勾股数组中是不是一定有一个偶数,为什么；勾股数组还有别的什么规律

①6,8,10,②5,12,13,③8,15,17

因为在15,20,25中15最小可以视为定义中的p,20视为m,25视为n
因为15^2=225,不等于m和n的和（20+25=45）
即他们不满足p2=m+n
比如3,4,5的话
他们既满足3^2+4^2=5^2,又满足3^2=4+5,所以3,4,5是勾股数组

3的平方+4的平方=5的平方 5的平方+12的平方=13的平方 7的平方+24的平方=25的平方

a²+b²=c²
那么[（1.n）*a]²+[（1.n）*b]²=[（1...n）*c]²
abc为最基础的勾股数组 1.n ∈ +Z

a,b,c是勾股数,则：
a^2+b^2=c^2
如果三个数都是奇数的话,可设a=2k+1,b=2m+1,c=2n+1
(2k+1)^2+(2m+1)^2=(2n+1)^2
4k(k+1)+4m(m+1)+1=4n(n+1)
左边被4除余1,右边是4的倍数,导致矛盾.

设a、b、c满足勾股定理,即a^2+b^2=c^2
则,a^2=c^2-b^2=(b+c)(b-c)
假设a、b、c都为奇数时,b-c为偶数,故(b+c)(b-c)为偶数,即a^2为偶数,故a为偶数
前后矛盾,故a、b、c不能同时为奇数,必有一个奇数.

等于6的平方减1,等于35 ；
c等于（b+2）,等于37；
容易验证,（12,35,37）是勾股数组.

勾股数
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数.
①观察3,4,5；5,12,13；7,24,25；…发现这些勾股数都是奇数,且从3起九没有间断过.计算0.5（9-1）,0.5（9+1）与0.5（25-1）,0.5（25+1）,并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式.
②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明.
③继续观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦.
设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件.因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整数解.
例：已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1),求证：∠C=90°.此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1),都可构成一组勾股数,三边分别是：2n、n2-1、n2+1.如：6、8、10,8、15、17、10、24、26…等.
再来看下面这些勾股数：3、4、5、5、12、13,7、24、25、9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形.由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证.
观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数.
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和.
掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便.

3,4,5.6,8,10.5,12,13.9,12,15.12,16,20.15,20,25.18,24,30.10,24,26 8,15,17 7,24,25