以双曲线x2a2−y2b2＝1的右焦点为圆心，且经过该双曲线左顶点的圆的方程为（x-2）2+y2=9，则该双曲线的方程为

由题意，
a2+b2
a2×
m2−b2
m2＞1
∴-a²b²+b²m²-b⁴＞0
∴a²+b²-m²＜0
∴
a2+b2−m2
2ab＜0
∴m所对的角为钝角
∴以a，b，m为边的三角形是钝角三角形
故选B．

点评：
本题考点： 圆锥曲线的共同特征；三角形的形状判断．

考点点评： 本题考查双曲线、椭圆的离心率，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

根据题意得，|F₁F₂|=2c，|AB|=2a，
∴双曲线的离心率e=[c/a]=
|F1F2|
|AB|=[5/3]．
故选A．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

设双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1的右顶点为A，其坐标是（a，0），由焦点为C，坐标为（
a2+b2，0）；
设双曲线
y2
b2−
x2
a2＝1上顶点为B，坐标为（0，b），上焦点为D，坐标为（0，
a2+b2）．O为坐标原点．
则S₁=4S_△OAB=2ab，S₂=4S_△OCD=2（a²+b²），
所以
S1
S2＝
ab
a2+b2≤[ab/2ab]=[1/2]．
故选C．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的简单几何性质和使用基本不等式求最值，考查计算能力．

∵双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1的焦点在x轴上，∴其渐近线方程为y=±
b
ax，
∵渐近线与直线2x+y+1=0垂直，渐近线的斜率为[1/2]，
∴[b/a]=[1/2]
即a²=4b²=4（c²-a²），即5a²=4c²，e²=[5/4]
双曲线的离心率e=[c/a]=

5
2
故答案为：

5
2．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考察了双曲线的标准方程及其几何性质，双曲线渐近线与离心率间的关系，求双曲线离心率的一般方法

∵抛物线的方程为y²=8x，
∴其焦点F（2，0），
又抛物线y²=8x的焦点F与双曲线
x2
a2-
y2
b2=1的一个焦点相同，
∴双曲线
x2
a2-
y2
b2=1的右焦点F（2，0），
∴c=2；
又F到双曲线的右顶点的距离等于1，
∴a=2-1=1．
∴双曲线的离心率e=[c/a]=2．
故选C．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查抛物线与双曲线的简单性质，求得双曲线中c=2，a=1是关键，属于中档题．

在Rt△PF₂F₁中，设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，∵∠PF₁F₂=30°
∴

d1＝2d2
d1−d2＝2a∴d₂=2a
∵|F₂F₁|=2c
∴tan30°=[2a/2c]
∴[a/c]=

3
3，即
a2
a2+b2＝
1
3
∴(
b
a)2＝2
∴[b/a]=
2
∴双曲线的渐近线方程为y＝±
2x

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查了双曲线的定义及其几何性质，求双曲线渐近线方程的思路和方法，恰当利用几何条件是解决本题的关键

（1）∵双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1的渐近线方程为bx±ay=0，
∴双曲线焦点（±c，0）到渐近线的距离为
|bc|

b2+a2=b=
3
又∵双曲线离心率e=[c/a]=2
∴c=2a，平方得c²=a²+b²=a²+3=4a²，解得a=1
因此，双曲线的方程为x2−
y2
3＝1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由右焦点F₂（2，0）设直线l方程：y=k（x-2）
由

y＝k(x−2)
x2−
y2
3＝1消去y，得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0
根据题意知k≠±
3，由根与系数的关系得：x₁+x₂=
4k2
k2−3

点评：
本题考点： 双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题给出双曲线的焦点到渐近线的距离和双曲线的离心率，求双曲线的方程并探索焦点弦截得的三角形面积问题，着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和直线与双曲线位置关系等知识点，属于中档题．

设P（x₀，y₀），则过P与实轴平行的直线为y=y₀，与 双曲线的两条渐近线方程 y=±[b/ax分别联立，解得M（
a
b]y₀，y₀），N（-[a/b]y₀，y₀）∴

PM•

PN=（[a/by0−x0，0）•（-
a
by0−x0，0）=x₀²-
a2
b2y02=a²（
x2
a2−
y2
b2]）=a²．
故答案为：a²

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本体考查双曲线的简单几何性质中的实轴，渐近线．同时考查了向量的数量积这一重要概念．

设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）
∵抛物线为y²=4cx，
∴F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点，
∵

OE＝
1
2(

OF+

OP)
∴E为FP的中点
∴OE为△PFF'的中位线，
∵O为FF'的中点
∴OE∥PF'
∵|OE|=a
∴|PF'|=2a
∵PF切圆O于E
∴OE⊥PF
∴PF'⊥PF，
∵|FF'|=2c
∴|PF|=2b
设P（x，y），则x+c=2a，∴x=2a-c
过点F作x轴的垂线，则点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²
∴4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
∴e²-e-1=0
∵e＞1
∴e=

5+1
2．
故选B．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．

∵点F（-3，0）（c＞0）是双曲线x2a2−y2b2＝1的左焦点，∴设双曲线方程为x2a2−y23−a2＝1，∴双曲线的渐近线方程为y=±3−a2ax，∴过F且平行于双曲线渐近线的直线方程为y=±3−a2a（x+3），∵过F且平行于双曲线渐...

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

∵y²=4x的准线l：x=-1，
∵抛物线y²=4x的准线与双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|＝2
3，
∴A（-1，
3 ），B（-1，-
3 ），
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得[b/a]=
3，
∴b²=3a²，
∴3a²=c²-a²，
即4a²=c²，
∴e=[c/a]=2．
则双曲线的离心率e为2．
故答案为：2．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的性质和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．

在双曲线的标准方程双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1，把等号右边的1换成0，
即得双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1的渐近线方程y=±[b/a]x，
故答案为y=±[b/a]x．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程．

（1）∵焦点F₂（c，0）到渐近线bx±ay=0的距离为
3，两条准线之间的距离为1，
∴

d＝
bc

a2+b2＝b＝
3

2a2
c＝1⇒

a＝1
b＝
3
c＝2.
∴双曲线的方程为x²-
y2
3=1．
（2）由题意设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
由

y＝x+2
x2−
y2
3＝1⇒2x2-4x-7=0
∴|AB|=
1+k2•|x1−x2|＝
1+1×

72
2=6．
（3）由双曲线和平行四边形ABCD的对称性，可知A与C、B与D关于原点对称．
而
1
2(

OA•

OD)tan＜

OA，

OD＞＝
1
2(|

OA|•|

OD|cos＜

OA，

OD＞)tan＜

OA，

OD＞
=
1
2|

OA|•|

OD|sin＜

OA，

OD＞＝S△AOD＝S△AOB＝
1
2|AB|×d．
∵点O到直线y=x+2的距离d=
2

2＝
2，
∴S_△AOB=
1
2|AB|×d＝3
2．
∴
1
2(

OA•

OD)tan＜

OA，

OD＞＝3
2．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．

抛物线y²=8x 的焦点F（2，0），准线为 x=-2，∴c=2．设P（m，n），
由抛物线的定义得|PF|=5=m+2，∴m=3．由双曲线的定义得 [5
m−
a2/c]=[c/a]，
∴[5
3−
a2/2]=[2/a]，∴a=1，∴b=
3，∴两条渐近线方程为
3x±y＝0，
故答案为
3x±y＝0．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；抛物线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质的应用，求出a 值是解题的关键．

设PF₁与圆相切于点M，过F₂做F₂H垂直于PF₁于H，则H为PF₁的中点，
∵|

PF2|=|

F1F2|，
∴△PF₁F₂为等腰三角形，
∴|

F1M| ＝
1
4|

PF1|，
∵直角三角形F₁MO中，
|

F1M|2＝c2−a2，
∴|

F1M|=b=
1
4|

PF1|，
∴2a=4b-2c
∵c²=a²+b²，
∴3c=5a，
∴e=[5/3]．
故选C．

点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要熟练掌握双曲线的性质和应用．

在Rt△PF₂F₁中，设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，∵∠PF₁F₂=30°
∴

d1＝2d2
d1−d2＝2a∴d₂=2a
∵|F₂F₁|=2c
∴tan30°=[2a/2c]
∴[a/c]=

3
3，即
a2
a2+b2＝
1
3
∴(
b
a)2＝2
∴[b/a]=
2
∴双曲线的渐近线方程为y＝±
2x

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查了双曲线的定义及其几何性质，求双曲线渐近线方程的思路和方法，恰当利用几何条件是解决本题的关键

∵椭圆
x2
25+
y2
9＝1的焦点为（4，0）（-4，0），故双曲线中的c=4，且满足 [c/a]=2，故a=2，
b=
c2−a2＝2
3，所以双曲线的渐近线方程为y=±[b/ax=±
3]x
故答案为：y=±
3x

点评：
本题考点： 圆锥曲线的共同特征；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．

（1）∵
b
a＝

3
3，（2分）
原点到直线AB：[x/a−
y
b＝1的距离，d＝
ab

a2+b2＝
ab
c＝

3
2]．（4分）
∴b＝1，a＝
3．故所求双曲线方程为
x2
3−y2＝1．（6分）
（2）把y=x+m代入x²-3y²=3中消去y，整理得 2x²+6mx+3m²+3=0．（8分）
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x1+x2＝−3m， x1x2＝
3m2+3
2，F（-2，0），
因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以

FC•

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查双曲线的标准方程求解，考查直线与双曲线的位置关系，应注意判别式的验证．

∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，
∴设双曲线的方程为
x2
a2−
y2
b2＝1，（a＞0，b＞0）
由此可得双曲线的渐近线方程为y=±[b/a]x，结合题意一条渐近线方程为y=[4/3]x，
得 [b/a]=[4/3]，设b=4t，a=3t，则c=
a2+b2=5t（t＞0）
∴该双曲线的离心率是e=[c/a]=[5/3]．
故选A．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．

设过一、三象限的渐近线倾斜角为α⇒sinα＝

2
2⇒α＝45°⇒k＝1
所以y＝±
b
ax＝±x⇒a=b，
因此c＝
2a，e＝
c
a＝
2，
故选A．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查双曲线的基本性质c2=a2+b2和渐近线方程以及离心率的概念．

双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1的实轴长为2，焦距为4，
所以2a=2，2c=4，所以a=1，c=2，b=
c2−a2=
3，
故有[b/a]=
3．
所以双曲线的渐近线方程为：y=±
3x．
故选C．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题是基础题，考查双曲线的基本性质，双曲线的渐近线的求法，考查计算能力．

由于PQ过F2，所以P，Q，F₂的横坐标都是c，且由双曲线的对称性可知，P和Q关于F点对称的，也就是P和Q的纵坐标是相反数，
那么设P（c，y₀），Q（c，-y₀），而F₁（-c，0）
那么

F1P=（2c，y₀），

F1Q=（2c，-y₀）
∵∠PF₁Q=90°，∴

F1P•

F1Q=0，
即（2c，y₀）•（2c，-y₀）=0
∴4c²-y₀²=0，
由于P在双曲线上，所以P满足
c2
a2−
y02
b2＝1，
又因为
c2
a2=e²，
把上式变形，得y₀²=b²（e²-1）
代入4c²-y₀²=0，有4c²-b²（e²-1）=0
即4c²-（c²-a²）（e²-1）=0
同时除以a²，有4e²-（e²-1）（e²-1）=0
整理上式，有e⁴-6e²+1=0
解得e²=3±2
2，∵e＞1
∴e²═3+2
2=（1+
2）²
∴e=1+
2
故选B．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；双曲线的定义．

考点点评： 此题是个中档题，考查向量数量积的坐标运算和双曲线的定义，体现了数学结合的思想方法，求双曲线的离心率即寻求关于a，c的一个齐次式，解此方程即可求得结果，体现方程的方法．

因为抛物线y²=8x的准线方程为x=-2，
则由题意知，点F（-2，0）是双曲线的左焦点，
所以a²+b²=c²=4，
又双曲线的一条渐近线方程是bx-ay=0，
所以点F到双曲线的渐近线的距离d=
2b

a2+b2，
∴
2b

a2+b2=1，∴a²=3b²，
解得a²=3，b²=1，
所以双曲线的方程为
x2
3−y2＝1．
故选B．

点评：
本题考点： 圆锥曲线的共同特征．

考点点评： 本题考查圆锥曲线的共同特征，主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a的值，是解题的关键．

∵点P在双曲线的右支上，且||PF₁|=4|PF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，∴|PF₂|=[2a/3]，|PF1|＝
8a
3．
则[8a/3+
2a
3≥2c，∴e≤
5
3]．
故此双曲线离心率的最大值为[5/3]．
故答案为[5/3]．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 熟练掌握双曲线的定义、三角形的三边关系、离心率计算公式即可得出．

设双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1的右顶点为A，其坐标是（a，0），由焦点为C，坐标为（
a2+b2，0）；
设双曲线
y2
b2−
x2
a2＝1上顶点为B，坐标为（0，b），上焦点为D，坐标为（0，
a2+b2）．O为坐标原点．
则S₁=4S_△OAB=2ab，S₂=4S_△OCD=2（a²+b²），
所以
S1
S2＝
ab
a2+b2≤[ab/2ab]=[1/2]．
故选C．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的简单几何性质和使用基本不等式求最值，考查计算能力．

依题意可知双曲线右支上一点P到右焦点的距离的最小时，P在右顶点上，即c-a=2①
∵焦点到渐近线的距离为2
3，
即
bc

a2+b2=b=2
3，②
①②联立求得a=2，c=4
∴e=[c/a]=2
故选C．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合的思想，解析几何知识的综合运用．

设P（x₀，y₀），则过P与实轴平行的直线为y=y₀，与 双曲线的两条渐近线方程 y=±[b/ax分别联立，解得M（
a
b]y₀，y₀），N（-[a/b]y₀，y₀）∴

PM•

PN=（[a/by0−x0，0）•（-
a
by0−x0，0）=x₀²-
a2
b2y02=a²（
x2
a2−
y2
b2]）=a²．
故答案为：a²

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本体考查双曲线的简单几何性质中的实轴，渐近线．同时考查了向量的数量积这一重要概念．

在Rt△PF₂F₁中，设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，∵∠PF₁F₂=30°
∴

d1＝2d2
d1−d2＝2a∴d₂=2a
∵|F₂F₁|=2c
∴tan30°=[2a/2c]
∴[a/c]=

3
3，即
a2
a2+b2＝
1
3
∴(
b
a)2＝2
∴[b/a]=
2
∴双曲线的渐近线方程为y＝±
2x

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查了双曲线的定义及其几何性质，求双曲线渐近线方程的思路和方法，恰当利用几何条件是解决本题的关键

设PF₁与圆相切于点M，过F₂做F₂H垂直于PF₁于H，则H为PF₁的中点，
∵|

PF2|=|

F1F2|，
∴△PF₁F₂为等腰三角形，
∴|

F1M| =
1
4|

PF1|，
∵直角三角形F₁MO中，
|

F1M|2=c2-a2，
∴|

F1M|=b=
1
4|

PF1|，
∴2a=4b-2c
∵c²=a²+b²，
∴3c=5a，
∴e=[5/3]．
故选C．

点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要熟练掌握双曲线的性质和应用．

如图所示，若P在双曲线坐支，则|O1O2|＝
1
2|PF2|＝
1
2(|PF1|+2a)＝
1
2|PF1|+a＝r1+r2，
即圆心距为半径之和，两圆外切；
若P在双曲线右支，则|O₁O₂|=r₁-r₂，两圆内切，
所以两圆相切；
故选B．

点评：
本题考点： 圆与圆的位置关系及其判定；双曲线的应用．

考点点评： 本题考查圆与圆的位置关系及其判定，双曲线的应用，考查数形结合思想方法，是基础题．

根据题意可得：双曲线的焦点在x轴，
由渐近线方程可得
b
a＝

3
3，可得e＝
c
a＝

a2+b2
a2＝
1+
b2
a2＝
2
3
3，
故选C．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查双曲线的渐近线方程和离心率公式，涉及a，b，c间的关系，比较简单

∵|OF|=c，|OE|=a，∴|EF|=b，
∵

OE＝
1
2(

OF+

OP)，∴|PF|=2b，|PF'|=2a，
∵|PF|-|PF'|=2a，∴b=2a，∴e＝
1+
b2
a2＝
5．
故选A．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；中点坐标公式．

考点点评： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

由题意可得：双曲线的方程为
x2
a2−
y2
b2＝1，
所以双曲线的渐近线方程为y=±
b
ax．

因为若∠ACB=120°，
所以根据图象的特征可得：∠AFO=30°，
所以c=2a，
又因为b²=c²-a²，
所以
b
a＝
3，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±
3x．
故选A．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握双曲线与圆的位置关系，结合有关条件得到a、b与c的关系，进而得到答案．

∵双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1的渐近线方程为：
y=±[b/ax，即bx±ay=0，
圆x²+（y-2）²=1的圆心（0，2），半径为r=1，
∴由双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1的渐近线与圆x²+（y-2）²=1相切，
得
|b×0±a×2|

a2+b2]=1，
∴c=2a，
∴e=[c/a]=2．
故选C．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．

（Ⅰ）由条件知A（a，0），B（0，b）F（c，0）．


AB•

AF＝(−a，b)•(c−a，0)＝a(a−c)＝−1．①
cosBAF＝


AB•

AF
|

AB|•|

AF|＝
a(a−c)
c(c−a)＝−
a
c＝cos120°＝−
1
2．∴c=2a．②
解①，②得a=1，c=2．则b²=c²-a²=3．
故双曲线C的方程为x2−
y2
3＝1．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，
设l的方程为：y＝kx+4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则Q(−
4
k，0)．
∴

PQ＝λ1

点评：
本题考点： 双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合运用所学知识的能力．

双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1的离心率为

a2+b2
a
椭圆
x2
m2+
y2
b2＝1的离心率为

m2−b2
m
∵双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1与椭圆
x2
m2+
y2
b2＝1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数
∴

a2+b2
a×

m2−b2
m=1
∴a²m²=（a²+b²）（m²-b²）
∴a²+b²=m²
故选A

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考察了双曲线的标准方程，椭圆的标准方程，及双曲线与椭圆的几何性质离心率的求法，辨别双曲线与椭圆的焦点位置是解决本题的关键

在Rt△PF₂F₁中，设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，∵∠PF₁F₂=30°
∴

d1＝2d2
d1−d2＝2a∴d₂=2a
∵|F₂F₁|=2c
∴tan30°=[2a/2c]
∴[a/c]=

3
3，即
a2
a2+b2＝
1
3
∴(
b
a)2＝2
∴[b/a]=
2
∴双曲线的渐近线方程为y＝±
2x

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查了双曲线的定义及其几何性质，求双曲线渐近线方程的思路和方法，恰当利用几何条件是解决本题的关键

∵点P在双曲线的右支上，且||PF₁|=4|PF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，∴|PF₂|=[2a/3]，|PF1|＝
8a
3．
则[8a/3+
2a
3≥2c，∴e≤
5
3]．
故此双曲线离心率的最大值为[5/3]．
故答案为[5/3]．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 熟练掌握双曲线的定义、三角形的三边关系、离心率计算公式即可得出．

∵点P在双曲线的右支上，且||PF₁|=4|PF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，∴|PF₂|=[2a/3]，|PF1|＝
8a
3．
则[8a/3+
2a
3≥2c，∴e≤
5
3]．
故此双曲线离心率的最大值为[5/3]．
故答案为[5/3]．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 熟练掌握双曲线的定义、三角形的三边关系、离心率计算公式即可得出．

设双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1的右顶点为A，其坐标是（a，0），由焦点为C，坐标为（
a2+b2，0）；
设双曲线
y2
b2−
x2
a2＝1上顶点为B，坐标为（0，b），上焦点为D，坐标为（0，
a2+b2）．O为坐标原点．
则S₁=4S_△OAB=2ab，S₂=4S_△OCD=2（a²+b²），
所以
S1
S2＝
ab
a2+b2≤[ab/2ab]=[1/2]．
故选C．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的简单几何性质和使用基本不等式求最值，考查计算能力．

双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1的一条渐近线方程为y＝
b
ax，代入抛物线y=2x²+1
消元可得：2ax²-bx+a=0
∵双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1的一条渐近线与抛物线y=2x²+1只有一个公共点，
∴△=b²-4a²=0
∴c²-a²-4a²=0
∴e＝
5
故答案为：
5

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．

∵该双曲线的两条渐近线方程为y=±[b/a]x，其右准线l的方程为：x=
a2
c，
∴右准线l被它的两条渐近线所截得线段的长度d₁=2×[b/a]×
a2
c=[2ab/c]；
又焦点F（c，0）到渐近线y=[b/a]x的距离d₂=
bc

a2+b2=[bc/c]=b，
d₁=d₂，
∴[2ab/c]=b，
∴c=2a．
∴e=2．
故答案为：2．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线间的距离公式，考查分析与解方程的能力，属于中档题．

∵该双曲线的两条渐近线方程为y=±[b/a]x，其右准线l的方程为：x=
a2
c，
∴右准线l被它的两条渐近线所截得线段的长度d₁=2×[b/a]×
a2
c=[2ab/c]；
又焦点F（c，0）到渐近线y=[b/a]x的距离d₂=
bc

a2+b2=[bc/c]=b，
d₁=d₂，
∴[2ab/c]=b，
∴c=2a．
∴e=2．
故答案为：2．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线间的距离公式，考查分析与解方程的能力，属于中档题．