可分离变量的微分方程:y'-xy^2=2xy ..

ln|y|=-3x+C1
y=正负e^(-3x+C1)
y=正负e^(-3x)*e^C1
y=Ce^(-3x)
其中C=正负e^C1

1.y= Φ(x)只是假设的,并且隐函数可以化成显函数
2.G (y)=F(x)+C
两边求导
G'（y) y' =F'(x)
又y' =Φ’（x)
当 g(y) ≠0 时,
Φ‘（x) =F'(x)/G'(y)

D

该有机物中含有4个C==C、一个—CHO，所以在一定条件下，1 mol该有机物最多与5 mol的H ₂ 发生加成、最多与4 mol Br ₂ 发生加成。

按广义积分求出来的 是通解,通解可以有无数个.
在通解的基础上带入特定的XY值后是定解.定解的个数有限.
你举的例子好象不对
比如 y'+y=0
通解是 y=C e^(-x) ,C不等于0
这样的情况下C可以是任意数,即通解有无数个.
在给出 X=0,Y=2的情况下,C=2
则y=2e^(-x),定解唯一.

dy/dx=(1+y^2)/[(1+x^2)xy]
ydy/(1+y^2)=dx/[x(1+x^2)]
两边积分,
左边=1/2∫d(1+y^2)/(1+y^2)
=1/2ln|1+y^2|+C
=1/2ln(1+y^2)+C
右边=∫(1/x-x/(1+x^2))dx
=∫dx/x-∫xdx/(1+x^2)
=ln|x|-1/2∫d(1+x^2)/(1+x^2)
=ln|x|-1/2ln|1+x^2|+C
=ln|x|-1/2ln(1+x^2)+C
所以1/2ln(1+y^2)=ln|x|-ln√(1+x^2)+C
所以ln(1+y^2)=ln(x^2/(1+x^2))+C
所以1+y^2=Cx^2/(1+x^2) (C>0)

已知：天然气的热值为q=3.6×10⁷J/m³，燃烧天然气的体积V=164m³，水的比热c=4.2×10³J/（kg•℃），水的质量m=16t=1.6×10⁴kg，初温t₀=20℃，末温t=100℃
求：（1）水需要吸收热量Q_吸=？；（2）完全燃烧天然气放出的热量Q_放=？；天然气的燃烧效率η=？
（1）水需要吸收热量：
Q_吸=cm（t-t₀）=4.2×10³J/（kg•℃）×1.6×10⁴kg×（100℃-20℃）=5.376×10⁹J；
（2）完全燃烧164m³的天然气，可以放出的热量：
Q_放=qV=3.6×10⁷J/m³×164m³=5.904×10⁹J，
天然气的燃烧效率：
η=
Q吸
Q放×100%=
5.376×109J
5.904×109J×100%≈91.1%．
答：（1）水需要吸收热量5.376×10⁹J；
（2）完全燃烧164m³的天然气，则可以放出5.904×10⁹J的热量；天然气的燃烧效率是91.1%．

直接分离变量即可：dy/dx=(1+y^2)/[xy(1+x^2)]ydy/(1+y^2)=dx/[x(1+x^2)]1/2*d(1+y^2)/(1+y^2)=dx[1/x-x/(1+x^2)]d(1+y^2)/(1+y^2)=2dx/x-2xdx/(1+x^2)d(1+y^2)/(1+y^2)=2dx/x-d(1+x^2)/(1+x^2)积分：ln(1+y^2)=2ln|...

分离变量：
ydy/(1+y^2) = dx/(x+x^3)
左边凑微分,右边有理分式展开
dy^2 /2(1+y^2) = [1/x-x/(1+x^2)]dx
两边积分：
arctgy /2 = lnx - arctgx /2 +c

y'=1+y^2
dy/(1+y^2)=dx
d(arctan y)=dx
arctan y = x + c
y = tan(x+c)

是正确的

令
y/x^2=p
y=px^2
y'=p'x^2+2xp
代入原方程得
p'x^2+2xp=xf(p)
p'x+2p=f(p)
p'x=f(p)-2p
dp/[f(p)-2p]=dx/x
两边积分就可以了

Chapter 7 Differential Equations
Section 1 Basic concept of differential equations
Section 2 Differential equations of separable variables
Section 3 Homogeneous equations
Section 4 First order linear differential equations
Section 5 Reducible high order differential equations
Section 6 High order linear differential equations
Section 7 Homogeneous linear differential equations with constant coefficients
Section 8 Nonhomogeneous linear differential equations with constant coefficients
Section 9 Cauchy–Euler equation
Section 10 Sample solutions of linear differential equations with constant coefficients
Chapter 8 Analytic geometry of space and Vector algebra
Section 1 Vector and its linear operations
Section 2 Scalar product,inner product and triple product
Section 3 Surface and its equation
Section 4 Curve in space and its equation
Section 5 Plane in space and its equation
Section 6 Line in space and its equation
Chapter 9 Multivariable Calculus and its application
Section 1 Basic concept of multivariable function
Section 2 Partial derivative
Section 3 Total derivative
Section 4 Derivative of a multivariable function
Section 5 Formula for differentiating implicit functions
Section 6 Geometric application of multivariable calculus
Section 7 Directional derivative and gradient
Section 8 Maxima and minima of multivariable function
Section 9 Taylor's theorem for binary functions
Section 10 Least squares
Chapter 10 Multiple integral
Section 1 Concept of double integral and its calculation
Section 2 Methods of calculating double integral
Section 3 Triple Integral
Section 4 Application of multiple integral
Section 5 Parameter-dependent integral
Chapter 11 Integral on curve and surface (这章的东西我不熟)
Chapter 12 Infinite Series
Section 1 Concept and property of infinite series
Section 2 Convergence tests for infinite series
Section 3 Power series
Section 4 Power series expansion
Section 5 Application of power series expansion
Section 6 Uniform convergence of power series expansion and the basic property of uniform convergent series
Section 7 Fourier series
Section 8 Fourier series of general periodic function

设生成2.4克铜需要氧化铜的质量为X,需要炭的质量为Y
C+ 2CuO= 高温 =2Cu + CO2↑
12 160 128
Y X 2.4g
160：128=X：2.4g
X=3g
12：128=Y：2.4g
Y=0.225g
x+y=3g+0.225g=3.225g

解题思路：根据已有的知识进行分析，加热高锰酸钾制取氧气，达到其分解的温度，开始产生氧气，工业上利用分离液态空气的方法制取氧气，给试管中的固体加热，试管底要略高于试管口，催化剂能改变化学反应的速率．

A、加热高锰酸钾制取氧气，达到其分解的温度，开始产生氧气，并不是高锰酸钾中含有氧气，故A错误；
B、分离液态空气制取氧气，是利用氧气和氮气沸点的不同，将氧气分离出来，此过程中没有产生新物质，属于物理变化，故B错误；
C、给试管中的固体加热，试管底要略高于试管口，防止冷凝水倒流引起试管炸裂，但制取氧气不一定是加热固体，可以采用过氧化氢溶液和二氧化锰混合产生氧气，故C正确；
D、催化剂能改变化学反应的速率，故D正确；
故选D．

点评：
本题考点： 实验室制取氧气的反应原理；氧气的工业制法；制取氧气的操作步骤和注意点；催化剂的特点与催化作用．

考点点评： 本题考查了氧气的制取的知识，完成此题，要求同学们熟知有关氧气的实验室和工业制法，以及催化剂的作用，要灵活应用．

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已知：天然气的热值为q=3.6×10 7 J/m 3 ，燃烧天然气的体积V=164m 3 ，水的比热c=4.2×10 3 J/（kg•℃），水的质量m=16t=1.6×10 4 kg，初温t 0 =20℃，末温t=100℃求：（1）水需要吸收热量Q 吸 =？；（2）完...

分离变量,dy/(ylny)=dx/sinx.
两边积分,ln(lny)=ln(cscx-cotx)+lnC.
所以,lny=C(cscx-cotx).
由初始条件,得C=1.
所以,特解是lny=cscx-cotx.

微分相同,则两个函数相差一个常数.
你可能没有弄明白：函数、自变量、因变量的关系,题中,x、y都是自变量,z是因变量,
最后的z=f（x,y）这个把自变量、因变量联系到了一起的表达式才是函数

少了括号
两边积分∫y/(y^2-1)dy＝∫1/(x-1)dx
得1/2×ln(y^2-1)＝ln(x-1)＋1/2lnC
等式的前两部分的对数都没有加绝对值,所以常数项用lnC,一是为了容易消去对数运算,二是把y^2-1,x-1的正负号都放到C中去,即消去对数运算后,C的取值只要没有限制就任意取值,可正可负可以为零
结果是y^2－1＝C(x-1)^2,C是任意实数

微分方程当中x,y都可以认为是函数,例如x(t),y(t),dx就是x对t求导,dy就是y对t求导,当然可以乘过去.
3xx'=y'/y两边同时对t积分,∫3xx'dt=∫3xdx.∫y'/ydt=∫1/ydy.所以两边可以同时取积分,也自然可以移项或者通分.
因为非数学或者微分相关的工科专业不涉及柯西问题,所以并不写明x,y都是t的函数,但实际上x,y本身就都是t的函数,所有的运算都是满足的,例如dy/dx=y'(t)/x'(t)=y'(x).这一点在高数学到高阶微分方程或者微分方程组的时候有少量体现.

2(x^2-1)yy'=(2x+3)(1+y^2)
2yy'/(1+y^2)=(2x+3)
dy^2/(1+y^2)=(2x+3)dx
ln(1+y^2)=x^2+3x+C

这个是用常用积分公式就可以直接求解了嘛,1/tanx=cotx
∫cotx dx=ln|sinx|+C
常用积分公式表
http://hi.baidu.com/%BC%F2%B3%C6%B6%E9%CC%EC%CA%B9/blog/item/aa1a67c4ea0046a38226ac37.html

d[-cos2x/2+sin3y/3]＝0
-cos2x/2+sin3y/3＝C
2sin3y-3cos2x+C＝0.

第二题;通解+特解.
y=C1*y1(x)+C2*y1(x)+y1(x)

f(x,y)dx+g(x,y)dy=0的解不一定是F(x,y)=c
如果存在F,使df=f(x,y)dx+g(x,y)dy,那么解是F(x,y)=c,也就是Fx=f(x,y) Fy=g(x,y)

这样的题你最好把常微分方程的那本书看一遍,这都是第一张的内容,一看就记住里,重要的是记住他们的形式,

dy/dx=10^(x+y)
dy/10^y=10^xdx
两边积分得-10^(-y)/ln10=10^x/ln10+C
-10^(-y)=10^x+C'
这就是微分方程的解

解题思路：根据已有的知识进行分析，加热高锰酸钾制取氧气，达到其分解的温度，开始产生氧气，工业上利用分离液态空气的方法制取氧气，给试管中的固体加热，试管底要略高于试管口，制取氧气的物质必须含有氧元素．

A、加热高锰酸钾制取氧气，达到其分解的温度，开始产生氧气，并不是加热时就产生氧气，故A错误；
B、分离液态空气制取氧气，是利用氧气和氮气沸点的不同，将氧气分离出来，此过程中没有产生新物质，属于物理变化，故B错误；
C、给试管中的固体加热，试管底要略高于试管口，防止冷凝水倒流引起试管炸裂，故C正确；
D、制取氧气的物质必须含有氧元素，但是并不是所有含有氧元素的物质都能产生氧气，故D错误；
故选C．

点评：
本题考点： 实验室制取氧气的反应原理；氧气的工业制法；制取氧气的操作步骤和注意点．

考点点评： 本题考查了氧气的制取的知识，完成此题，要求同学们熟知有关氧气的实验室和工业制法，以便灵活应用．

任意式子积分后都要加上一个常数项C,为什么积分两端会是这个样子,你去被那积分公式吧,也就十几个,不多.

不该出现,这个4是多余的,不过对结果没有影响,4C1可以合并

∫dx/sinx
=∫dx/[2six(x/2)cos(x/2)]
=∫dx/[2six(x/2)/cos(x/2)*cos^2(x/2)]
=∫dtan(x/2)/tan(x/2)
=ln|tan(x/2)|+lnC

氧气
氮气
物理变化

作变换u=2x+3y,则原方程化为：du/dx=(7u+22)/(2u+5) ,即为可分离变量的微分方程.然后分离变量积分可得通解为：9ln(2x+3y+22/7) =14(3y-3/2x+c).中间的过程一定要自己主动积极推导,才能举一反三!

令x-y=p
1-y'=p'
y'=1-p'
dy/dx=cos（x-y）化为
1-p'=cosp
p'=1-cosp
dp/(1-cosp)=dx

dy/dx=2x^2 * y^(-4/5)
y^(4/5) dy=2x^2dx
d[(5/9)y^(9/5)]=d(2x^3/3)
(5/9)y^2(9/5)=2x^2/3+C
5y^2(9/5)=6x^2+C'

AB

xy'-y=y^2
(xy'-y)/x^2=y^2/x^2
(y/x)'=(y/x)^2
两边积分得
-1/(y/x)=x+C
xy'-y^2+1=0
dy/(y^2-1)=dx/x
两边积分得
1/2ln(y-1)-1/2(y+1)=lnx+C1
即(y-1)/(y+1)=Cx^2