“无字证明”(proofs without words)就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现。请利用

保护自己2022-10-04 11:39:541条回答

“无字证明”(proofs without words)就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现。请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式

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eetoo 共回答了19个问题 | 采纳率73.7%




在左边的图中大矩形的面积

用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积 S 1
空白部分的面积等于4个直角三角形的面积,即

故阴影部分的面积
而在右边的图中阴影部分的面积 S 2 等于2个阴影小矩形的面积之和,即
在右边的图中大矩形的面积也等于S,S 2 等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积,
而2个空白矩形的面积之和,即
故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积.
故左右图中阴影部分的面积也相等,即 S 1 =S 2 ,故有

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1
2
ab+(a−b)2
由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2.图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图②推导勾股定理.

(2)试用勾股定理解决以下问题:
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4,则斜边上的高为
[12/5]
[12/5]

(3)试构造一个图形,使它的面积能够解释(a-2b)2=a2-4ab+4b2,画在下面的网格中,并标出字母a、b所表示的线段.
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解题思路:(1)梯形的面积可以由梯形的面积公式求出,也利用三个直角三角形面积求出,两次求出的面积相等列出关系式,化简即可得证;
(2)由两直角边,利用勾股定理求出斜边长,再利用面积法即可求出斜边上的高;
(3)已知图形面积的表达式,即可根据表达式得出图形的边长的表达式,即可画出图形.

(1)梯形ABCD的面积为[1/2](a+b)(a+b)=[1/2]a2+ab+[1/2]b2
也利用表示为[1/2]ab+[1/2]c2+[1/2]ab,
∴[1/2]a2+ab+[1/2]b2=[1/2]ab+[1/2]c2+[1/2]ab,即a2+b2=c2

(2)∵直角三角形的两直角边分别为3,4,
∴斜边为5,
∵设斜边上的高为h,直角三角形的面积为[1/2]×3×4=[1/2]×5×h,
∴h=[12/5];

(3)∵图形面积为:(a-2b)2=a2-4ab+4b2
∴边长为a-2b,
由此可画出的图形为:

故答案为:(2)[12/5].

点评:
本题考点: 勾股定理的证明;完全平方公式的几何背景;勾股定理.

考点点评: 此题考查了勾股定理的证明,勾股定理,多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型,此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法,从而转化成方程达到证明的结果.

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没图没法说.PWW可能是想证明和角公式
Sin(a+b)=Sina Cosb+Cosa Sinb.
这里有一个类似的PWW证明,可供参考.
http://wenku.baidu.com/view/b5aa37ff941ea76e58fa045f.html
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解题思路:左右图中大矩形的面积相等,左边的图中阴影部分的面积为 S1=sin(α+β),在右边的图中,阴影部分的面积 S2 等于2个阴影小矩形的面积之和,等于sinαcosβ+cosαsinβ.而面积 S2 还等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积,再由2个图中空白部分的面积相等,可得S1 =S2 ,从而得出结论.

在左边的图中大矩形的面积S=(cosβ+cosα)(sinβ+sinα)
=sinβcosβ+cosβsinα++sinβcosα+sinαcosα=sin(α+β)+sinβcosβ+sinαcosα.
用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积 S1
空白部分的面积等于4个直角三角形的面积,即2×([1/2]sinβcosβ+[1/2]sinαcosα)=sinβcosβ+sinαcosα.
故阴影部分的面积 S1 =S-sinβcosβ-sinαcosα=sin(α+β).
而在右边的图中阴影部分的面积 S2 等于2个阴影小矩形的面积之和,即S2=sinαcosβ+cosαsinβ.
在右边的图中大矩形的面积也等于S,S2等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积,
而2个空白矩形的面积之和,即sinβcosβ+sinαcosα,
故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积.
故左右图中阴影部分的面积也相等,即 S1 =S2 ,故有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
故答案为 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

点评:
本题考点: 进行简单的合情推理.

考点点评: 本题主要考查三角函数的恒等式的证明,体现了转化的数学思想,属于中档题.

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