在△ABC中,AB=AC=6,BC=4,求sinB的值

（1）答：四边形ABDE是平行四边形．
证明：如图（1），
∵AB=AC，AD=AE，
∴[AB/AD]=[AC/AE]．
∵∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
∴∠E=∠ACB．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B．
∴∠E=∠B．
∵AE∥BC，
∴∠EAB+∠B=180°．
∴∠EAB+∠E=∠EAB+∠B=180°．
∴AB∥ED．
∴四边形ABDE是平行四边形．

（2）证明：如图（2），
∵AB=AC，M是BC中点，
∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=[1/2]∠BAC．
同理：AN⊥DE，∠DAN=∠EAN=[1/2]∠DAE．
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAM=∠DAN．
∵∠MAN=∠MAC+∠CAD+∠DAN，
∠BAD=∠BAM+∠MAC+∠CAD，
∴∠MAN=∠BAD．
∵△ABC∽△ADE（已证），M是BC中点，N是DE中点，
∴[AM/AN]=[AB/AD]．
∴△AMN∽△ABD．

（3）∵AM⊥BC，
∴AM²=AB²-BM²=AD²-MD²．
∵AB=6，BM=2，MD=x-2，
∴AM²=6²-2²=AD²-（x-2）²．
∴AM=4
2，AD=
x2−4x+36．
∵△ABC∽△ADE，
∴[AB/AD]=[BC/DE]．
∴AB•DE=AD•BC．
∴6×DE=
x2−4x+36×4．
∴DE=[2/3]
x2−4x+36．
∴r_N=[1/3]
x2−4x+36．
∵△AMN∽△ABD，
∴[MN/BD]=[AM/AB]．
∴AB•MN=AM•BD．
∴6MN=4
2x．
∴MN=
2
2
3x．
当⊙M与⊙N外切时，MN=r_M+r_N．
∴
2
2
3x=2+[1/3]
x2−4x+36．
∴
2
2
3x-2=[1/3]
x2−4x+36．
∴2
2x-6=
x2−4x+36．
∴8x²-24
2x+36=x²-4x+36．
∴7x²=（24
2-4）x．
∵点D在BC的延长线上，
∴x＞4．
∴x=
24
2−4
7．
∴当x=
24
2−4
7时，两圆外切；当4≤x＜
24
2−4
7时，两圆相交；当x＞
24
2−4
7时，两圆外离．

点评：
本题考点： 相似形综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；圆与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题重点考查了相似三角形的判定与性质，另外还考查了平行四边形的判定、两圆的位置关系、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，综合性比较强，而考虑两圆外切这个临界位置是解决第（3）小题的关键．

∵AB，AC，AD两两互相垂直，且AB=AC=
6，AD=2，
∴球O的直径为
6+6+4=4
∴球O的半径为2
∵AD=2，
∴∠AOD＝
π
3
∴A、D两点间的球面距离为[π/3×2=
2π
3]
故选D．

点评：
本题考点： 球面距离及相关计算．

考点点评： 本题考查球面距离的计算，关键在于求出球心角，属于中档题．

（1）证明：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°
∴AD=BD=DC（2分）
∵AE=CF∴△AED≌△CFD（SAS）

（2）依题意有：FC=AE=x，
∵△AED≌△CFD
∴S_{四边形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=9
∴S△EDF＝S四边形AEDF−S△AEF＝9−
1
2(6−x)x＝
1
2x2−3x+9
∴y＝
1
2x2−3x+9；

（3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°
∴∠DAF=∠DBE=135°
∴△ADF≌△BDE
∴S_△ADF=S_△BDE
∴S_△EDF=S_△EAF+S_△ADB
=
1
2(x−6)x+9＝
1
2x2−3x+9
∴y＝
1
2x2−3x+9．

点评：
本题考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大．

∵AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AD=CD，
∵△BCD的周长为11，
∴BC+CD+BD=BC+AD+BD=BC+AB=11，
∵AB=AC=6，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=17．
故答案为：17．

点评：
本题考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．

考点点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．

（1）证明：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°
∴AD=BD=DC（2分）
∵AE=CF∴△AED≌△CFD（SAS）
（2）依题意有：FC=AE=x，
∵△AED≌△CFD
∴S_{四边形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=9
∴S△EDF＝S四边形AEDF−S△AEF＝9−
1
2(6−x)x＝
1
2x2−3x+9
∴y＝
1
2x2−3x+9；
（3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°
∴∠DAF=∠DBE=135°
∴△ADF≌△BDE
∴S_△ADF=S_△BDE
∴S_△EDF=S_△EAF+S_△ADB
=
1
2(x−6)x+9＝
1
2x2−3x+9
∴y＝
1
2x2−3x+9．

点评：
本题考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大．

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠AEF=∠B，
∴∠BAE+∠BEA=∠BEA+∠CEM，
∴∠BAE=∠CEM，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECM；

（2）当BE=2时，AE=EM，
理由是：∵BC=8，BE=2，
∴CE=6=AB，
在△ABE和△ECM中


∠B＝∠C
AB＝CE
∠BAE＝∠CEM
∴△ABE≌△ECM，
∴AE=EM；

（3）当BE=3.5时，AM=EM，
理由是：∵BC=8，BE=3.5，
∴CE=4.5，
∵AC=6，CB=8，
∴[AC/BC]=[CE/AC]，
∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴∠AEC=∠BAC，
∵∠BAE=∠CEM，
∴∠CEA-∠CEM=∠CAB-∠BAE，
∴∠CAE=∠AEM，
∴AM=EM．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质的应用，此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想的应用是解此题的关键．

（1）直线EF与⊙O相切（1分）
理由：如图①，连接OE，则OE=OB，∠OBE=∠OEB．
∵AB=AC，
∴∠OBE=∠C．
∴∠OEB=∠C．
∴OE∥AC．（2分）
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OE．
∵点E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线．（4分）

（2）①如图②，作AH⊥BC，H为垂足，并连接OE，那么BH=[1/2BC，
∵AB=6，cosB＝
1
3]，
∴BH=2，BC=4．（5分）
∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC．
∴[BE/BC＝
OE
AC]．
即[BE/4＝
x
6]．
∴BE=[2x/3]．
∴EC＝4−
2
3x．（7分）
在Rt△ECF中，cosC＝cosB＝
1
3，
∴CF＝EC•cosC＝(4−
2
3x)•
1
3．
∴所求函数的关系式为y＝
4
3−
2
9x．（8分）
②如图③，连接OE，DE，OF，由EF、DF与⊙O相切，
∴FD=FE，且∠DFO=∠EFO．
∴OF垂直平分DE．（10分）
∵∠DEB=90°，
∴BC⊥DE．
∴OF∥BC．
∴四边形OBCF是等腰梯形．
∴OB=CF，得[4/3−
2
9x＝x．
解得：x＝
12
11]．
即OB=[12/11]．（12分）

点评：
本题考点： 切线的判定；待定系数法求一次函数解析式；梯形；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形，等腰梯形的性质解决函数问题．

（1）直线EF与⊙O相切（1分）
理由：如图①，连接OE，则OE=OB，∠OBE=∠OEB．
∵AB=AC，
∴∠OBE=∠C．
∴∠OEB=∠C．
∴OE∥AC．（2分）
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OE．
∵点E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线．（4分）

（2）①如图②，作AH⊥BC，H为垂足，并连接OE，那么BH=[1/2BC，
∵AB=6，cosB＝
1
3]，
∴BH=2，BC=4．（5分）
∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC．
∴[BE/BC＝
OE
AC]．
即[BE/4＝
x
6]．
∴BE=[2x/3]．
∴EC＝4−
2
3x．（7分）
在Rt△ECF中，cosC＝cosB＝
1
3，
∴CF＝EC•cosC＝(4−
2
3x)•
1
3．
∴所求函数的关系式为y＝
4
3−
2
9x．（8分）

②如图③，连接OE，DE，OF，由EF、DF与⊙O相切，
∴FD=FE，且∠DFO=∠EFO．
∴OF垂直平分DE．（10分）
∵∠DEB=90°，
∴BC⊥DE．
∴OF∥BC．
∴四边形OBCF是等腰梯形．
∴OB=CF，得[4/3−
2
9x＝x．
解得：x＝
12
11]．
即OB=[12/11]．（12分）

点评：
本题考点： 切线的判定；待定系数法求一次函数解析式；梯形；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形，等腰梯形的性质解决函数问题．