高阶同余方程的解法x^3+5*x^2+9==0 mod 567我会解mod 7和mod 81,但是这个合数怎么解?

2^999 | 100 以下等于号表同余
= 512^111
= (500+12)^111
= 12^111
= 1728^37
= 28^37
= 14^36 * 2^37 * 14
= 196^18* 2^37 * 14
= (200-4)^18 * 2^38 * 7
= 2^74 * 7
= 512^8 * 28
= 12^8 * 28
= 1728^2 *12*12*28
= 28^3 *12*12
= 7^3 * 2^10 * 3^2
= 7^3 * 2^3 * 3^3
= 74088
= 88

a与b关于m同余,则只要c≠0,就有ac/mc=a/m,bc/mc=b/m,所以也同余.

解题思路：由两数同余的定义，可得6-b=km（k是非零整数）．由题意，m是6的正约数，可得m=2、3或6，再分情况讨论式子6-b=km，易得本题的答案．

由两个数同余的定义，可得6=b（Modm）中，则称6-b=km（k是非零整数），即6=b+km，又∵bm∈N，且m＞1，∴m是6的正约数，可得m=2、3或6①当m=2时，6=b+2k，可得b=2或4符合题意；②当m=3时，6=b+3k，可得b=3符合题意；...

点评：
本题考点： 同余的概念及一次同余方程；进行简单的合情推理．

考点点评： 本题是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．

(p-x)^2 = x^2 = a(mod p)
对于{0,1,...p-1}这样的一个完全剩余系,平方后的剩余系的x和p-x的值相同,所以只有对a取的从1到p-1所有值的一半有解；
后面的看的不是很懂.

经分析易知mod5等于几取决于（1^n+2^n+3^n+4^n）个位易知1^n个位为1,1,1,1……2^n个位为2,4,8,6……3^n个位为3,9,7,1……4^n个位为4,6,4,6……易知当n=4k时（1^n+2^n+3^n+4^n）个位既是1+6+1+6的个位为4,即此时原式对5取模等于4不满足当n=4k+1时（1^n+2^n+3^n+4^n）个位既是1+2+3+4的个位为0,即此时原式对5取模等于0满足当n=4k+2时（1^n+2^n+3^n+4^n）个位既是1+4+9+6的个位为0,即此时原式对5取模等于0满足当n=4k+3或（n=4k-1）时（1^n+2^n+3^n+4^n）个位既是1+8+7+4的个位为0,即此时原式对5取模等于0满足综上即得答案~O(∩_∩)O~

1.
2003^200
= ((2001 + 2)^2)^100
=(A + 4B + 3 + 1)^100 = (C + 1)^100
这里有50个(C+1)^2相乘,每一个的常数项均为1
其他的带字母项均能被3整除
则余数为1
2.
19^6 = (14+5)^6
=(A + 10B + 21 + 4)^3
=(C+4)^2 * (C+4)
=(D + 14 + 2)(C+4)
= E + 8
= E + 7 + 1
= F + 1
F是7的整数倍,再多一天
那么这天是星期一的后面一天,就是星期二了.
3.
3164^2002
=((3160 + 4)^2)^1001
=(A + B + 15 + 1)^1001
=(C+1)^1001
=(C+1)^1000 * (C+1)
=(C+1)(D+1)
理论同1题,余数也为1.
4.
39271421^6
= (A + 2)^6 = (B + 4)^3
=(B+4)^2 * (B+4)
=(C + 9 + 7)(B +4)
= D + 28 = D + 27 + 1
余数为1
5,6,7,8均可采用此类方法
9.
1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4 + 5^5 + 6^6 + 7^7 +8^8 +9^9
=1 + (3 + 1) + 3^3 + (3+1)^4 + (3+2)^5 + 6^6 + (6+1)^7 + (6 + 2)^8 + 9^9
= 1 + 1 + 0 + 1 + A +(3+2)^5 + (6+1)^7 + (6 + 2)^8
= B + (3+2)^5 + (6+1)^7 + (6 + 2)^8
后面解法同上
10.
(7^7)^7
=7^49
= (5 + 2)^48 * 7
= (A + 4)^24 *7
= (B + 15 + 1)^12 *7
= (C + 1) ^12 * 7
= (D + 1 ) *7
= E + 7 = E + 5 + 2
余数为2
如果此批题有疑问,欢迎追问或者另行开题追答.

由两个数同余的定义，可得
6=b（Modm）中，则称6-b=km（k是非零整数），
即6=b+km，
又∵
b
m ∈N ，且m＞1，
∴m是6的正约数，可得m=2、3或6
①当m=2时，6=b+2k，可得b=2或4符合题意；
②当m=3时，6=b+3k，可得b=3符合题意；
⑥当m=6时，根据定义不符合题意，舍去
故答案为：2或3或4

从你提到的问题那里复制了一些文字,作了重排.以下也用==代替≡.
题：解释 3^38=3^32*3^6≡1*9*(-4)≡15(mod17)
答：
a≡b(modm),c≡d(modm) 则ac≡bd(modm)
推论：a≡b(modm),则a^n≡b^n(modm).(即同余式两端取乘幂仍成立)
利用以上知识得到：
3^2≡9(mod17),(两边平方得下一式,以下类似)
3^4≡81≡-4(mod17)
3^8≡16≡-1(mod17)
3^16≡1(mod17)
如果利用费马小定理,可以立即得到3^16≡1(mod17)
于是：
3^38==3^32*3^6≡1*9*(-4)≡15(mod17)
其中3^32==(3^16)^2==1^2==1;
3^6==(3^2)*(3^4)==9*(-4)==-2==15
注：费马小定理：质数p不整除a,则：a^(p-1)≡1(modp)
附：对于非素数模(除数)m求余,还要用到费马小定理的推广：
欧拉函数定理：(a,m)=1,则a^φ(m)=1 mod m
φ(m)是欧拉函数,是不大于m且与m互素的正整数的个数.
比如：3^406 mod 14
小于14与14互质的自然数有6个(可以列举出来1,3,5,9,11,13；复杂的m有公式计算这个个数φ(m)),即φ(14)=6
于是：3^6==1 mod 14.
而406=6k+4
故3^406==3^4==81==11 mod 14.

a与a对任意一个数同余 即a除以m余n 若b=a则b除以m也余m 所以a≡b(mod m) 也就是a ≡ a (mod m)

性质1：a≡a（mod m）,（反身性）
这个性质很显然.因为a-a=0=m·0.
性质2：若a≡b（mod m）,那么b≡a（mod m）,（对称性）.
性质3：若a≡b（mod m）,b≡c（mod m）,那么a≡c（mod m）,（传递性）.
性质4：若a≡b（mod m）,c≡d（mod m）,那么a±c≡b±d（mod m）,（可加减性）.
性质5：若a≡b（mod m）,c≡d（mod m）,那么ac≡bd（mod m）（可乘性）.
性质6：若a≡b（mod m）,那么an≡bn（mod m）,（其中n为自然数）.
性质7：若ac≡bc（mod m）,（c,m）=1,那么a≡b（mod m）,（记号（c,m）表示c与m的最大公约数）.
性质8：若a≡b（mod m）,那么a的n次方和b的n次方也对于m同余.
性质9：若a≡b（mod m）、c≡d（mod m）、e≡f（mod m）……x≡y（mod m）,那么：a+c+e+……+x和b+d+f+……+y也对于m同余.

x≡
1（mod3)
2（mod5)
4（mod7)
6（mod13)
解:以下用==表示同余号≡.
并以向量形式描述上题,即
x==(1,2,4,6) mod (3,5,7,13)
先求得
x1==(1,0,0,0) mod (3,5,7,13)
x2==(0,1,0,0) mod (3,5,7,13)
x3==(0,0,1,0) mod (3,5,7,13)
x4==(0,0,0,1) mod (3,5,7,13)
再进行线性叠加,即得解:
x=x1+2x2+4x3+6x4. mod lcm(3,5,7,13)
此处lcm表示最小公倍数,也用中括号代替,记成[3,5,7,13]
对于两两互质的数,其lcm就是它们的积.
注:
1:我们可以看到,完全可以用矩阵论线性代数理论来处理同余问题;
2:x1,x2,x3,x4并列,构成单位矩阵;
3:x可以表示成两个向量的内积(点积,标积,数量积), 即x=(1,2,4,6)·(x1,x2,x3,x4)
4: 以上就是中国剩余定理的本质性描述.插值法中的拉格朗日插值,也是这样的原理.
5:这种方案,x1,x2,x3,x4的计算是同步并行的.
6:类以牛顿插值,还可以使用以下过程:
x1=(1,1,1,1) mod (3,5,7,13)
x2=(0,1,1,1) mod (3,5,7,13)
x3=(0,0,2,2) mod (3,5,7,13)
x4=(0,0,0,2) mod (3,5,7,13)
再取x=x1+x2+x3+x4.
也就是:
x1=1
x2=(0,1) mod (3, (5,7,13))
x3=(0,2) mod ((3,5), {7,13))
x4==(0,2) mod ((3,5,7), 13)
其矩阵形式是一个上三角矩阵.
7: 中国剩余定理使用了单位向量.事实上,为便于计算,可以不必使用单位向量.
过程如下:
x1==(1,0,0,0) mod (3,5,7,13)
x2==(0,2,0,0) mod (3,5,7,13)
x3==(0,0,4,0) mod (3,5,7,13)
x4==(0,0,0,6) mod (3,5,7,13)
再取x=x1+x2+x3+x4.
在下面的过程中,会看到此种方式对计算的简化.因此,这是对中国剩余定理的计算过程的一种简单的改进,也有助于我们打破对中国剩余定理的迷信,进一步认识到其本质.
8:洪伯阳同余表示:
ax==b mod m, 记成 x=b/a mod m
并且,可以将 b/a作为带分数处理; 可以将b/a 同时乘除一个与m 互质的数而保持同解; 可以将b,a替换为它关于模m的同余类中的任一个等价元.即b'==b mod m, 可以用b'取代b而同余式保持同解.
可以在上式用使用比例的性质.
9: 为直观,我常用|||取代同余号mod.
x==
1 ||| 3
2 ||| 5
4 ||| 7
6 ||| 13
基于注释7和8, 同余式的解可以如下表示,
==
{$$$
(5*7*13) * [1/(5*7*13) mod 3]+
(3*7*13) * [ 2/(3*7*13) mod 5]+
(3*5*13) * [4/(3*5*13) mod 7]+
(3*5*7) * [ 6/(3*5*7) mod 13]
$$$}
==进而,对上面的过程,我有以下的简化改进记法,称为模积表示法,用以解同余式.
1/(5*7*13) @ 3
2/(3*7*13) @ 5
4/(3*5*13) @ 7
6/(3*5*7) @ 13
==(开始使用洪伯阳表示的性质,并将乘号改动为逗号简化书写,改为逗号不是必须的,我在草稿纸常这样写 )
1/(-1,1,1) @ 3
2/(21==1,-2) @5
4/(15==1,13==-1)@7
6/(105==1) @13
==
-1 @ 3
-1 @5
-4 @7
6 @ 13
==
[注意体会模积表示; 注意上面各式是对称的,位置与计算次序可以任意;注意任一行,@符号前的内容可以关于@后的模取代为同余类的任意等价元]
-8==
7 @15
-4 @ 7
6 @ 13
==
49-60 @ 15*7==
-11 @ 105
6 @ 13
==630-143 MOD 13*105
== 487 mod 1365
以上过程,在了解了中国剩余定理的本质和改进方案.熟悉了洪伯阳表示及何冬州模积表示之后,
能结合心算或简化中间过程,快速计算出同余式组的解.
注意到各式的对称性,即无先后之分,用多种过程来计算与验证,曾经是我在2005年初发现这种方法时的一种乐趣.
利用洪伯阳表示的性质,进行笔算求幂余和解大模的同余式,也很方便.
这种过程我曾考虑过自动编程方案,仍在思考之中.
外一则:
对于同余号 mod m, 可以认为它与一个可平移到等式两端任意同阶的项上的一个代数和项: ±mk.
以此破除对同余概念的迷惑.同余式与不定方程式是完全等效的.
相关内容, 请搜索:
wsktuuytyh 同余新概念
关于一次不定方程的简化解法,请搜索
不定方程解法 wsktuuytyh

2005÷7=286余3
2005^2004除以7的余数,与3^2004除以7的余数相同
3的连续次幂,除以3的余数分别是3,6,2,5,1,4,0循环,每组7个
2004÷7=286余2
所求余数为第287组的第二个,为6

两个整数a.b被自然数n除有相同的余数,称a.b模n同余.
对的.
1.除数是（171-117）/3=18
2.2002=13*154.1001=13*77
1*2003+2*2003+3*2003+……+2003*2003
=2003*2004*2003/2
=2003*2003*1002
2003,1002除以13的余数都是1,
所以2003*2003*1002除以13的余数
=1*1*1=1
3.5除以7,余5.
5^2=25除以7,余4.
5^3=125除以7,余6.
5^4除以7,余2.
5^5除以7,余3.
5^6除以7,余1.
5^7除以7,余5.
5^8除以7,余4.
.
可以知道余数是546231的循环.
2006=6*334+2
5的2006次方除以7,余4.
4.200=13*15+5
40000的余数是12.
2006=12*167+2
余数12.
6.从4题知道,n=6k+5,k=0,1,2,3...
n可以是5,11,17,...
7.n=(12345677654321)8
=(123456776543）*8^2+2*8+1

2^1=2
2^5=512
得出：
2的4倍数+1次方的个位数=2
2的93次方的个位数=2
2的94次方的个位数=4
2的94次方%10=4

孙子定理
M=2*3*5=30=2*15=3*10=5*6
x≡c1*15+2c2*10+3c3*6(mod 30)
c1=1,c2=1,c3=1 得 x=53

假设存在k满足2^n≡1 mod 6
则2^k = 6m +1,m是一个整数
显然,等式左侧是个偶数,而右侧是奇数,这是不可能的
所以得证

2^50=(2^10)^5=1024^5；1024≡24(mod 100),所以1024^5≡24^5(mod 1024),即2^50≡24^5(mod 100)①；24^2=576,576≡76(mod 100),即24^2≡76(mod 100)；所以(24^2)^2≡(76)^2(mod 100)≡76(mod 100),即24^4≡76(mod 100),所以24^4×24≡76×24(mod 100)≡24(mod100),即24^5≡24(mod 100)②；由①和②得2^50≡24(mod 100),所以2^50的末两位为24.

证明多个只需证明两个的情况成立即可
若a≡b(mod m),c≡d(mod m)
由定义知：a-b=m*x,c-d=m*y (x,y为整数)
所以a+c-(b+d)=m*(x+y)
所以a+c≡b+d(mod m)
同理可知A1+A2≡B1+B2(mod m)
依次类推知：∑ Ak≡ ∑ Bk(mod m)

然后又熟练的拆碎
在泪水中飘此时,就象的板似的倾倒
如河的两岸彼此相望
的这个,如痴如醉
为么·以为墨痕浅的一纸相思

自己领悟把
一．计算机中随机数的产生
现在,在计算机,用来产生随机数的算法是“线性同余”法.所谓线性同余,其实就是下面两个式子.假设I就是一个随机数的序列,Ij+1与Ij的关系如下：
Ij+1 =Ij * a+c (mod m)
或是Ij+1 =Ij *a (mod m),
其中,不妨取a=16807,m=2147483647,以为一常数.写个简单的程序就是：
long r;
void scand( long v)//初始化随机种子数
{
r = v;
}
long rand()//产生随机数
{
r = (r*a + c)%m;//a,c,m为常数
return r;
}
再看一下稍复杂一点的：(Random () 的 Borland 的实现)
long long RandSeed = #### ;
unsigned long Random(long max)
{
long long x ;
double i ;
unsigned long final ;
x = 0xffffffff;
x += 1 ;
RandSeed *= ((long long)134775813);
RandSeed += 1 ;
RandSeed = RandSeed % x ;
i = ((double)RandSeed) / (double)0xffffffff ;
final = (long) (max * i) ;
return (unsigned long)final;
}
二．计算机产生的随机数不是真的随机数
[引:]我们建立了真正调用伪随机数生成器的 random().但什么是伪随机数生成器?假定需要生成介于 1 和 10 之间的随机数,每一个数出现的几率都是一样的.理想情况下,应生成 0 到 1 之间的一个值,不考虑以前值,这个范围中的每一个值出现的几率都是一样的,然后再将该值乘以 10.请注意,在 0 和 1 之间有无穷多个值,而计算机不能提供这样的精度.
为了编写代码来实现类似于前面提到的算法,常见情况下,伪随机数生成器生成 0 到 N 之间的一个整数,返回的整数再除以 N.得出的数字总是处于 0 和 1 之间.对生成器随后的调用采用第一次运行产生的整数,并将它传给一个函数,以生成 0 到 N 之间的一个新整数,然后再将新整数除以 N 返回.这意味着,由任何伪随机数生成器返回的数目会受到 0 到 N 之间整数数目的限制.
在大多数的常见随机数发生器中,N 是 232?（大约等于 40 亿）,对于 32 位数字来说,这是最大的值.换句话说,我们经常碰到的这类生成器能够至多生成 40 亿个可能值.而这 40 亿个数根本不算大,只是指尖这么大.
伪随机数生成器将作为“种子”的数当作初始整数传给函数.这粒种子会使这个球（生成伪随机数）一直滚下去.伪随机数生成器的结果仅仅是不可预测.由伪随机数生成器返回的每一个值完全由它返回的前一个值所决定（最终,该种子决定了一切）.如果知道用于计算任何一个值的那个整数,那么就可以算出从这个生成器返回的下一个值.
结果,伪随机数生成器是一个生成完全可预料的数列（称为流）的确定性程序.一个编写得很好的的 PRNG 可以创建一个序列,而这个序列的属性与许多真正随机数的序列的属性是一样的.例如：
PRNG 可以以相同几率在一个范围内生成任何数字.
PRNG 可以生成带任何统计分布的流.
由 PRNG 生成的数字流不具备可辨别的模式.
PRNG 所不能做的是不可预测.如果知道种子和算法,就可以很容易地推算出这个序列.
计算机产生的随机数一般都只是一个周期很长的数列,不是真的随机数.也就是说,随机数一般是伪随机数,每个随机数都是由随机种子开始的一个已定的数列（周期很长）.一般地,为了随机数更真一点,随机种子在系统中通常是参照系统时钟生成的.
看看下面这个例子,从中,读者应能有所体会.
main()
{
int i;
scand(time(NULL)); /＊可向计算机读取其时钟值,并把值自动设为随机数种子＊／
for(i=0;i

216/12=18.0
156/12=13.0
120/12=10.0
12n.n=1,n=2,n=3,n=10,12,24,36,48,120,12X10的n次方

由二项式定理得：
∵1+C ₂₀₁₀ ¹ 3 ² +C ₂₀₁₀ ² 3 ⁴ +…+C ₂₀₁₀ ²⁰¹⁰ 3 ⁴⁰²⁰ =（1+9） ²⁰¹⁰ ，
∴C ₂₀₁₀ ¹ 3 ² +C ₂₀₁₀ ² 3 ⁴ +…+C ₂₀₁₀ ²⁰¹⁰ 3 ⁴⁰²⁰ =（1+9） ²⁰¹⁰ -1，
即C ₂₀₁₀ ¹ 3 ² +C ₂₀₁₀ ² 3 ⁴ +…+C ₂₀₁₀ ²⁰¹⁰ 3 ⁴⁰²⁰ 除以10的余数为：9．
而2009≡9（mod10），
则b的值可以是2009．
故选C．

整数的四次幂模16同余于0或1
证：
(2K)^4=16*k^4==0 mod 16
(2k+1)^4=(2k)^4+4*(2k)^3+6*(2k)^2+4*(2k)+1==24kk+8k+1==8kk+8k+1==8k(k+1)+1==1 mod 16
详细和严谨化,请出题人补充一下.

可以先求出N.
由于125和90与N同余,故（125-90）能被N整除,即35能被N整除,
同理,（90-69）能被N整除,即21能被N整除.
35和21的公约数有1和7,很显然,1不满足,故N有唯一解7,
81/7=11.4
答案：4

1.a≡b(mod d),d|a-b,
不可以理解为“a除以d余b".
2.a(mod d)≡b(mod d)不合规范.

B

2002-2007年分别有365 365 366 365 365 365天
（365+365+366+365+365+365）/7=313 余数为0
所以：
2008年元旦是星期二

题：求37的45次方的92次方除以19的余数.最好用同余做.
符号说明：为方便打字,用双等号==取代三线等号≡表示同余.
题目转化： (37^45)^92 mod 19
亦即： 37^(45*92) mod 19
解一：
37^(45*92) mod 19==(-1)^(45*92) == 1
解二：
由费马小定理或欧拉(缩系计数函数)定理,37^18 ==1 mod 19
而45*92 mod 18==9*2==0 mod 18,即45*92=18k
故37^(45*92) mod 19==37^(18k)==(37^18)^k==1^k==1 mod 19

外一则：37^(45^92) mod 19
解一：37^(45^92) mod 19==(-1)^(45^92) ==-1 ==18
解二：45^92 mod 18 == 9^92==81^46==9^46==81^23==9^23==9*81^11==9^12
==81^6==9^6==81^3==9^3==9*81==9*9==81==9
即 45^92=18t+9
由费马小定理或欧拉(缩系计数函数)定理,37^18 ==1 mod 19
于是 37^(45^92) mod 19 ==37^(18t+9)==(-1)^(18t+9)==-1==18 mod 19

设Pq是任意二个不同质数,求证1模pq同余.急,希望知道的帮帮忙,13点之前用
证：
欧拉函数定理知,
p^(q-1)+q^(p-1)==1 mod p
p^(q-1)+q^(p-1)==1 mod q
因 p,q互素,故由同余性质易得
p^(q-1)+q^(p-1)==1 mod pq.
毕.

p=2,命题显然成立； 　　p=3,命题显然成立； 　　对于奇质数p>=5,令a∈A={2,3,4.p-2},(其内每个元素都与p互质)则B={a,2a,3a,.,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除,而a|α-β|∈B,B中的元素不可能被p除尽.于是B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}.　　假设B中被p除余一的数是γa:　　一若γ=1,则γa=a,它被p除余a,又因为a∈A不等于1,所以γ=1不成立； 　　二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余p-a,又因为a∈A不等于p-1,所以γ=p-1不成立； 　　三若γ=a,则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p),故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),这只能是a=1或a=p-1,此与a∈A矛盾,故不成立； 　　有一二三知γ≠a且a,γ∈A.　　a不同时,γ也相异；若a1≠a2,a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p）,因,γa1,γa2∈B,而B中的元素关于mod p不同余,可见a1≠a2,则γ1≠γ2.　　即A中的每一个a均可找到与其配对的y,γ∈A使ay≡1(mod p),又,a不同时,γ也相异.　　因此,A中的偶数个（p-3个）元素可以分成(p-3)/2个二元组（a,y）,每个二元组都满足ay≡1(mod p),　　∴ 1×2×3×4.(p-2)≡1(mod p) 　　p-1≡-1(mod p) 　　∴ (p-1)!≡-1≡p-1(mod p) 若p不是质数,那么一定存在一个约数k,1

（1）333~33（100个3）÷13 [余5]
因为1001÷13=77,能整除,
所以,333333÷13=333×1001÷13也能整除.
100÷6=16……4,即前面96个3能被13整除.
3333÷13=256……5
（2） 111~11（200个1）÷7 [余4]
1001÷7=143,能整除,111111÷7也能整除
200÷6=33……2
11÷7=1……4
（3）777~77（2008个7）÷41 [余39]
77777÷41=1897,能整除
2008÷5=401……3
777÷41=18……39
（4）888~88（200个8）÷9 [余7]
9个8（888888888）,能被9整除
200÷9余2
88÷9=9……7
（5）555~55（1000个5）÷73 [余0]
10001÷73=173,55555555÷73能整除
1000÷8=125
所以,1000个5除以7也能整除.
（6）666~66（1000个6）÷117 [余114]
666666÷117=5698
1000÷6=166……4
6666÷117=56……114

通常在数学上用a|b表示a整除b,等价于存在c使得b=ac,这里a,b,c均是整数,
应该是a=b当且仅当2|(a-b).
即等价于a,b关于模2同余,或a,b用2除余数相同或2整除a,b之差.

20090235-20090209=26
26=2*13
26有(1+1)^2=4 个约数
所以20090209与20090235关于4个数(1,2,13,26)模同余

首先,任何大于3的素数必为奇数!而奇数模6余数只能为1,3,5!
其次,假设素数y＝6x＋3（余数为3）即y＝3（2x＋1）,也就是y还有一个约数为3,所以y不可能是素数!
得证

36-11=25
25×11=275
275÷36=7余数为23
照相机里的胶卷还可拍23张照片

这是整除
即a-b能被m整除

（1）能被六除余4的正整数是10,16,22,28,34,40,46,52
（2）同时满足被5除余1的,个位为1或6
最小,应为26,依次为6,11,16,21,26,31,36,41,46
（3）这些数中,只有46是第一个被7除余1的数字
所以最小是46

这篇文章中回答得很详细了.

From prepare knowledge with the few remainings characteristic of remaining,integral,scoop out together remaining type is a concerning the application that compute,solve uncertain square distance and recurring decimal in mathematics the contest.

两个整数除以同一个整数,若得相同余数,则二整数同余

先解31x^4+57x^3+96x+191≡0(mod3,5),分别得
x==1;x=1,2mod5
综上,x==1,7 mod 15.
然后设x=15t+1或x=15t+7,代入原同余式(mod225),略.

43、69、138被m除同余,则它们的差能被m整除,则138-69=39,69-43=26,则m=1或13,∵m>10,∴m=13

|代表的是整除的意思 具体点就是 只要a除以m与b除以m所得的余数相同 就可写为 a≡b(mod m) 可设a=mx+c,b=my+c
a-b=m(x-y) 即 m|(a-b)
这些知识其实都是初等数论中的内容 楼主如果想要进一步了解 可参阅相关的书籍

我上初3的时候好像才碰到的

≡ 恒等,表示等式永远成立,不随变量变化而改变.
至于aod是你打错了吧.同余里面好像是mod,表示除以一个数的余数

一个三位数,除以7、8、9余数都是1,这个三位数是多少?
如果三个互质数字的余数都是同一个数字,那么这个数字就是他们的公倍数与余数的和.
一个三位数,除以7、8、9余数都是1,就是求他们最小公倍数与1的和.
因此这个三位数是：7*8*9+1=505

这么表达不严密,要加上：
一个数与它的余数是对于其除数同余

3141^977≡C (mod 13019)
求C
手工计算：
13019=47*277
利用费马小定理,
分别计算3141^977 mod 47
及3141^977 mod 277
再利用中国剩余定理求之.略.
数学软件计算；
在mathematica或在线计算器wolframalpha中输入：
Mod[3141^977,13019]
得到结果为7060

数论就是有关整除、同余、不定方程的数学
特别研究有关整数的理论
这是数论的含义,也是本质
数论用法,呵呵,如果这个我知道,哥德巴赫猜想就解决了.
但数论有一些一般的处理方法,比如最小质因子,无穷递降,阶等等,十分有趣的
有兴趣可以与我在线联系