对角化的A=PBP^-1 那个 p和它的逆 位置能互换吗

对称矩阵对角化时是否可以不用将特征向量正交单位化?

XA6091年前2

心惊胆战的小可怜 共回答了16个问题 | 采纳率75%

若求可逆矩阵P,使P^-1AP 为对角矩阵,就不用正交单位化
若求正交矩阵,则
对于单根特征值,只需单位化
对于重根特征值,先正交化,再单位化

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大一线性代数 对称矩阵的对角化 1,制作 “2阶对称矩阵的对角化”的“作品” 2,制作 “3阶对称矩阵的对角化”的“作品

大一线性代数 对称矩阵的对角化
1,制作 “2阶对称矩阵的对角化”的“作品”
2,制作 “3阶对称矩阵的对角化”的“作品”

imoy1年前3

a-wing1981 共回答了14个问题 | 采纳率92.9%

1.
A=[1 2]
[-1 4]
|A-λE| = λ^2 - 5λ + 6=(λ - 2)(λ - 3).
所以A的特征值为λ1=2,λ2=3.
(A-2E)X=0的基础解系为:(2,1)'
(A-3E)X=0的基础解系为:(1,1)'
令P = 则 P^-1 =
2 1 1 -1
1 1 -1 2
满足 P^-1AP = diag(2,3)
2.
设A= 1 1 -1
-2 4 -2
-2 2 0
|A-λE| =
1-λ 1 -1
-2 4-λ -2
-2 2 -λ
= (λ - 1)(λ - 2)^2
(A-E)X=0 的基础解系为:(1,2,2)'
(A-2E)X=0 的基础解系为:(1,1,0)',(1,0,-1)'
令P =
1 1 1
2 1 0
2 0 -1
则 P^-1AP = diag(1,2,2)

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施密特正交化与特征向量的问题在明确“实对称矩阵”可以相似对角化后,我们求得的特征值所对应的“特征向量”拼起来矩阵P已经满

施密特正交化与特征向量的问题
在明确“实对称矩阵”可以相似对角化后,我们求得的特征值所对应的“特征向量”拼起来矩阵P已经满足将A与对角矩阵相似了,此时是要找到一个正交矩阵T,为此把P人为进行施密特正交化,构造出正交矩阵,那么此时的P是被改变了吗?还能保证改造出来的矩阵T仍可以让A与原来的那个对角阵相似吗?

wqhzxp1年前1

liutye 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

P被改变了!
P原来是可逆矩阵, 被改变成正交矩阵Q.
首先, 正交化是在属于同一个特征值的线性无关的特征向量之间进行的
由正交化过程知道, 向量组正交化后得到的向量组与之前的向量组等价
而属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是此特征值的特征向量
故正交化后仍是属于同一个特征值的特征向量.
其次. 特征向量单位化后仍是属于同一个特征值的特征向量.
注意上面的措词, 正交化单位化后仍是属于同一个特征值的特征向量
所以 仍然有 Q^-1AQ = P^-1AP 即原对角矩阵.

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老师,线性代数的问题,行列式A^2=KA,（K不等于0）,R(A)=1,A的迹不等于0,证A可以对角化 老师,如果这题告

老师,线性代数的问题,行列式A^2=KA,（K不等于0）,R(A)=1,A的迹不等于0,证A可以对角化 老师,如果这题告诉说A的迹等于K,那可以求,如果像题中没说A的迹等于多少,那该怎么求呢

年年如此1年前1

我只发挥了百分20 共回答了23个问题 | 采纳率91.3%

因为 A^2=KA
则A的特征值λ满足 λ^2=Kλ
所以 λ=0 或 K(≠0)
即A的特征值只能是0,K
-- 注意K一定是A的特征值, A的非零列向量都是属于K的特征向量
由于 R(A)=1, 所以属于特征值0的线性无关的特征向量有 n-1 个
故 A 有n个线性无关的特征向量(加上属于K的一个)
所以A可对角化

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关于相似对角化一直不能体会P逆AP =Λ,这个式子更深层的含义,还有,为什么P 就一定是A 的特征向量了?这个式子还能推

关于相似对角化
一直不能体会P逆AP =Λ,这个式子更深层的含义,还有,为什么P 就一定是A 的特征向量了?这个式子还能推出别的东西吗?

gougoujiao1年前1

axhes 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

P逆AP =Λ,因为对角矩阵Λ的对角线上元素为矩阵A的特征值.左乘P有AP=PΛ,
A(P1,P2,...,Pn)=Λ(P1,P2,...,Pn)=(λ1P1,λ2P2,.,λnPn)
所以P的每个列向量为A的特征向量.
可相似对角化的几个冲要条件要找到并学会证明.
加油哦

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关于矩阵可相似对角化的矩阵A可相似对角化的充分条件是：A有n个不同的特征值.可是同一特征值对应的特征向量有可能线性无关,

关于矩阵可相似对角化的
矩阵A可相似对角化的充分条件是：A有n个不同的特征值.可是同一特征值对应的特征向量有可能线性无关,即n个不同的特征值就有可能对应有大于n个的 线性无关的特征向量, 书上说A与对角矩阵相似的充要条件是：A有n个线性无关的特征向量. 这与上面分析的“A有大于n个线性无关的特征向量”相矛盾,究竟这是怎么回事呢?

紫衣若梦1年前2

zcviolet 共回答了12个问题 | 采纳率91.7%

要注意到一个特征值的线性无关特征向量的个数

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向量能否相似对角化的问题能不能转化为：n重特征值λ,重数n与(λE-A)x＝0的基础解系中向量个数的关系的问题呢?如果能

向量能否相似对角化的问题能不能转化为：n重特征值λ,重数n与(λE-A)x＝0的基础解系中向量个数的关系的问题呢?如果能他们的关系是怎样的啊?比如n重特征值对应一个含有n个向量的基础解系.

天空68431年前1

吕长龙 共回答了20个问题 | 采纳率100%

可以
n阶方阵A可对角化
A 有n个线性无关的特征向量
k重特征值有k个线性无关的特征向量
k重特征值λ 对应的齐次线性方程组 (λE-A)X=0 的基础解系含 k 个向量
对k重特征值λ 有 n-r(λE-A) = k

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设A等于460负3负50负3负61,A能否对角化,若能对角化,求出其可逆矩阵P,使得P负1AP对角阵

zheng2yu1年前1

爱笑的叶子117 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

怎么又问一次,上次的回答不行?我负责到底
先求出A的特征值:-2,1,1
再求特征值对应的特征向量,得
P = [-1 -2 0; 1 1 0; 1 0 1]
P^(-1)AP = diag{ -2,1,1}
P的逆= [1 2 0; -1 -1 0;-1 -2 1]

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已知A=(1 2 0…,问a取何值时A能对角化?

aqgsb1年前1

凌月风情 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%

a=-1
1 2 0
2 1 0
-2 -1 3
r3+r2 =>
1 2 0
2 1 0
0 0 3
r2+(-2)r1
1 2 0
0 -3 0
0 0 3
r1+(2/3)r2
1 0 0
0 -3 0
0 0 3

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矩阵的相似问题对一个矩阵A进行行列变换得到B,那么对一个同阶的E进行相同的行列变换会得到什么?如何判断两个不可对角化的矩

矩阵的相似问题
对一个矩阵A进行行列变换得到B,那么对一个同阶的E进行相同的行列变换会得到什么?如何判断两个不可对角化的矩阵是否相似?

柰宥柠檬1年前1

viki008 共回答了26个问题 | 采纳率88.5%

对同阶的单位阵进行相同变换会得到A的逆
任意方阵都可经过相似变换化为Jordan标准型,比较两方阵是否相似只要看其Jordan标准型是否一样,特别地,当两方阵均可对角化时,它们的Jordan标准型为对角阵.

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在矩阵不能对角化的条件下,k重特征值能不能有k 1个特征向量?

在矩阵不能对角化的条件下,k重特征值能不能有k 1个特征向量?
如题
我是问在矩阵不能对角化的条件下，k重特征值能不能有k＋1个特征向量？

xhyb1年前4

12sally 共回答了22个问题 | 采纳率86.4%

首先,如二楼所说,你的意思因该是“k重特征值能不能有k＋1个线性无关的特征向量”,注意叙述,否则如果a是特征向量的话,2a,3a,4a.都是特征向量,就变成无数个了.
其次回答你的问题：不能!
设矩阵A为n阶矩阵,A不能对角化,说明A的Jondan标准型中,至少有一个二阶以上的Jondan块,不妨假设特征值x1是一个二重特征根,对应有一个二阶Jondan块,其余特征值为x2,x3,.
设A的Jondan标准型为：
J=
x1 1 0 0 0 ...0
0 x1 0 0 0 ...0
0 0 x2 0 0 ...0
0 0 0 x3 0 ...0
...
0 0 0 0 0 ...xn-1
于是A=P^(-1)JP,其中P为可逆阵
考察矩阵(A-x1I)
A-x1I
=P^(-1)JP-x1I
=P^(-1)[J-x1I]P
所以rank(A-x1I)=rank(J-x1I)
J-x1I=
0 1 0 0 0 ...0
0 0 0 0 0 ...0
0 0 x2-x1 0 0 ...0
0 0 0 x3-x1 0 ...0
...
0 0 0 0 0 ...xn-1 - x1
rank(J-x1I)=n-1=rank(A-x1I)
对应于特征值x1的特征向量就是方程(A-xI)=0的解,系数矩阵秩为n-1,方程个数为n,所以基础解系只有一个解向量.
这个例子里,二重特征根只有一个线性无关的特征向量.
可以看到,k重特征根的线性无关的特征向量数,就是取决于Jondan标准型的状态.例如：一个5重特征根.
如果对应于一个5阶Jondan块,那么线性无关的特征向量有1个.
如果对应于一个2阶Jondan块和一个3阶Jondan块,那么线性无关的特征向量有2个.
...
如果对应于5个1阶Jondan块,那么线性无关的特征向量有5个.其实这时就是可对角化了,因为没有2阶以上Jondan块.

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证明：如果矩阵A可对角化,则A~A'（A相似于A的转置）

菠萝和杨桃1年前1

期期颜颜 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

设A可对角化为B,这意味着存在相似变换矩阵S使得B=S[-1]AS
所以S'A'S'[-1]=B'=B=S[-1]AS
于是A'=S'[-1]S[-1]ASS'=(SS')[-1]ASS'
即存在相似变换矩阵SS'使得A~A'

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线性代数中,矩阵满足什么条件可以相似对角化?

uibewb1年前2

黑_瞳 共回答了25个问题 | 采纳率88%

相似矩阵，对称矩阵的对角化。P121和P124》P121的定理4

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矩阵AB=BA A,B对角化,怎么证明A B也对角化

灵泉子1年前1

区间红领 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

把A和B同时对角化就行了（存在可逆阵P使得P^{-1}AP和P^{-1}BP都是对角阵）

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线性代数中特征值.特征向量.对角化.相似矩阵.二次型哪些是重点

平凡的双水村1年前1

visiter2006 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%

特征值、特征向量是基础,可对角化、相似、二次型是重点.

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问一个相似矩阵对角化概念上的问题~

问一个相似矩阵对角化概念上的问题~
实对称矩阵也是普通矩阵的一种,为什么对角化的时候求出特征向量之后还要正交化单位化?

wqd0011年前1

woshipanbing 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

实对称矩阵一定可以对角化,即一定存在可逆矩阵p,使P^(-1)AP=∧,且所求的可逆矩阵P也没必要正交化,单位化（这是求正交矩阵的方法）,除非题目要求求正交矩阵Q,对角化A则需要再正交化,单位化,所以做题的时候一定要看清问题,否则就画蛇添足了,
另外补充一点,一般情况下题目要求都是求正交矩阵Q来对实对称阵对角化的,这样目的是想解决实际问题——二次型.因为如果用正交矩阵Q来对实对称阵对角化实对称矩阵A,这样相似和合同等价（因为Q^(-1)=Q^T）,即Q^(-1)AQ=Q^TAQ=∧,这样所求的Q也是我们化解二次型为标准型的变化矩阵,即通过线性变换为x=Qy ,可使二次型f(x)=x^TAx 变为标准性f(y)=(Qy)^TA(Qy)=y^T(Q^TAQ)y=y^T∧y

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高等代数 线性变换A^2=E,证明A可对角化

好贴不能沉1年前3

刘宇 共回答了22个问题 | 采纳率90.9%

只需证明A的特征向量中能够选出n为向量空间的一组基：（不妨设A是n行n列的）
首先设λ是A的特征值,那么λ^2是A^2的特征值,
∴(A^2)ξ=λ^2*ξ=Eξ=ξ
∴λ^2=1
∴λ=±1
∴A只有特征根±1
先找到1所对应的一组线性无关向量特征向量：
就是满足：Aξ=ξ的一组线性无关向量
也就是(A-E)ξ=0
很显然解空间的维数是：n1=n-rank(A-E)
∴可以从中选出n1个线性无关的特征向量.
在考虑以-1为特征根的特征向量：
也就是Aξ=-ξ
∴(A+E)ξ=0
显然解空间的维数是：n2=n-rank(A+E)
∴可以从中选出n2个线性无关的向量.
现在n1+n2=2n-rank(A+E)-rank(A-E)
现在只需要证明：rank(A+E)+rank(A-E)=n
这一步的证明并不难：先证明rank(A+E)+rank(A-E)≥n
这是因为A^2=E∴detA=±1∴A可逆∴rankA=n
而又∵rankA+rankB≥rank(A|B)≥rank(A+B)
∴rank(A+E)+rank(A-E)≥rank2A=rankA=n
再证明rank(A+E)+rank(A-E)≤n
∵(A+E)(A-E)=A^2-E^2=0
∴A-E的列空间是(A+E)X=0的解空间的子空间
又∵A+E的解空间的维数是n-rank(A+E)
∴rank(A-E)≤n-rank(A+E)
∴rank(A-E)+rank(A+E)≤n
综上所述：rank(A+E)+rank(A-E)=n
∴n1+n2=n
∴n维线性空间有一组A的特征向量组成的基.
∴A可对角化
显然去上面的满足Aξ=ξ的n1个线性无关向量,取Aξ=-ξ的n2个线性无关向量
加起来总共n个,将他们以列向量的形式排成一个n阶方阵T,
∵其列秩为n
∴可逆
∴T^(-1)AT=diag(1,1,…,-1,-1)

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什么叫哈密顿量的对角化它在物理或数学上有什么应用?

521991年前1

小心我来了 共回答了23个问题 | 采纳率78.3%

哈密顿量是系统的能量算符,所谓哈密顿量的对角化就是解一个本征值问题(在线性代数中就是特征值和特征向量).你对角化哈密顿量的过程就是一个找能量本征值的过程（找到这个系统可能存在的能量）.或者是一个去耦合的过程（比如说两个弹簧振子振动时存在耦合,可以写成一个哈密顿量的形势,对角化后,找到了弹簧真子的简振模,就去耦合了）
赫赫,不知道我说得你能不能明白,可能你没有学过量子力学不太懂.但是这个对角化非常有用.他的物理含义概括来说,就是找到一个能量系统中的可能能量（一般来说这些能量都是分立的,这就是量子力学的精髓之一）

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有两种情况可对角化 (1)特征值互不相等时 (2)矩阵是对称阵

有两种情况可对角化 (1)特征值互不相等时 (2)矩阵是对称阵
如果某矩阵的特征值中有两个特特征值相等则该矩阵为对角矩阵
上面的打错了
有两种情况可对角化 (1)特征值互不相等时 (2)矩阵是对称阵
如果某可对角化的矩阵矩阵的特征值中有两个特特征值相等则该矩阵为对角矩阵

2609420721年前1

落雪英子 共回答了14个问题 | 采纳率92.9%

(1)是对的,(2)也对,但要注意有个前提是实数矩阵.
后面那句没读懂…(1)中说了特征值互不相等的时候可以对角化~有两个特征值相等怎么就是对角阵了?显然不一定啊!

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线性代数问题,矩阵a要能够相似对角化,并且特征值有重根,为什么要有二重根的那个特征值对应有两个线性无关的特征向量呢?这与

线性代数问题,矩阵a要能够相似对角化,并且特征值有重根,为什么要有二重根的那个特征值对应有两个线性无关的特征向量呢?这与此时矩阵λe-a的秩有什么关系呢?

kk7900561年前1

jshnwdtd 共回答了13个问题 | 采纳率92.3%

因为构成特征矩阵的向量应为线性无关向量.
一个矩阵A的特征多项式的根的代数重数恒大于等于他的几何重数.矩阵A相似于对角形矩阵的充要条件是A的特征多项式的根的代数重数等于他的几何重数.

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线性代数：矩阵a要能够相似对角化,并且特征值有重根,为什么要有二重根的那个特征值对应有两个线性无关的特征向量呢?这与此时

线性代数：矩阵a要能够相似对角化,并且特征值有重根,为什么要有二重根的那个特征值对应有两个线性无关的特征向量呢?这与此时矩阵λe-a的秩有什么关系呢?
刘老师是这个题,帮我看一下,

hello1781年前1

cdyr999 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%

定理：A可对角化的充要条件是k重特征值有k个线性无关的特征向量
属于特征值a的线性无关的特征向量的个数为 n-r（A-aE）

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当矩阵A能对角化,B不能对角化时,为什么A、B一定不相似?为什么此时A与B不能都相似于一个非对角矩阵C,从而相似?

jieling00061年前1

bug1978 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

若A相似于B 则存在可逆矩阵P 使A=P逆BP又A可相似对角矩阵 即存在可逆矩阵C 使C逆AC=对角则C逆P逆BPC=对角 另PC=Q 则存在可逆矩阵Q 使Q逆BQ为对角矩阵即B与对角矩阵相似 与题设矛盾 另请下次问问题去答疑区,免得没有看到 查看原帖

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谁能描述下：矩阵的联合对角化,矩阵的近似对角化 这两个概念

谁能描述下：矩阵的联合对角化,矩阵的近似对角化 这两个概念
没有矩阵联合对角化的概念吗?

ggi7t1年前1

lovehql200 共回答了29个问题 | 采纳率96.6%

一般是说矩阵的合同对角化,矩阵的相似对角化 .
矩阵A的合同对角化是指存在可逆矩阵C,使得CTAC=diag
矩阵A的相似对角化是指存在可逆矩阵C,使得C^(-1)AC=diag

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矩阵对角化的问题1.若n阶方阵A,有r(A)=1,且trA不为0,证A可对角化2.若A和B都是n阶对角阵,证明A和B相似

矩阵对角化的问题
1.若n阶方阵A,有r(A)=1,且trA不为0,证A可对角化
2.若A和B都是n阶对角阵,证明A和B相似当且仅当A与B的主对角元素除排列次序外试完全相同的
第二个题应该充分性和必要性都证明
第一题我自己想出来了,帮我看看对不对.
第一题我自己想出来了,大家看看对不对.
证:|λI-A|=λ^n-trAλ^(n-1)
(因为r(A)=1,据矩阵秩的定义,A的2阶到n阶子式的行列式均为零)
此时有|λI-A|=λ^(n-1)(λ-trA)
A的特征值分别为λ=0,λ=trA≠0
r(0I-A)=r(-A)=r(A)=1
n-r(0I-A)=n-1
又因为n-r(trA*I-A)>=1,此时只能为1,则n-r(0I-A)+n-r(trA*I-A)=n,所以A可对角化
参考:线性代数与解析几何,清华大学出版社,俞正光等编.P316 26T

9extmg1年前4

ninjia1983 共回答了20个问题 | 采纳率90%

两道题都很显然的.
第一题,你进行jordan分块对角化,因为秩为1,马上可以推出分块上所有可能出现的1都为0,所以可对角.
第二题,A,B相似,if and only if A,B有相同特征多项式,if and only if A,B有完全相同特征直,if and only if A,B主对角元素除排列次序外试完全相同的

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线代一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具有n个线性无关的特征向量 而并非所有n阶方阵都能对角化

线代一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具有n个线性无关的特征向量 而并非所有n阶方阵都能对角化
（一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具有n个线性无关的特征向量 而并非所有n阶方阵都能对角化 一个n阶矩阵具备什么条件才能对角化 这是一个较复杂的问题 我们对此不进行一般性的讨论) 这句话什么意思 这句话（一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具有n个线性无关的特征向量 ）和（一个n阶矩阵具备什么条件才能对角化）这句话是不是矛盾?

representative1年前1

jhonson90 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

不矛盾.具有n个线性无关的特征向量是一个推论而非唯一的判定条件.第二句话的意思是说矩阵具有什么条件我们才能推导出它可以对角化是复杂的问题,而第一句话是给出了在线性代数知识背景下的一个判别条件.

1年前查看全部

关于不变子空间的理解?1 不变子空间和特征子空间的关系?2 在矩阵可以准对角化的情况下 不变子空间和特征子空间的关系?3

关于不变子空间的理解?
1 不变子空间和特征子空间的关系?2 在矩阵可以准对角化的情况下 不变子空间和特征子空间的关系?3 在矩阵可以对角化的情况下 不变子空间和特征子空间的关系?

没有搞错1年前1

在线水王 共回答了18个问题 | 采纳率66.7%

关于不变子空间的理解?1 不变子空间和特征子空间的关系?2 在矩阵可以准对角化的情况下 不变子空间和特征子空间的关系?3 在矩阵可以对角化的情况下 不变子空间和特征子空间的关系? 查看原帖>>
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刘老师,在实对称矩阵相似对角化程中,求得A的特征值及其对应的特征向量后,书上说有两种情形

刘老师,在实对称矩阵相似对角化程中,求得A的特征值及其对应的特征向量后,书上说有两种情形
若求可逆矩阵P,P-1AP为对角矩阵.
若求正交矩阵Q,.,将特征向量正交规范化,则Q为正交矩阵,
为什么要分两种情形?

东方的海鸥1年前1

全然的磨练 共回答了15个问题 | 采纳率100%

一般矩阵考虑的是相似对角化,
而实对称矩阵由于属于不同特征值的特征向量彼此正交,
所以实对称矩阵可考虑正交对角化

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为什么实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵?

为什么实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵?
一般矩阵的相似对角化用它的特征向量组成的矩阵就可以了,为什么实对称矩阵的相似对角化这么特殊呢,名称叫做正交矩阵化,求得特征向量矩阵后还要正交化和单位化使之成为正交矩阵呢?

1150763801年前2

如果我在 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

对称矩阵也可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵做对角化,只不过它有特殊的性质（对称）,因此我们就可以考虑特殊的对角化,也就是正交相似对角化.这么做有好处：正交矩阵的逆矩阵很容易求,就是它的转置,不像一般的可逆阵需要半天才能求出来.你想想,如果是一个1000*1000的矩阵求逆,那要多长时间才能做完?但正交矩阵就太容易了,只要转置一下就行了.

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线性代数 紧急!一、总结在利用正交矩阵将一个实对称矩阵（3阶方阵）对角化的过程中所包含的知识点,并就矩阵的特征值都是单根

线性代数 紧急!
一、总结在利用正交矩阵将一个实对称矩阵（3阶方阵）对角化的过程中所包含的知识点,并就矩阵的特征值都是单根和具有重根这两种情况,分别举出实例,并给出相应的解题过程.
1、行列式是《线性代数》课程中的重要工具,其
其应用贯穿课程整个内容,总结它在本课程一些知
识点中的应用（要求至少3种）并举出相应的实例.
2、矩阵的初等变换是《线性代数》课程中的重要
计算工具,通过初等行变换,矩阵可以化为行阶梯
形和行最简形,总结在哪些知识点上应用了初等行
变换（要求至少3种）,同时指明矩阵的等价形式
是行阶梯形还是行最简形,并举出相应的实例.

w90a1年前2

果冻27 共回答了22个问题 | 采纳率90.9%

行列式：1.解齐次线性方程组 2.判断矩阵的奇异和非奇异性 3.求逆矩阵时放在分母上,是求逆矩阵公式的一部分
矩阵：1.判定正定二次型 2.解齐次和非齐次线性方程组 3.化简二次型
其实是很多的,你看书就可以了,书上写的很清楚.基本上就是矩阵和行列式

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求解矩阵的特征值、特征向量,以及矩阵的对角化,在实际应用中有什么作用?

求解矩阵的特征值、特征向量,以及矩阵的对角化,在实际应用中有什么作用?
特征值、特征向量这一章似乎与前面几章的内容有些脱节的感觉

长河落日-圆1年前1

gaoguoh 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

例如P^（-1）AP＝D,A＝PDP^（-1）.A^n＝P（D^n）P^（-1）,
D是对角矩阵n次方可以直接写出.后面的用途多多,慢慢学吧.线性代数本身
就是基础课.而特征方法也是线性代数的的一个基本方法.这个方法在其他学科
也不乏应用.不必急功近利,工具越多越好.

1年前查看全部

实对称矩阵对角化问题设A为3介实对称矩阵,可知存在正交阵P,使得P'-1AP=B,B为其特征值构成的对角矩阵,为什么求出

实对称矩阵对角化问题
设A为3介实对称矩阵,可知存在正交阵P,使得P'-1AP=B,B为其特征值构成的对角矩阵,为什么求出了A的特征向量再施密特正交化最后还要单位话,个人感觉正交化就足够了,为什么还最后还要单位话
就是说由特征向量构成的矩阵不是正交矩阵，必须单位化后才是吧！

blousea1年前1

我是阿辉哥 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%

必须单位化!
因为正交矩阵P是由A的特征向量构成的
而矩阵P是正交矩阵的充分必要条件是它的列(行)向量组是标准正交向量组,即两两正交且长度为1.
所以必须单位化.
不对.单位化后得到的P才是正交矩阵.
PS.用追问方式能使回答者快速收到你的疑问

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矩阵1,1,1,1对角化矩阵( 1 1) 对角化1 1zai xian deng!

sunhaha20081年前2

心兰love_晶 共回答了14个问题 | 采纳率78.6%

设：原矩阵为A
特征值2,0
2对应的特征向量（1,1）T,单位化α1=（√2/2,√2/2)T
0对应的特征向量（1,-1）T,单位化α2=（√2/2,-√2/2)T
于是矩阵C=（α1,α2）
(CT)AC=B
B为对角矩阵,对角线上元素为2,0
T:转置的意思~

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R^2上给定一个线性变换T(矩阵),T没有特征值但T^2可对角化,

gogowin_881年前1

djsl 共回答了23个问题 | 采纳率91.3%

T =
0 1
1 0
T^2 = 单位阵

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如果矩阵A的m次方等于E,怎样推出A可以相似对角化

高宝1年前1

helenchenf 共回答了10个问题 | 采纳率70%

A可对角化的充要条件是A的极小多项式没有重根(用Jordan标准型证明)
这里A的极小多项式是x^m-1的因子,显然没有重根

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我的意思是凡满秩的就是可对角化的哪里错了?上（下）三角形方阵的主对角线上的数就是它的特征值对吗?

墙角的蜗牛1年前1

lynnzeng 共回答了24个问题 | 采纳率95.8%

满秩的也不一定可对角化
一个矩阵是否可对角化,不是看它的秩多少,而是看它是否是n个线性无关的特征向量.
是的

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矩阵相似对角化问题求特征值,并问其是否可以对角化如果A相似于B 那么A是否能对角化?为什么?

melody1101年前0

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关于矩阵可同时对角化1、举出一个例子,两个矩阵可交换\x08,但是这两个矩阵不可同时对角化；2、如何证明如果两个矩阵可同

关于矩阵可同时对角化
1、举出一个例子,两个矩阵可交换x08,但是这两个矩阵不可同时对角化；
2、如何证明如果两个矩阵可同时对角化,那么这两个矩阵可交换?
3、主要问题存在于如何证明矩阵可对角化和可同时对角化,遇到一个具体的矩阵怎么计算他是否能够对角化?

天天59551年前2

忆渤 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

1.只要取A为单位阵,B是某个不可对角化矩阵.
2.A,B可同时对角化,即存在可逆矩阵T使C = T^(-1)AT与D = T^(-1)BT均为对角阵.
作为对角阵,易见C,D可交换,即有T^(-1)ABT = CD = DC = T^(-1)BAT.
于是AB = BA.
3.证明可对角化的基本方向就是证明有一组由特征向量构成的基.
其它如"可分解为特征子空间直和","代数重数 = 几何重数","最小多项式无重根"的条件都由此衍生.
需要逐渐积累,并根据题目条件选用合适的判别准则.
对于具体的矩阵,验证"代数重数 = 几何重数"是比较常用的方法.

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这个矩阵可以对角化吗?矩阵A=1 -1 12 4 -2-3 -3 5是否可以对角化?如果可以对角化,求出可逆矩阵T,使T

这个矩阵可以对角化吗?
矩阵A=
1 -1 1
2 4 -2
-3 -3 5
是否可以对角化?如果可以对角化,求出可逆矩阵T,使T^-1AT为对角矩阵.

zcl04431年前3

13976713039 共回答了25个问题 | 采纳率88%

特征多项式
|λE-A|=
λ-1,1.-1
-2.λ-4,2
3.3 λ-5
c1+c3
=（λ-6）（λ-2）^2
λ=2,2,6
当λ=2时
(λE-A)X=0
系数矩阵=
1.1.-1
-2.-2.2
3.3.-3
=
1.1.-1
0.0.0
0.0.0
则x1=（1.0.1）^t,x2=（-1.1.0）^t
当λ=6时,(λE-A)x=0
系数矩阵
5.1.-1
-2.2.2
3.3.1
=
1.-1.-1
0.3.2
0.0.0
x3=（-1.2.-3）^t
则T=(x1,x2,x3)使得
T^(-1)AT=Λ=diag(2.2.6)

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n介方阵A可以对角化,那么该对角阵一定是由A的特征值构成的吗?

n介方阵A可以对角化,那么该对角阵一定是由A的特征值构成的吗?
如何证明

zhaosy1191年前1

弯弯95 共回答了20个问题 | 采纳率90%

若n阶方阵A可相似对角化为对角阵diag{d1,d2,...,dn},
则d1,d2,...,dn就是A的n个特征值.
如果使用基本结论,易见可以用下面两个结论证明这一点:
1) 相似矩阵有相同的特征多项式,进而所有的特征值也都相同.
2) 对角阵的n个特征值就是其对角元.
这两个结论都不难证明:
1) 若A与B相似,则存在可逆矩阵P,使P^(-1)AP = B.
于是B的特征多项式|λE-B| = |λE-P^(-1)AP| = |P^(-1)(λE-A)P| = |P^(-1)|·|λE-A|·|P| = |λE-A|.
即二者特征多项式相同,进而特征值作为特征多项式的根也都相同.
2) 设对角阵D = diag{d1,d2,...,dn},则λE-D也是对角阵,可得:
特征多项式|λE-D| = (λ-d1)(λ-d2)...(λ-dn),于是特征值就是d1,d2,...,dn.
实际上,也可以直接从特征值特征向量的定义证明这一点:
设可逆矩阵P可使P^(-1)AP = diag{d1,d2,...,dn},即有AP = P·diag{d1,d2,...,dn}.
设P的n个列向量依次为X1,X2,...,Xn,即P可分块表示为[X1,X2,...,Xn].
可算得AP = [AX1,AX2,...,AXn],而P·diag{d1,d2,...,dn} = [d1X1,d2X2,...,dnXn].
比较两边即得AXi = diXi,对i = 1,2,...,n成立.
又P可逆,任意Xi均不为零向量,故Xi是属于特征值di的特征向量,di都是A的特征值.

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求两个可对角化矩阵乘积的对角化矩阵

求两个可对角化矩阵乘积的对角化矩阵
矩阵 A1 和矩阵 A2 是两个可对角化矩阵,满足：
A1 = V1 * D1 * inverse(V1)
A2 = V2 * D2 * inverse(V2)
和
对角矩阵 D1 = D2 = D
求A1*A2 的特征向量矩阵和特征值矩阵.
A1 和A2 的特征值和特征向量都相同，V1 和V2 特征向量矩阵只是向量排列顺序不同

snjxxll1年前1

我需故我聊 共回答了13个问题 | 采纳率100%

注意特征值相同这个条件不如特征向量相同有价值
可以把 A2 写成 A2 = V1*P*D2*P^{-1}*V1 = V1*D3*V1^{-1},P 是一个排列阵,D3=P*D2*P^{-1} 仍然是对角阵,把 D 重排一下而已
这样 A1*A2 = V1*(D1*D3)*V1^{-1} 就是特征分解

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线性代数 矩阵的可对角化 实对称矩阵B1

QEWER1年前0

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A和B相似,则A和B都可相似对角化,

7611sunny1年前1

紫T桐 共回答了20个问题 | 采纳率95%

P(-1)AP(-1)=B,如果A和B都可以对角化,则同时相似于一个对角举证V,即

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设A是n阶矩阵,A^2=E(1)试证A的特征值只能为1或-1(2)A能否相似对角化?若能,写出相应对角阵

设A是n阶矩阵,A^2=E(1)试证A的特征值只能为1或-1(2)A能否相似对角化?若能,写出相应对角阵
写清步骤,谢谢!

diaowen5461年前1

郭大建 共回答了22个问题 | 采纳率95.5%

(1) 假设λ是A的一个特征值,且λ≠±1,v为λ对应的特征向量
则 Av = λv,又A2=E
有 v=Ev=A2v=A(Av)=A(λv)=λ(Av)=λ2v
∴ (1-λ2)v = 0,由特征向量定义 v≠0
故 1-λ2=0,λ=±1
(2) 设 A+E=[u1,u2,...,un],A-E=[v1,v2,...,vn],则[u1-v1,u2-v2,...,un-vn]=2E
考虑矩阵M=[u1,u2,...,un,v1,v2,...,vn],M是n*2n的矩阵
对M作基本列变换可得M'=[u1-v1,u2-v2,...,un-vn,v1,v2,...,vn]
(u1-v1,u2-v2,...,un-vn)是M'的列向量的一组极大线性无关组
因此矩阵M的秩为n.
设(ur1,ur2,...,urx,vr1,vr2,...vry) (x+y=n)是M'的列向量的一组极大线性无关组
则矩阵T=[ur1,ur2,...,urx,vr1,vr2,...vry]是n阶满秩矩阵,矩阵T可逆.
由(A+E)vk=0,(A-E)uk=0可得：A*uk=uk,A*vk=-vk
AT=[A*ur1,A*ur2,...,A*urx,A*vr1,A*vr2,...,A*vry]
=[ur1,ur2,...,urx,-vr1,-vr2,...,-vry]
=[ur1,ur2,...,urx,vr1,vr2,...vry]*diag(1,1,...,1,-1,-1,...,-1) （x个1,y个-1）
=TD (D=diag(1,1,...,1,-1,-1,...,-1) （x个1,y个-1）)
有D=T^(-1)AT
因此A可以相似对角化,相应对角阵为 D=diag(1,1,...,1,-1,-1,...,-1) （x个1,y个-1,x,y分别是1,-1的代数重数）

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证明幂等矩阵可对角化为什么由A（A-I）=0就可以得到rank(A)+rank(a-I)=n 为什么就又能知道A的维数是

证明幂等矩阵可对角化
为什么由A（A-I）=0就可以得到rank(A)+rank(a-I)=n 为什么就又能知道A的维数是n?

华子1111年前2

cdexswzaq 共回答了18个问题 | 采纳率100%

对diag{A,A-I}做块初等变换可以化到diag{0,I},所以rank(A)+rank(A-I)=rank(I)=n
然后A的特征值只能是0,1,几何重数看相应的rank

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线性代数对角化问题：A为正定阵,B为实对称阵,证明：一定存在可逆矩阵T使得A和B都可以通过T做合同变换成为对角阵.

紫易樱华1年前1

td1g71d 共回答了25个问题 | 采纳率92%

（A'表示A的转置矩阵）
由于A是正定矩阵,A与E合同,故一定存在可逆矩阵C,使C'AC = E.因为C'BC是实对称矩阵,经正交变换可化为对角形,故一定存在正交矩阵D,使D'(C'BC)D为对角阵.
所以,设T = CD,则T可逆,T'AT = D'(C'AC)D = D'D = E,T'BT = D'(C'BC)D为对角阵.
得证.
注：(1)C'BC是实对称矩阵,因为(C'BC)' = C'B'C'' = C'BC.
(2)T可逆,因为|T| = |CD| = |C||D|不等于0.

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是对称矩阵对角化的问题为什么最后对角化后的对角矩阵的主对角线上的元素就是特征值

咖啡不加方糖1年前1

路人dl 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%

你可以问自己三个问题
1.对角阵的特征值是什么?
2.所谓的"对角化"是利用"相似变换"把某个矩阵变换到对角阵,这个概念知道不?
3.相似变换是否改变特征值?

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求线性代数设矩阵 A= 001 010 100 （1）求矩阵A的全部特征值和特征向量（2）A是否可以对角化?若可求出可逆

求线性代数
设矩阵 A= 001
010
100
（1）求矩阵A的全部特征值和特征向量
（2）A是否可以对角化?若可求出可逆矩阵P及对角阵X使得P^-1AP=X

sonysammi1年前1

我是风子我怕谁 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%

|A-λE|=
-λ 0 1
0 1-λ 0
1 0 -λ
= -(1-λ)^2(1+λ).
所以A的特征值为:λ1=λ2=1,λ3=-1.
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)',a2=(1,0,1)'
所以A的属于特征值1的特征向量为 c1(0,1,0)'+c2(1,0,1)',c1,c2为不全是零的常数.
(A+E)X=0 的基础解系为 a3=(1,0,-1)'
所以A的属于特征值1的特征向量为 c3(1,0,-1)',c3为不是零的常数.
令P = (a1,a2,a3)
0 1 1
1 0 0
0 1 -1
则P可逆,且 P^-1AP = diag(1,1,-1).

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线性代数的问题 在线等问矩阵是否能对角化 根据特征值 算出来后的P和D矩阵需要按一定顺序排列吗 我做题目发现顺序和答案的

线性代数的问题 在线等
问矩阵是否能对角化 根据特征值 算出来后的P和D矩阵需要按一定顺序排列吗 我做题目发现顺序和答案的不一样

ai爱春1年前1

413953170 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

顺序随意,一般来讲完全没有要求
没有要求
只要由特征向量构成的矩阵P与对角矩阵中的特征值所在列对应上就可以

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线性代数 如果A和B都为nxn矩阵且都可被P对角化证明AB=BA

线性代数 如果A和B都为nxn矩阵且都可被P对角化证明AB=BA
比如
A=PDP^-1 B=PSP^-1
证明AB=BA

hbycmlf1年前1

liuteng123 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

因为D,S为对角矩阵,所以DS=SD
从而,AB=PDP^-1PSP^-1=PDSP^-1=PSDP^-1=PS^-1PDP^-1=BA

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