1^3+2^3=9=1/4*4*9=1/4*2^2*3^2,1^3+2^3+3^3=36=1/4*9*16=1/4*3^

0：0
1：1
8：2
7：3
4：4
5：5
6：6
3：7
2：8
9：9

1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2

证明,方法一：(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1.∴n^3=(1/4)[(n+1)^4-n^4]-(3/2)n^2-n-1/4∴左边=∑i^3=(1/4)[(n+1)^4-1]-(3/2)*(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n-(n+1)n/2=(1/4)(n^4+4n^3+6n^2+4n-2n^3-3n^2-n-n)-(1/2)(n^2+n)=(1/4)(n^4+2n^3+n^2)=[(1/2)n(n+1)]^2=(1+2+3+…+n)^2[附注:这里用了另一个公式∑i^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)证明如下:(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 ∴n^2=(1/3)[(n+1)^3-n^3]-n-1/3∴∑i^2=(1/3)[(n+1)^3-1]-(1/2)n(n+1)-n/3=.=(1/6)n(n+1)(2n+1)]方法二：数学归纳法当n=1时,左边1^3=1,右边1^2=1左边=右边假设当n=k时等式成立 1^3+2^3+3^3+…k^3=（1+2+3+.+k)^2则当n=k+1时1^3+2^3+3^3+…k^3+(k+1)^3=(1+2+3+.+k)^2+(k+1)^3 1+2+3.+k=k(k+1)/2 等差数列=k^2(1+k)^2/4+(k+1)^3 =(1+k)^2(k^2/4+k+1)=(1+k)^2(k^2+4k+4)/4=(k+1)^2(k+2)^2/4=[(k+1)(k+1+1)/2]^2=(1+2+3.+k+k+1)^2 1+2+3+...k+k+1=(k+1)(k+1+1)/2 也是等差数列所以当n=k+1等式也成立所以,1^3+2^3+3^3+.+n^3=（1+2+3+.+n)^2

3^3+6^3+9^3+…+45^3
=[1*3]^3+[2*3]^3+.[15*3]^3
=1^3*3^3+2^3*3^3+.15^3*3^3
=3^3*[1^3+2^3+...+15^3]
=27*14400
=388800

(a1)^3+(a2)^3+(a3)^3+...+(an)^3
=(1+2+3+...+n)^2=[n^2(n+1)^2]/4
1'n=1,an=1^3=1^3=1
2'假设当n=k,k＞1,k∈z也成立
ak=(a1)^3+(a2)^3+(a3)^3+...+(ak)^3
=(1+2+3+...+k)^2=[k^2(k+1)^2]/4
3'n＝k+1,
a(k+1)=(a1)^3+(a2)^3+(a3)^3+...+(aK)^3+a(k+1)^3
=[k^2(k+1)^2]/4+a(k+1)^3
=[k^2(k+1)^2]/4+(k+1)^3
=[(k+1)^2(2k+2)^2]/4
∴假设成立
:(a1)^3+(a2)^3+(a3)^3+...+(an)^3
=(1+2+3+...+n)^2=[n^2(n+1)^2]/4

2^3+4^3+6^3+...+28^3+30^3=8*1^3+8*2^3.+8*15^3
s所以原式=1/8

自然数立方和公式是：　1^3+2^3+3^3+.+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
你看下,明白没?没得话,我再解释!
这里说实在的最主要的还是方法,方法掌握了,类似的问题都能解决了!
希望我的回答对你有帮助,祝你好运!像这样的问题自己多尝试下,下次才会的!
祝你学业进步!

根据规律1=13=1+26=1+2+310=1+2+3+4n*(n+1)/2=1+2+3+4+5.+n所以 1^3+2^3+3^3+……+n^3=(（n+1)*n/2)^2