设f(x)＝a•2x−12x+1是R上的奇函数．

解题思路：（1）根据奇函数在x=0处的函数值为0，列式并解之可得a值，再加以检验即可；
（2）由f（x）的表达式解出用y表示x的式子，从而得到f（x）的反函数为y=log₂[1+x/1−x]，再结合题意知g（x）就是函数f（x）的反函数，由此可得函数g（x）的表达式；
（3）根据对数的真数大于0，并结合对数函数的单调性建立关于x的不等式组，解之即得原不等式的解集．

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（0）=
a•20−1
20+1=0，解之得a=1
检验：当a=1时，f（x）=
2x−1
2x+1，
得f（-x）=
2−x−1
2−x+1=
1−2x
1+2x=-f（x）成立，故a=1符合题意．
（2）令y=
2x−1
2x+1=1-[2
2x+1，可得2^x=
2/1−y]-1=[1+y/1−y]
∴x=log₂[1+y/1−y]，可得f（x）=
2x−1
2x+1的反函数为y=log₂[1+x/1−x]，
∵函数g（x）图象与f（x）图象关于直线y=x对称，
∴函数y=g（x）是函数f（x）的反函数，故g（x）=log₂[1+x/1−x]．
（3）g（x）＞log₂（1+x），即


1+x
1−x＞0
1+x＞0

1+x
1−x＞1+x，
解这个不等式组，得0＜x＜1，原不等式的解集是（0，1）

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题给出含有指数式的分式函数，求函数的奇偶性并解相应的不等式，考查了基本初等的单调性、奇偶性和不等式的解法等知识，属于中档题．

解题思路：（1）由题知奇函数在R上有定义，故图象过原点，所以f（0）=0，解得a=1；
（2）令y＝

a2x−1

2x+1

(a∈R)，依据反函数的定义解出f（x）的反函数的表达式．
（3）由（2）知f−1(x)＝log2

1+x

1−x

(−1＜x＜1)由此知两边底数一致，故可以用相关函数的单调性进行转化．

（1）由题知f（0）=0，得a=1，
此时f(x)+f(−x)＝
2x−1
2x+1+
2−x−1
2−x+1＝
2x−1
2x+1+
1−2x
1+2x＝0，
即f（x）为奇函数．
（2）∵y＝
2x−1
2x+1＝1−
2
2x+1，得2x＝
1+y
1−y(−1＜y＜1)，
∴f−1(x)＝log2
1+x
1−x(−1＜x＜1)．
（3）∵f−1(x)＞log2
1+x
k，∴


1+x
1−x＞
1+x
k
−1＜x＜1，∴

x＞1−k
−1＜x＜1，
①当0＜k＜2时，原不等式的解集{x|1-k＜x＜1}，
②当k≥2时，原不等式的解集{x|-1＜x＜1}．

点评：
本题考点： 反函数；奇函数；对数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 本题考点是反函数，考查反函数解析式的求法以及解对数不等式，反函数的求法用反函数的定义，解对数不等式要根据对数的单调性进行转化．

解题思路：（1）由奇函数的定义得到f（-x）=-f（x），解出f（0）=0代入解析式求解即可
（2）由（1）f(x)＝

2x−1

2x+1

，任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差，利用定义法证明其单调性；
（3）由奇函数的性质将不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立的问题转化为，f（t²-2t）＜f（-2t²+k）对t∈[-2，2]恒成立利用函数的单调性转化为一元二次不等式，整理得到一个一元二次不等式在t∈[-2，2]恒成立，借用二次函数的性质求最值即可．

（1）f（-x）=-f（x）⇒f（0）=0
则[a−1/1+1＝0⇒a＝1
（2）f（x）为递增函数
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f(x1)−f(x2)＝
2x1−1
2x1+1−
2x2−1
2x2+1＝
2(2x2−2x1)
(2x1+1)(2x2+1)]
∵x₁＜x₂∴2x1−2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）为递增函数
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0对t∈[-2，2]恒成立
则f（t²-2t）＜-f（2t²-k）对t∈[-2，2]恒成立
因为f（x）为奇函数，即f（-x）=-f（x）
则f（t²-2t）＜f（-2t²+k）对t∈[-2，2]恒成立
又因为f（x）为递增函数
所以t²-2t＜-2t²+k对t∈[-2，2]恒成立
即3t²-2t-k＜0对t∈[-2，2]恒成立
令u=3t²-2t-k，t∈[-2，2]，当x=-2时，u_max=16-k
则16-k＜0，则k＞16

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇函数．

考点点评： 本题考查奇偶性与单调性的综合，解题的关键是掌握住奇函数的性质以及定义法证明单调性的原理与步骤，第三问中解抽象不等式是本题的重点，利用函数的奇偶性与单调性结合解不等式是这两个性质的重要运用，这几年的高考中时有出现，题后要总结一下此小题的解题规律，本小时易因为转化不等价导致错误，切记．

解题思路：（1）由奇函数的性质得f（0）=0，代入解析式求出a的值，再进行验证；
（2）先判断出函数的单调性，再由单调性定义证明：取值、作差、变形、判断符号、下结论，变形一定要彻底；
（3）利用分离常数法，将条件转化为“t≥f（x）+x对x∈[0，1]恒成立”，结合（2）判断出f（x）+x的单调性，求出此函数的最大值，即可得t得取值范围．

（1）∵f（x）是奇函数
∴f（0）=0，即[a−1/3]=0
∴a=1----------------------（3分）
经检验：a=1时f（x）=
2x−1
2x+1是奇函数，满足题意．--------（4分）
（2）f（x）是单调增函数
证明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=
2x1−1
2x1+1-
2x2−1
2x2+1=
(2x1−1)(2x2+1)−(2x2−1)(2x1+1)
(2x1+1)(2x2+1)
=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)----------------------（7分）
∵x₁，x₂∈（-∞，+∞），x₁＜x₂
∴2x1−2x2＜0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数．----------------------（10分）
（3）由题意分离t得：t≥f（x）+x对x∈[0，1]恒成立----------------------（12分）
由（2）知函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数
∴f（x）+x在[0，1]上是单调增函数
∴f（x）+x在[0，1]上的最大值为f（1）+1=[4/3]----------------------（14分）
∴t≥[4/3]，即所求实数a的取值范围为[[4/3]，+∞）．----------------------（16分）

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数最值的应用．

考点点评： 本题考查了奇函数的性质应用，函数单调性的证明过程，及恒成立问题的转化等，考查了转化思想和分离常数法．