梯形、三角形的立方怎么算要有具体证明过程!

梯形 梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形.平行的两边叫做梯形的底边,其中长边叫下底；不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高.一腰垂直于底的梯形叫直角梯形,两腰相等的梯形叫等腰梯形. [编辑本段]等腰梯形的性质 1．等腰梯形的两条腰相等 2．等腰梯形在同一底上的两个底角相等 3．等腰梯形的两条对角线相等 4．等腰梯形是轴对称图形,对称轴是上下底中点的连线所在直线 5．等腰梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）等于上下底和的二分之一 注意：在有些情况下,梯形的上下底以长短区分,而不是按位置确定的,把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底. [编辑本段]判定 1．一组对边平行,另一组对边不平行的四边形是梯形 2．两腰相等的梯形是等腰梯形 3．同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 4．有一个内角是直角的梯形是直角梯形 5．对角线相等的梯形是等腰梯形． [编辑本段]周长、面积 梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2. 等腰梯形面积公式： 中位线×高 用字母表示：（a+b）×h÷2 或l·h 梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰 用字母表示：a+b+c+d [编辑本段]常用辅助线 1．作高（无数条,根据实际题目确定） 2．平移一腰 3．平移对角线 4．延长两腰交于一点 5．取一腰中点,另一腰两端点连接并延长. 6． 取两底中点,过一底中点做两腰的平行线. [编辑本段]什么是三角形? 一个封闭图形的内角和为180度叫做三角形. 例题：已知有一△ABC,求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° 证明：做BC的延长线至点D,过点C作AB的平行线至点E ∵AB∥CE（已知） ∴∠ABC=∠ECD(两直线平行,同位角相等),∠BAC=∠ACE(两直线平行,内错角相等) ∵∠BCD=180° ∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性质） ∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代换） 三角形的内角和 三角形的内角和为180度 证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明,详细参见《优因培：走进三角形》 [编辑本段]三角形分类 (1)按角度分 a.锐角三角形：三个角都小于90度 .并不是有一个锐角的三角形,而是三个角都为锐角,比如等边三角形也是锐角三角形. b.直角三角形（简称Rt 三角形）： ⑴直角三角形两个锐角互余； ⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ⑶在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.； ⑷在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°（和⑶相反）； c.钝角三角形：有一个角大于90度(锐角三角形,钝角三角形统称斜三角形). d.证明全等时可用HL方法 [编辑本段]解直角三角形： 勾股定理（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边. 勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5.他们分别是3,4和5的倍数. 常见的勾股弦数有：3,4,5；6,8,10；等等 [编辑本段]解斜三角形 在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有 （1）正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r) （2）余弦定理. a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC （3） 余弦定理变形公式 cosA=b^2+C^2-a^2/2bC cosb=a^2+c^2-b^2/2aC cosC=a^2+b^2-C^2/2ab [编辑本段]三角形的性质 1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边. 2.三角形内角和等于180度 3.等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一. 4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. ５.三角形共有六心： 三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线 内心：三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心. 性质：到三边距离相等. 外心：三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心. 性质：到三个顶点距离相等. 重心：三条中线的交点. 性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍. 垂心：三条高所在直线的交点. 性质：此点分每条高线的两部分乘积 旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 性质：到三边的距离相等. 界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点. 性质：三角形共有3个界心,三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点. 欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线. 6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和. 7.一个三角形最少有2个锐角. 8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段. 9.等腰三角形中,等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边. 10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a²+b²=c² 那么这个三角形就一定是直角三角形. 11.三角形的外角和是360°. 12.等底等高的三角形面积相等. 13.底相等的三角形的面积之比等于其高之比,高相等的三角形的面积之比等于其底之比. 14.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4. 15.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC. 16.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 17.全等三角形对应边相等,对应角相等. [编辑本段]三角形为什么具有稳定性 任取三角形两条边,则两条边的非公共端点被第三条边连接 ∵第三条边不可伸缩或弯折 ∴两端点距离固定 ∴这两条边的夹角固定 ∵这两条边是任取的 ∴三角形三个角都固定,进而将三角形固定 ∴三角形有稳定性 任取n边形(n≥4)两条相邻边,则两条边的非公共端点被不止一条边连接 ∴两端点距离不固定 ∴这两边夹角不固定 ∴n边形(n≥4)每个角都不固定,所以n边形(n≥4)没有稳定性 [编辑本段]三角形的边角之间的关系 （1）三角形三内角和等于180°（在球面上,三角形内角之和大于180°）； （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； （4）三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边； （5）在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边. （6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线,中线,高,中位线. （7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心,它是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等. （8）三角形的外接圆圆心,即外心,是三角形三边的垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等. （9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍. （10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心. （11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2. （12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角. 注意: ①三角形的内心、重心都在三角形的内部 . ②钝角三角形垂心、外心在三角形外部. ③直角三角形垂心、外心在三角形的边上.（直角三角形的垂心为直角顶点,外心为斜边中点.） ④锐角三角形垂心、外心在三角形内部. [编辑本段]特殊三角形 1.相似三角形 （1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形 （2）相似三角形性质 相似三角形对应边成比例,对应角相等 相似三角形对应边的比叫做相似比 相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方 相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比 若a、b、b、c成比例,即a:b=b:c,则称b是a和c的比例中项 （3）相似三角形的判定 【1】三边对应成比例则这两个三角形相似 【2】两边对应成比例及其夹角相等,则两三角形相似 【3】两角对应相等则两三角形相似 2.全等三角形 图案设计 1、图案的设计：应用全等图形的知识,对基本图形适当进行分割、拼接,设计出美丽的图案 2、图案设计的基本步骤： （四）、全等三角形 （1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （2）全等三角形的性质. 全等三角形对应角（边）相等. 全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等. （3）全等三角形的判定 ① SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL (RT三角形)】 寻找全等三角形的对应角、对应边常用方法： 3.等腰三角形 等腰三角形的性质： （1）两底角相等； (2) 两条腰相等 ； （3）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合； 等腰三角形的判定： （1）等角对等边； （2）两底角相等； 4.等边三角形 等边三角形的性质： （1）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合； （2）等边三角形的各角都相等,并且都等于60°. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. [编辑本段]三角形的面积公式 (1)S△=1/2*ah（a是三角形的底,h是底所对应的高） (2)S△=1/2*ac*sinB＝1/2*bc*sinA＝1/2*ab*sinC（三个角为∠A∠B∠C,对边分别为a,b,c,参见三角函数） (3)S△=√［s*（s-a）*（s-b）*（s-c）］【s=1/2(a+b+c)】（海伦—秦九韶公式） (4)S△=abc/（4R）【R是外接圆半径】 (5)S△=1/2*(a+b+c)*r 【r是内切圆半径】 (6). | a b 1 | S△=1/2 * | c d 1 | .| e f 1 | 【.| a b 1 | .| c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC .| e f 1 | 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!】 [编辑本段]生活中的三角形物品 雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边缘线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、宝塔、金字塔、三角内裤、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜拉桥等. 三角形全等的条件 注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等,也不可以用“SSA” （1）三边对应相等的两个三角形相等,简写为“SSS”. （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“ASA”. （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“AAS”. （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“SAS”. （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“HL”. 全等三角形的性质 全等三角形的对应角相等,对应边也相等,并且全等三角形能重合. [编辑本段]三角形中的线段 中线： 顶点与对边中点的连线,平分三角形. 高： 从三角形的一个顶点（三角形任意两条边的交点）向其对边所作的垂线段（顶点至对边垂足间的线段）,叫做三角形的高. 角平分线： 顶点到两边距离相等的点所构成的直线. 中位线： 任意两边中点的连线. [编辑本段]三角形相关定理 重心定理 三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍． 上述交点叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点． 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点． 这点叫做三角形的垂心. 内心定理 三角形的三内角平分线交于一点． 这点叫做三角形的内心. 旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心． 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心． 它们都是三角形的重要相关点． 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边． 勾股定理 在Rt三角形ABC中,A≤90度,则 AB·AB+AC·AC=BC·BC 梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1. 证明： 过点A作AG∥BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG. 三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线.利用这个逆定理,可以判断三点共线. 塞瓦定理 设O是△ABC内任意一点, AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明： ∵△ADC被直线BOE所截, ∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ① 而由△ABD被直线COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1② ②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F, 根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点. 莫利定理 将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.