设f(x)=a•2x−12x+1是R上的奇函数.

goodxl2022-10-04 11:39:541条回答

设f(x)=
a•2x−1
2x+1
是R上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)若g(x)与f(x)关于直线y=x对称,求g(x)的解析式和定义域.
(3)求解关于x的不等式g(x)>log2(1+x).

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ljshy 共回答了24个问题 | 采纳率79.2%
解题思路:(1)根据奇函数在x=0处的函数值为0,列式并解之可得a值,再加以检验即可;
(2)由f(x)的表达式解出用y表示x的式子,从而得到f(x)的反函数为y=log2[1+x/1−x],再结合题意知g(x)就是函数f(x)的反函数,由此可得函数g(x)的表达式;
(3)根据对数的真数大于0,并结合对数函数的单调性建立关于x的不等式组,解之即得原不等式的解集.

(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(0)=
a•20−1
20+1=0,解之得a=1
检验:当a=1时,f(x)=
2x−1
2x+1,
得f(-x)=
2−x−1
2−x+1=
1−2x
1+2x=-f(x)成立,故a=1符合题意.
(2)令y=
2x−1
2x+1=1-[2
2x+1,可得2x=
2/1−y]-1=[1+y/1−y]
∴x=log2[1+y/1−y],可得f(x)=
2x−1
2x+1的反函数为y=log2[1+x/1−x],
∵函数g(x)图象与f(x)图象关于直线y=x对称,
∴函数y=g(x)是函数f(x)的反函数,故g(x)=log2[1+x/1−x].
(3)g(x)>log2(1+x),即


1+x
1−x>0
1+x>0

1+x
1−x>1+x,
解这个不等式组,得0<x<1,原不等式的解集是(0,1)

点评:
本题考点: 奇偶性与单调性的综合.

考点点评: 本题给出含有指数式的分式函数,求函数的奇偶性并解相应的不等式,考查了基本初等的单调性、奇偶性和不等式的解法等知识,属于中档题.

1年前

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已知f(x)=a2x−12x+1(a∈R),是R上的奇函数.
已知f(x)=
a2x−1
2x+1
(a∈R)
,是R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)求f(x)的反函数;
(3)对任意的k∈(0,+∞)解不等式f−1(x)>log2
1+x
k
f一88091年前1
anny1978 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%
解题思路:(1)由题知奇函数在R上有定义,故图象过原点,所以f(0)=0,解得a=1;
(2)令y=
a2x−1
2x+1
(a∈R)
,依据反函数的定义解出f(x)的反函数的表达式.
(3)由(2)知f−1(x)=log2
1+x
1−x
(−1<x<1)
由此知两边底数一致,故可以用相关函数的单调性进行转化.

(1)由题知f(0)=0,得a=1,
此时f(x)+f(−x)=
2x−1
2x+1+
2−x−1
2−x+1=
2x−1
2x+1+
1−2x
1+2x=0,
即f(x)为奇函数.
(2)∵y=
2x−1
2x+1=1−
2
2x+1,得2x=
1+y
1−y(−1<y<1),
∴f−1(x)=log2
1+x
1−x(−1<x<1).
(3)∵f−1(x)>log2
1+x
k,∴


1+x
1−x>
1+x
k
−1<x<1,∴

x>1−k
−1<x<1,
①当0<k<2时,原不等式的解集{x|1-k<x<1},
②当k≥2时,原不等式的解集{x|-1<x<1}.

点评:
本题考点: 反函数;奇函数;对数函数的单调性与特殊点.

考点点评: 本题考点是反函数,考查反函数解析式的求法以及解对数不等式,反函数的求法用反函数的定义,解对数不等式要根据对数的单调性进行转化.

已知定义域为R的函数f(x)=a•2x−12x+1是奇函数.
已知定义域为R的函数f(x)=
a•2x−1
2x+1
是奇函数.
(1)求a的值;
(2)试判断f(x)的单调性,并用定义证明;
(3)若对任意的t∈[-2,2],不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
sengoku1241年前1
killerdavud 共回答了15个问题 | 采纳率100%
解题思路:(1)由奇函数的定义得到f(-x)=-f(x),解出f(0)=0代入解析式求解即可
(2)由(1)f(x)=
2x−1
2x+1
,任取x1,x2∈R,且x1<x2,作差,利用定义法证明其单调性;
(3)由奇函数的性质将不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立的问题转化为,f(t2-2t)<f(-2t2+k)对t∈[-2,2]恒成立利用函数的单调性转化为一元二次不等式,整理得到一个一元二次不等式在t∈[-2,2]恒成立,借用二次函数的性质求最值即可.

(1)f(-x)=-f(x)⇒f(0)=0
则[a−1/1+1=0⇒a=1
(2)f(x)为递增函数
任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)−f(x2)=
2x1−1
2x1+1−
2x2−1
2x2+1=
2(2x2−2x1)
(2x1+1)(2x2+1)]
∵x1<x2∴2x1−2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0
∴f(x1)<f(x2),所以f(x)为递增函数
(3)f(t2-2t)+f(2t2-k)<0对t∈[-2,2]恒成立
则f(t2-2t)<-f(2t2-k)对t∈[-2,2]恒成立
因为f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x)
则f(t2-2t)<f(-2t2+k)对t∈[-2,2]恒成立
又因为f(x)为递增函数
所以t2-2t<-2t2+k对t∈[-2,2]恒成立
即3t2-2t-k<0对t∈[-2,2]恒成立
令u=3t2-2t-k,t∈[-2,2],当x=-2时,umax=16-k
则16-k<0,则k>16

点评:
本题考点: 奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质;奇函数.

考点点评: 本题考查奇偶性与单调性的综合,解题的关键是掌握住奇函数的性质以及定义法证明单调性的原理与步骤,第三问中解抽象不等式是本题的重点,利用函数的奇偶性与单调性结合解不等式是这两个性质的重要运用,这几年的高考中时有出现,题后要总结一下此小题的解题规律,本小时易因为转化不等价导致错误,切记.

已知函数f(x)=a•2x−12x+1是奇函数.
已知函数f(x)=
a•2x−1
2x+1
是奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断并证明f(x)的单调性;
(3)若对∀x∈[0,1],不等式f(x)≤t-x恒成立,求实数t的取值范围.
weilai54541年前1
中年狼 共回答了22个问题 | 采纳率90.9%
解题思路:(1)由奇函数的性质得f(0)=0,代入解析式求出a的值,再进行验证;
(2)先判断出函数的单调性,再由单调性定义证明:取值、作差、变形、判断符号、下结论,变形一定要彻底;
(3)利用分离常数法,将条件转化为“t≥f(x)+x对x∈[0,1]恒成立”,结合(2)判断出f(x)+x的单调性,求出此函数的最大值,即可得t得取值范围.

(1)∵f(x)是奇函数
∴f(0)=0,即[a−1/3]=0
∴a=1----------------------(3分)
经检验:a=1时f(x)=
2x−1
2x+1是奇函数,满足题意.--------(4分)
(2)f(x)是单调增函数
证明:任取x1,x2∈(-∞,+∞),x1<x2
f(x1)-f(x2)=
2x1−1
2x1+1-
2x2−1
2x2+1=
(2x1−1)(2x2+1)−(2x2−1)(2x1+1)
(2x1+1)(2x2+1)
=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)----------------------(7分)
∵x1,x2∈(-∞,+∞),x1<x2
∴2x1−2x2<0,
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数.----------------------(10分)
(3)由题意分离t得:t≥f(x)+x对x∈[0,1]恒成立----------------------(12分)
由(2)知函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数
∴f(x)+x在[0,1]上是单调增函数
∴f(x)+x在[0,1]上的最大值为f(1)+1=[4/3]----------------------(14分)
∴t≥[4/3],即所求实数a的取值范围为[[4/3],+∞).----------------------(16分)

点评:
本题考点: 奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数最值的应用.

考点点评: 本题考查了奇函数的性质应用,函数单调性的证明过程,及恒成立问题的转化等,考查了转化思想和分离常数法.

设f(x)=a•2x−12x+1是R上的奇函数.
f(x)=
a•2x−1
2x+1
是R上的奇函数.
(1)求a值;
(2)求f (x)的值域;
(3)若f(x)>
1
2
,求x值范围.
I_Tyson1年前1
shucha 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%
解题思路:(1)由f (x)是R上的奇函数可得f(0)=0,代入可求a
(2)由(1)f(x)=
2x−1
2x+1
=1−
2
2x+1
,结合指数函数的性质可求1+2x的范围,进而可求函数的值域
(3))由题意可得
2x−1
2x+1
1
2
,整理可求

(1)f (x)是R上的奇函数
∴f(0)=0

a•20−1
20+1=0∴a=1
(2)由(1)f(x)=
2x−1
2x+1=1−
2
2x+1


∵0<
2
2x+1<2
∴−1<1−
2
2x+1<1
∴f(x)值域为(-1,1)
(3)∵
2x−1
2x+1>
1
2,


∴2•2x−2>2x+1
∴2x>3
解为{x|x>log23}

点评:
本题考点: 函数奇偶性的性质;函数的值域.

考点点评: 本题主要考查了奇函数的性质在求解函数解析式中的应用,应用该性质可以简化基本运算,其中指数函数性质的应用是解答本题的关键