戴德金定理严格的直接证明定理：对于实数集的任一分割S|T,或者S有最大实数,或者T有最小实数,二者必居其一.关键字：严格

对R的任一分划(A|B),可以假设B中无最小数,那么这意味着对于任意的a属于A,b属于B,有a小于c小于b且c不属于R.由于此时(A|B)是R的分划,Q又是R的真子集,则(A|B)也是Q的分划.但由R的定义,即R是Q的所有分划的集合知,Q只有两种分划,即有理分划和无理分划.这与c不属于R,即c=(A|B)既不是有理分划也不是无理分划相矛盾.所以假设不成立,B中必有最小值.

这不是不言自明的么？还需要严格的证明？
对于实数集的任一分割S|T，假设分割点为实数m，则m要么归入S，要么归入T。
当m归入S时，S有最大实数m；当m归入T时，T有最小实数m