0 0 1 0
为关系矩阵
0->1 2->0 3->2
0->3 2->1
2->3
相应的竖行相同元素只需写一个即可

【罗素悖论定义】
把所有集合分为2类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有：
P={A∣A∈A}
Q={A∣A￠A}（￠：不属于的符号,因为实在找不到）
问,Q∈P 还是 Q∈Q?
这就是著名的“罗素悖论”.罗素悖论还有一些较为通俗的版本,如理发师悖论等.
后来想办法用公理化集合论解决这个问题,可是目前还没证明出公理集兼容性

可列集的势（基数）Aleph 阿列夫

集合是最初的概念，而1+1=2 也是。
还有平面内，永不相交的两直线平行
他们都是公理，公认成立的 好比是数学这课大树的根

反证法,如果R不是A 上的反对称关系,则存在A的元素x,y,有与属于R,由R是A上的传递关系得属于R,这与反自反关系矛盾,故R是A 上的反对称关系.

分情况讨论思想
数形结合思想
函数与方程思想
转化与化归思想

并不要求“单射”；例如定义：f:{{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}}-->{1}；
使f({1})=1;f({1,2})=1;f({1,3})=1;f({1,2,3})=1;
也符合定理的愿意；
关键是满足：对于任意的集合A,f(A)属于A.公理中并没有要求被选择的元素“组成一个新的集合”

早在1638年,意大利天文学家伽利略发现了这样一个问题,全体自然数与全体平方数,谁多谁少?不仅伽利略对此困惑不解,许多数学家也回答不了这个问题.谁又会想到,这一问题却为现代数学基础——集合论的诞生播下了种子.集合论是19世纪末德国数学家乔治·康托创造的.由于它深入到数学的每一个角落,所以成为一切数学分支的基础.英国哲学家、数学家罗素称赞康托的发现“或许是我们这个时代可引以为自豪的最伟大的事件”.http://www.***.cn/jiaoyanketin/web2/50.htm

概念还是那个,但是后来发现有问题 (见罗素悖论),所以现在都是用公理集合论.
不过康托发现的东西远远不止高中学的那一点儿
例如,康托提出了等势的概念,称两个集合 A, B 为等势的,如果存在 A→B 的双射.
一个集合如果和实数集等势,则称这个集合有连续势,记为 c
(Cantor's Continuum Hypothesis) 如果一个无限集和 N 不等势,则这个集至少有连续势
这个假设直到 196? 年才被 P. Cohen 完全解决 (用到了他自己发明的力迫法),最后得到的结果是,这个假设和公理系统 ZF 是独立的,即 ZF+CH 没有矛盾 (193?, Kurt Godel), ZF+¬CH 也没有矛盾 (196?, P. Cohen)
另外 Cantor 还定义了 Cantor 集,Cantor 函数这些违反直观的数学对象,你可以通过查资料做进一步的了解.

集合论（简称集论）是一门研究集合的数学理论.这里的集合指由一些抽象的数学对象构成的整体.集合、元素和成员关系是数学中最基本的概念.集论（加上逻辑和谓词演算）是数学的公理化基础之一,通过集合及成员关系来形式化地表示其它数学对象.

0=空集
1={空集}
2={空集,{空集}}
3={空集,{空集},{空集,{空集}}}
.
.

对称性.因为a+b=10=>b+a=10,所以aRbbRa
没有传递性和反身性.

历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有益的事情,它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习的巨大作用．
（一）
?马克思曾经认为,函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽．
?自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,人们在思索：既然地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转,那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆,原理是什么?还有,研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度,以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题,既是科学家的力图解决的问题,也是军事家要求解决的问题,函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念,这是函数概念的力学来源．
（二）
?早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数,比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义．
?1673年,莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出,函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间的关系,直到1689年,瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义,贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为yx.
?当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算,所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子,取名为解析函数,还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．
?18世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候,达朗贝尔说是指“任意的解析式”,而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延．
（三）
?函数概念缺乏科学的定义,引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如,偏微分方程在工程技术中有广泛应用,但由于没有函数的科学定义,就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年,高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中,做了许多关于磁的实验工作,提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论,使得函数作为数学的一个独立分支而出现了,实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究．
?后来,人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量,当后一量变化时前一量也随着变化,那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质,但却把变化、运动注入到函数定义中去,是可喜的进步．”
?在函数概念发展史上,法国数学家富里埃的工作影响最大,富里埃深刻地揭示了函数的本质,主张函数不必局限于解析表达式．1822年,他在名著《热的解析理论》中说,“通常,函数表示相接的一组值或纵坐标,它们中的每一个都是任意的……,我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中,他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是,任意一个以2π为周期函数,在〔－π,π〕区间内,可以由
?表示出,其中
?富里埃的研究,从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想,在当时的数学界引起了很大的震动．原来,在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟,级数把解析式和曲线沟通了,那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍．
?通过一场争论,产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义．
?1834年,俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数,它对于每个x都有确定的值,并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系,是对函数概念的一个重大发展,因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分．
?1837年,德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,所以他的定义是：“如果对于x的每一值,y总有完全确定的值与之对应,则y是x的函数．”
?根据这个定义,即使像如下表述的,它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：
f（x）= 1?（x为有理数）,
0?（x为无理数）．
?在这个函数中,如果x由0逐渐增大地取值,则f（x）忽0忽1．在无论怎样小的区间里,f（x）无限止地忽0忽1．因此,它难用一个或几个式子来加以表示,甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示,在狄里克莱的定义下,这个f（x）仍是一个函数．
?狄里克莱的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此,我们已可以说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义．
（四）
?生产实践和科学实验的进一步发展,又引起函数概念新的尖锐矛盾,本世纪20年代,人类开始研究微观物理现象．1930年量子力学问世了,在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数,
即?ρ（x）＝ 0,x≠0,
∞,x=0．
且
?δ-函数的出现,引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义,只允许数与数之间建立对应关系,而没有把“∞”作为数．另外,对于自变量只有一个点不为零的函数,其积分值却不等于零,这也是不可想象的．然而,δ-函数确实是实际模型的抽象．例如,当汽车、火车通过桥梁时,自然对桥梁产生压力．从理论上讲,车辆的轮子和桥面的接触点只有一个,设车辆对轨道、桥面的压力为一单位,这时在接触点x=0处的压强是
?P（0）=压力／接触面=1／0=∞．
?其余点x≠0处,因无压力,故无压强,即?P（x）=0.另外,我们知道压强函数的积分等于压力,即
?函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展,产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f（x）.元素x称为自变元,元素y称为因变元．
?函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志,它研究的是一般集合上的函数关系．
?函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形成了函数的现代定义,应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的,函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结,近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．
?设集合X、Y,我们定义X与Y的积集X×Y为
?X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．
?积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系,若（x,y）∈R,则称x与y有关系R,记为xRy.若（x,y）R,则称x与y无关系．
?现设f是X与Y的关系,即fX×Y,如果（x,y）,（x,z）∈f,必有y=z,那么称f为X到Y的函数．在此定义中,已在形式上回避了“对应”的术语,全部使用集合论的语言了．
?从以上函数概念发展的全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中,但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系.
由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数.
三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中,三角函数也是常用的工具.