黎曼几何的产生意义和发展史

如果是在广义相对论中使用的黎曼几何, 其实应该是带有(伪)黎曼度量的流形上的几何学.
这个概念是非常宽泛的: 通常所说的欧式几何, 双曲几何都是其特例(曲率分别为0或负常数).
而球面几何是曲率为正常数的特例.
在黎曼几何中给定了黎曼度量, 就可以讨论"测地线", 大意是流形上连接两点的最短的曲线.
对欧式几何来说, 两点间直线段最短, 因此测地线就是直线.
对球面几何来说, 两点间的最短曲线是大圆的弧, 因此测地线是大圆(即所在平面过球心的圆).
所以在球面几何中, 纬线并不是"直线".
任意两个大圆都会相交于一对对径点, 因此不存在"平行线".
最后补充一点技术细节:
最早研究非欧几何是为了证明平行公理和其它公理的独立性.
人们建立满足其它公理而不满足平行公理的模型 (例如Poincare圆盘).
依据其中"平行公理"的形式分为双曲几何(至少有两条), 欧式几何(恰有一条)和椭圆几何(没有).
但球面几何其实不成立"两点决定一条直线", 所以球面几何其实并不是椭圆几何.
不过在进行某种技术处理之后可以使其成立, 但是有点抽象, 所以就不在这里写了.

现实生活中,光在均一介质中是沿直线传播的,例如空气.强调均一是因为像在经过刻意抛光的玻璃、水晶等宝石中光会发生折射和反射,这样就会改变光路.至于广义相对论……你在现实中是看不到的,因为质量达到那个地步的物体大体可分为两类：黑洞（要是看到了就再也用不着思考了,在人反应过来之前就被吸进去了）还有就是巨大的星体（那么大不坐飞船是看不到全貌的）.
所以说就算现实中光是沿曲线传播的,也会因为和直线过于相近而被忽略.
还有一条最具权威的证据：目前为止中学物理书上说光是沿直线传播的!

微分同胚考察的是坐标卡之间的关系,而不是与原空间的关系.
证明微分同胚,首先证明同胚,此例中是显然的.然后证明映射可微,这里你犯了个错误,就是把原空间与坐标卡混淆了,原流形作为一个拓扑空间是无法做微分的（即使是例中的R,你把它看成拓扑空间时只是一条直线,要忘掉他本身的微分结构）,只有在局部同胚于欧氏空间时才会把欧氏空间中的微分结构借过来作为自己的局部微分结构（微分结构是附加结构）,所以考察两个微分流形是否微分同胚需要考察的是两个坐标卡之间的映射而不是两个拓扑空间之间的映射（例子中给出的拓扑空间的映射原则上无法做微分,你认为可微是因为你没有忘掉他原来的微分结构）.也就是考察拓扑空间映射前后复合上坐标映射后得到的映射是否可微.此例中复合后的映射实际上是恒等映射,所以自然是光滑的.
有问题还可以继续问我.

罗巴切夫斯基几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方仅仅是把欧氏几何中“一对分散直线在其唯一公垂线两侧无限远离”这一几何平行公理用“从直线外一点,至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替,其他公理基本相同.由于平行公理不同,经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题.
我们知道,罗巴切夫斯基几何除了一个平行公理之外采用了欧氏几何的一切公理.因此,凡是不涉及到平行公理的几何命题,在欧氏几何中如果是正确的,在罗氏几何中也同样是正确的.在欧氏几何中,凡涉及到平行公理的命题,在罗巴切夫斯基几何中都不成立
罗巴切夫斯基几何中的一些几何事实没有象欧氏几何那样容易被接受.但是,数学家们经过研究,提出可以用我们习惯的欧氏几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的.
1868年,意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》,证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现.这就是说,非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题,如果欧几里得几何没有矛盾,非欧几何也就自然没有矛盾.
黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例.例如：定义度量（a是常数）,则当a＝0时是普通的欧几里得几何,当a＞0时 ,就是椭圆几何 ,而当a＜0时为双曲几何.
在数学界,欧氏几何仍占主流；而物理界,则用的是黎曼几何.因为据黎曼几何,光线按曲线运动；而欧氏几何中,光线按直线运动

是早期的说法.
萨开里于1733 年出版了一部书名为《排除任何谬误的欧几里得》的著作.
在这部著作中萨开里考虑一个四边形ABCD,其中∠A＝∠B,它们
都是直角,并且AD＝BC.容易证明：∠C＝∠D.此二角的大小只有三种可能,
即为钝角、直角与锐角,萨开里称它们分别为钝角假设、直角假设与锐角假
设.由于欧几里得平行公理等价于直角假设,因此萨开里考察了另外两种可
能的选择.在钝角假设的基础上,应用欧几里得的其它公理,萨开里很容易
地推导出矛盾.在锐角假设下,萨开里证明了一系列有趣的结果,得到了现
今非欧几里得几何学中许多经典定理.最后,在讨论已知直线与过这直线外
一点的直线族的位置关系时,萨开里推导出两条渐近直线在无穷远必有一条
公垂线.他虽然没有得到任何矛盾,但却断言这一结论与通常观念显然不合
情理,于是判定锐角假设不真实.所以,萨开里坚信欧几里得平行公理可以
证明,并且自认为完成了欧几里得平行公理的证明.在萨开里那里,虽然直
观的合理性和逻辑的必然性被混为一谈,但是他所开创的方法毕竟开辟了一
条通向非欧几里得几何学的途径.

三种几何的区别,主要体现在如何对待“殴几里德第五公设”.即（这是后人的说法,不是欧几里德原来的说法,但二者是等价的）,过直线外一点,只可以作一条直线与该直线不相交（平行）.
欧氏几何：认为这是公理.
罗氏几何：罗氏几何与欧氏几何的唯一区别是第五公设,即罗氏几何不承认第五公设,罗氏几何中,过直线外一点,可作无穷多直线不与该直线相交.其它方面面与欧氏几何都相同.但正是由于这关键的不同点,造成两种几何的重大区别.
黎氏几何：与欧氏几何有两点差别,第一个差别是第五公设,黎氏几何认为,过直线外一点,无法作一条直线与原直线不相交.
此外还有第二个差别,即所谓的“顺序公理”.
这样可以么?

三种几何的区别,主要体现在如何对待“殴几里德第五公设”.即（这是后人的说法,不是欧几里德原来的说法,但二者是等价的）,过直线外一点,只可以作一条直线与该直线不相交（平行）.
欧氏几何：认为这是公理.
罗氏几何：罗氏几何与欧氏几何的唯一区别是第五公设,即罗氏几何不承认第五公设,罗氏几何中,过直线外一点,可作无穷多直线不与该直线相交.其它方面面与欧氏几何都相同.但正是由于这关键的不同点,造成两种几何的重大区别.
黎氏几何：与欧氏几何有两点差别,第一个差别是第五公设,黎氏几何认为,过直线外一点,无法作一条直线与原直线不相交.
此外还有第二个差别,即所谓的“顺序公理”.

黎曼几何需要很高的微积分技巧,对于线性代数倒不是要求很高
数分搞定后,当然可以学线代了,没问题

简单的说,黎曼几何是微分几何的一个特殊情况.
微分几何的研究对象是一般的微分流形,黎曼几何的研究对象是黎曼流形.
黎曼流形是一种特殊的微分流形,要求流形上存在黎曼联络,一般的微分流形上则没有这样的要求.
所以说,黎曼几何比微分几何的范围要窄,也相对简单一些.

因为我们接触的更多是欧基里得几何非欧几何曲面曲率什么什么的完全不懂啊.泪崩.

黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。 在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标...

蛤蟆跳井

两个理解基本正确,但是还不完全
对于第一个,不知LZ是否确切知道所谓弯曲的空间是指什么样的空间.其实是定义一个数学量（Reimann张量）,如果该量的分量在你研究的空间内处处为0,则为平直空间,反之则为弯曲空间.
对于第二个,LZ所言不完全确切.Einstein在建立广义相对论的时候有一个大胆的假设,即引力是时空弯曲的表现.基于这点才可以说质量的存在（由于产生了引力）使得时空（注意是时空不是空间）发生了弯曲.而对于光,光的路径是时空中的“直线”（即：测地线）,由于时空本身就是弯曲的,所以其上的“直线”直观上看并不直,所以在三维空间中,光线的轨迹就是弯曲的.
最后,对于一些物理和数学上用到的一些名词声明一下.数学上所谓的空间,是指具有某种数学结构的集合,维数可以是任意的,甚至维数可以无穷大.按照这个定义,我们平时生活中的空间,以及所谓的时空,都是属于数学上提到的那种空间的概念.而物理上常常说的时空的概念,其实是数学上具有某种数学结构的四维空间,而物理上说的空间,如果不加特别声明,既是指我们生活的三维空间,这和数学上提到的空间概念不同.
总之,谈到时空,都是特指有某种数学结构的空间,而且有一维代表时间.而谈到空间,那么就要明确是数学上的空间概念,还是泛指我们日常生活的三维空间.

Euclid几何只能在平坦的空间得以成立,它不存在弯曲.而Riemann几何却是一种基于Riemann流型的几何,它被用于解析物理.其实,它们都同属于几何学的分支.而且,希尔伯特还曾经发现了：如果非欧几何包含了某种矛盾,那么Euclid几何也必定会有这种矛盾.

我的印象,应该是：
广义相对论是建立在黎曼几何基础上的.