拓扑学问题设X是一个非空集合，X的幂集的子集（即是X的某些子集组成的集族）T称为X的一个拓扑。当且仅当：1．X和空集{}

拓扑学作为现代几何学的分支,在艺术、工艺、建筑设计领域发挥着重要的作用.拓扑学主要研究物体在形变下保持不变的特性,它在成为建筑领域中的理论支撑之前,作为数学的一个重要组成部分,经历了从数学空间向物理空间的转变过程.拓扑学的主要内容包括图论、纽结、流形、拓扑嵌入、连通性等,这些内容有些能够直接应用于建筑设计的造型(图论、纽结理论),有些几何学的特性则渗透到建筑空间中,成为空间发展的理论基础(连通性,拓扑嵌入).

几何,就是研究空间结构及性质的一门学科
拓扑,就是研究有形的物体在连续变换下,怎样还能保持性质不变

我的理解（如果没有,请指出）：
的微分流器类型/抽象代数/实变函数/功能的分析的基础课程.
偏微分方程的一类问题（包括大量的课程,包括基础课程和后续课程）.
偏微分方程最?难的.
课程是很重要的,因为它是一门基础课.

很多吧.
首先你要知道,拓扑的特点是从表面现象抽象出其背后的数学结构.
一个最简单的例子是计算机中常用的图论.拓扑学中有一条定理：任何一个群G都有一个图,使得这个图的基本群为G.
还有就是你可以把图看成胞腔复形的一维骨架,这样的话代数拓扑的工具就可以使用了.
我也是在校学生,所以知道的不是很多.但是我老板是学微分拓扑的,他曾经在Intel 工作过

几何拓扑学(Geometric Topology),是数学中研究流形以及它们的嵌入,俱代表性的主题有扭结理论和辫子群.几何拓扑学几乎等同于考虑2维,3维,或者4维的低维拓扑学.
微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支.微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的.极限和微积分的概念可以追溯到古代.到了十七世纪后半叶,牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作,分别独立地建立了微积分学.

T1:对于不同的两点,分别可以构造只包含其中一个点的开集,使两点分离
T0:鉴于T1与T0相似易混淆,本人连带说明,T0与T1不同之处在于不是对于两个点都可以构造两个开集,而是两点中仅有一点可以构造开集分离,显然T1则T0,右拓扑T0不T1,很好的反例,您不妨理解一下
T2:对两点分别都可以构造出两个开集,使每个开集只含一个点,且两个开集不交
T3:正则且T0,正则同T2,不过是分离一个闭集与一个点,即可以找到两个开集,一个仅含闭集,一个仅含点,两开集不交
T4:正规且T1,同上可以找到两个开集分离两个闭集

利用如下两条性质：
A的闭包并上B的闭包=（A并B）的闭包
A的内点=A的补集的闭包的补集

拓扑学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支.中文名称起源于希腊语Τοπολογ?α的音译.Topology原意为地貌,于19世纪中期由科学家引入,当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题.发展至今,拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量.

〈数学分析〉,〈高等代数〉这是必须学的!如果这两个你觉得太难学不会,可以学〈高等数学〉
但既然你都说得出〈拓扑学〉了,那么我觉得你应该学前面介绍的两个比较好!

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拓扑学的基本问题是同论.她对代数学的影响：像有限群,没有比有限群更离散了,她出现在拓扑中的重要方式是空间的基本群即闭径群：每一个具体给定的基点的拓扑空间X决定了一个离散群G.X在同论意义下就唯一了.所以可以得到一种纯粹的代数结构.还%

证明　如果A和B是X中的隔离子集使得Y⊂ AUB,则
AUB非空,
这说明A∩Y和B∩Y也是隔离子集．然而
（A∩Y）∪（B∩Y）＝（A∪B）∩Y＝Y
　　因此根据定理4.1.3,集合A∩Y和B∩Y中必有一个是空集．如果A∩Y=空集,据上式立即可见Y⊂ B,如果B∩Y＝空集,同理可见Y⊂ A．

把一个图中两个线段的交点称为"节点". 一个节点所连出的线段数叫做该节点的"度". 题目中的图形有8个节点, 每个节点都是3度.
考虑3笔画的必要条件.
每一笔有两种情况: 起点和终点不同, 或起点与终点相同.
前者是一个首尾为奇数度节点, 中间为偶数度节点的图
后者是一个全部为偶数度节点的图
所以三个"一笔"叠加起来, 奇数度的节点最多6个. 但题中有8个奇数度的节点.
事实上, 由此可知原来的图至少需要4笔来能画出, 且每一笔的起点与终点都不同. (可以证明, 任何连通图都能被k/2笔画出, 其中k为奇数度节点的个数)

可以直接构造,参见Armstrong 的《基础拓扑学》 2.3充满空间的曲线

去博士数学论坛问吧 那边高手多 这还没学到,

1、拓扑学是一门重要的数学基础学科,它和代数学一起构成数学的两大支柱.如果说代数学研究的是离散运算的一般理论,那么拓扑学则是研究连续映射的一般理论.和其他数学分支相比,拓扑学是一门年轻的学科,它在20世纪初才从十九世纪的若干发展结晶成几何的一个分支.拓扑学所研究的是几何图形的那些经过任意变形后,保持不变的性质.这些变形可以是压缩、拉伸或任意的弯曲等等,但是,在变形过程中不允许产生新点,也不允许两点粘合在一起.这就是说,图形相邻近的点,变形后仍然是相邻近的,这种性质称为连续性；此外,图形和变形的点之间存在一个一一对应.因此,要求这个变形是连续的,并且逆变换也是连续的,这种变换称为拓扑等价或同胚.拓扑学有一个形象的外号--橡皮几何学,因为如果图形是用橡皮做成的,就能把许多图形变成同胚的图形.
拓扑学有很多不同的起源,这就使它分立成几个分支,主要是点集拓扑和代数拓扑 点集拓扑,又称一般拓扑,是在Cantor 集合论的强烈影响下形成的,它肇使于Frechet 1906年关于一般度量空间理论的论文和Hausdorff 1912年“集论基础”一书的出现.
Hilbert 空间,Banach空间的引进,泛函分析的兴起,展现了把抽象点集引进适当结构而作为空间来研究的重要性.拓扑空间是这样的集合,它上面赋于某种结构,利用这种结构,我们可以谈点或子集之间的邻近性,从而可以谈映射的连续性.在古典分析以泛函分析中,序列的极限居重要地位,因而使得分析中起作用的那些性质都是拓扑性质.泛函分析中的算子就是从一个空间到另一个空间的映射.因此,拓扑学自然地成为研究泛函分析的工具.代数拓扑的起源和点集拓扑的起源是不同的,它的历史可以追溯到更为久远,在关于多面体的Euler 定理中已见代数拓扑的端倪.Euler 对于这个定理感兴趣是因为要用它来作多面体的分类.但他没有注意到连续变换下的不变性.曲面的分类和Riemann的复变函数论方面的工作是推动拓扑学.他引进了基本群和同调群.促使他研究拓扑学是一些经典的几何问题和积分理论.拓扑学的方法和许多概念已经渗透到数学的几乎所有领域,并在诸如物理学、化学和生物学等学科中得到了应用,今后这些应用定会更加广泛.《拓扑学》（原书第2版)/华章数学译丛
作者:(美)芒克里斯 译者:熊金城 吕杰 谭枫
2、欧氏空间,在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化.这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度,转换成任意数维的坐标系.这是有限维、实和内积空间的“标准”例子.
欧氏空间是一个的特别的度量空间,它使得我们能够对其的拓扑性质,例如紧性加以调查.内积空间是对欧氏空间的一般化.内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨.
欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用.一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球.这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分.微分几何把微分,会同导入机动性手法,局部欧氏空间,探讨了非欧氏流形的性质.
拓朴学是现代数学的一个重要分支,主要是研究奇异形变的规律.通俗点说,拓朴是橡皮上的数学：在一个弹性较好地橡皮上画上较为规矩的图形（比如长方条格）后,用手任意扭曲它,画在它上面的图形将会发生各种奇异的变化,你会发现你从来没有看到过的美妙图形；或者你用手随意捏弄一个气不太足的气球,使之此鼓彼突,你会看到印在它上面的图案会发生不可思议的各种变化.而拓朴学正是用来研究这种图形变化妙处之所在的规律的

X和H等价,因为都可以缩成一个点；和R不等价,因为R可以缩成一个圈,而圈不能进一步缩成点.用拓扑的语言来说,X和H的基本群都是平凡群；而R的基本群是Z(全体整数)

哇塞,你这是要逆天啊,学这么多.
你自己不是列出来了吗?基础数学,应用数学,计算数学与科学工程计算.肯定是先学基础数学啊,常微分与偏微分貌似有点难度,最后学吧,还有先学常微分再学偏微分.

顺着你说的这几个进一步,算子理论,算子代数,非交换几何.各种表示论,量子群,李理论,代数K理论.代数拓扑.代数几何,算术代数几何,非交换代数几何.各种流形.复分析,复几何.等等等等,不胜枚举.

点集拓扑 理论上基本不需要什么前置基础的,但是懂点 数分、实变、高代会很有帮助
代数拓扑 微分拓扑的级别远大于 点集拓扑
代数拓扑的话 前提是要非常熟悉 高等代数和抽象代数 以及点集拓扑,这些可能还不太够,往细了去可能还需要 对 Galois理论和 交换代数、代数几何有一定的基础.本科阶段的抽象代数貌似不够.
解析几何和微分几何(你应该说的是本科的微分几何,也就是19世纪及以前的微分几何)什么的,理论上是不需要的,但是懂了会有所帮助.
微分拓扑,跟代数拓扑有较大的差别,需要初步微分几何作前置,最好还要会点实分析和复分析的内容（理论上是不需要的,但是会了会很有帮助,因为很多特殊的例子都是通过欧氏空间的情况来理解的）,当然,跟代数拓扑一样,也要有一定的代数基础,特别是张量方面（本科的抽象代数可能不太够,所以学代数拓扑和微分拓扑之前最好先学完交换代数的课程）.另外,懂点泛函的基础知识也会很有帮助的.
代数拓扑和微分拓扑前最好能有点 数论基础,尤其是代数拓扑,会很有帮助.但不是必要的.

简单：根本不是拓扑学,只是定长的圆和正方形的面积谁大!

庞加莱是20世纪最伟大的数学家之一,他同时也是近代拓扑学和近代动力学的创始人.庞加莱在1904年提出了一个猜想：任何一个封闭的三维空间里,所有封闭的曲线可以收缩成一点,那么这个空间一定是圆球.这就是困扰了全世界数学家一个多世纪之久的“庞加莱猜想”.

拓扑学,主要是应用在运筹学中的理论,图论,线性规划,排队论,决策等等
而泛函分析则主要是应用在电子,通信等领域.
如果是学经济学的,建议学拓扑学.
同时拓扑学相对比泛函好理解一些.

ρ是关于Rn内两点的函数.就是对Rn中每两点赋予一个实数值
R1是实数
R1代表实数集
ρ：Rn×Rn→R1
ρ是从Rn×Rn到实数集的一个映射.就是对Rn中任意两点赋予一个距离.要形成度量空间的话还有别的条件
你对定义似乎掌握的不是很准确,多翻翻书吧

拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质
用抽象代数的方法研究拓扑学,可以得到一些高等的拓扑不变量

ginseng,人家问的是“拓扑”的意思,不是“网络拓扑结构”的意思. 我查到了一些资料,看看是否满足你的需要： 拓扑学的英文名是Topology,直译是地志学,也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科.我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”,但是,这几种译名都不大好理解,1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学,这是按音译过来的. 拓扑学是几何学的一个分支,但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同.通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质.拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关. 举例来说,在通常的平面几何里,把平面上的一个图形搬到另一个图形上,如果完全重合,那么这两个图形叫做全等形.但是,在拓扑学里所研究的图形,在运动中无论它的大小或者形状都发生变化.在拓扑学里没有不能弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可以改变.例如,前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候,他画的图形就不考虑它的大小、形状,仅考虑点和线的个数.这些就是拓扑学思考问题的出发点. 拓扑性质有那些呢?首先我们介绍拓扑等价,这是比较容易理解的一个拓扑性质. 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念,但是讨论拓扑等价的概念.比如,尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同,在拓扑变换下,它们都是等价图形.左图的三样东西就是拓扑等价的,换句话讲,就是从拓扑学的角度看,它们是完全一样的. 在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来,这样球面就被这些线分成许多块.在拓扑变换下,点、线、块的数目仍和原来的数目一样,这就是拓扑等价.一般地说,对于任意形状的闭曲面,只要不把曲面撕裂或割破,他的变换就是拓扑变幻,就存在拓扑等价. 应该指出,环面不具有这个性质.比如像左图那样,把环面切开,它不至于分成许多块,只是变成一个弯曲的圆桶形,对于这种情况,我们就说球面不能拓扑的变成环面.所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面. 直线上的点和线的结合关系、顺序关系,在拓扑变换下不变,这是拓扑性质.在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质. 我们通常讲的平面、曲面通常有两个面,就像一张纸有两个面一样.但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面.这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面. 拓扑变换的不变性、不变量还有很多,这里不在介绍. 拓扑学建立后,由于其它数学学科的发展需要,它也得到了迅速的发展.特别是黎曼创立黎曼几何以后,他把拓扑学概念作为分析函数论的基础,更加促进了拓扑学的进展. 二十世纪以来,集合论被引进了拓扑学,为拓扑学开拓了新的面貌.拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念.拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述. 因为大量自然现象具有连续性,所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性.通过拓扑学的研究,可以阐明空间的集合结构,从而掌握空间之间的函数关系.本世纪三十年代以后,数学家对拓扑学的研究更加深入,提出了许多全新的概念.比如,一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等.有一门数学分支叫做微分几何,是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况,而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况,因此,这两门学科应该存在某种本质的联系.1945 年,美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系,并推进了整体几何学的发展. 拓扑学发展到今天,在理论上已经十分明显分成了两个分支.一个分支是偏重于用分析的方法来研究的,叫做点集拓扑学,或者叫做分析拓扑学.另一个分支是偏重于用代数方法来研究的,叫做代数拓扑.现在,这两个分支又有统一的趋势. 拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用.

你从任意一点出发,绕着绳子走,看需要穿过曲线几次就是打了几个结!

考虑一下左右两个是否同胚

我觉得这样的理解浅显了一些.连续性和连通性只是拓扑学一开始导入的概念,源自对这个问题的研究：在实数线上,为什么能做我们习惯的那些运算（主要微积分的那些）.
把使实数能够做那些运算的特点找出来后,再加以推广,使这些运算可以在其他空间使用,这是拓扑学最初的出发点了.后面就发展到要对空间进行分类,因为空间变得非常奇怪,所以拓扑学后面主要是要解决自身提出的问题了.连通性只是拓扑性质之一.连续性只是用拓扑的观点重新进行了定义.

拓扑学是研究图形在连续变化（更术语的叫同胚）下不变的一个数学分支.一般分为点集拓扑、代数拓扑和几何拓扑.
拓扑学的应用十分广泛,仅仅拿数学来说,它对分析、微分方程、微分几何、李代数、代数数论、代数几何等等分支都有深远地影响.

这几门课就是所谓的老三高和新三高,属于数学系的基础课和专业基础课,即使都学下来,还不能算够数学系本科毕业生的水平.

首先看球面.它和平面一样,都是单连通的.一个多边形能在平面上存在当且仅当能在球面上存在.球面上的欧拉公式V-E+F=2.对于完全4边形,V=4,E=C(4,2)=6,那么F=2-(4-6)=4.因为每个面都是三角形,而且每条边都被两个面公用,所以一共应该有3F/2=6条边,这个数刚好等于E.对于完全五边形,如果嵌入在球面上,V=5,E=C(5,2)=10,F=2-(V-E)=7.此时3F/2=11.5不等于E.同样的对于一般完全n>4边形,V=n,E=C(n,2)=n(n-1)/2,F=2-(V-E).很容易验证3F/2 > E.矛盾.这说明n>4时,完全n边形不能在球面上存在.
再看亏格为1的环面.欧拉公式V-E+F=0.一个完全n边形嵌入环面有两种可能,一种所有的三角形都是平凡的,也就是在环面上能连续缩成一个点；一种是存在不平凡的三角形.比如环面上的经线圈或者纬线圈,他们都不能连续缩成一点.对于第一种情况,所有三角形都平凡,这和球面上的情况是一样的,所以这样的情况可以不用再讨论.
考察第二种情况,就是存在不平凡的三角形,注意到不平凡的三角形并不能产生新的面.比如经线圈,一个经线圈不能把环面分割成不连通的两部分.但是一个很小的三角形确可以把环面分割成不联通的两部分,即贡献新的面.所以在第二种情况下,一条边并不总是被两个面分享.从而3F/2=E不再成立.但是不等式3F/2 < E

第一题把一个人的绳子中间部分从另一个人手腕上手和绳子的缝穿出去,绕过手,从另一边穿回来就行了
第二题把环移到x处,然后把绳子从洞里拉出来,再把环穿过中间的两条绳子,就到右边了
如果上面写得不够清楚我还可以给出详细的步骤.

Basic topology

以我们数学系的同学感觉
从难到易
拓扑学>实变>泛函>微分几何,偏微分方程>初等数论,概率论与数学统计,复变函数论
逗号表示差不多
但是个别强人会有不同评价,有的人很喜欢拓扑就觉得它不难了,看人的吧
这是一个平均的参考

显然不是.球外空间同伦于球面,而球内空间是可缩的.

它的意思是说：(1)等价关系是一种自反关系
（2）等价关系是一种对称关系
（3）等价关系是一种传递关系
首先（1）自反性： 显然x等价于x,也就是你说的任意x有(x,x)属于E,所以等价关系是一种自反关系
(2)你理解错误的原因是你认为x只可能等价于x,但实际上是不对的,x可以等价于y
对称的意思是若x等价于y(相当于你说的（x,y）属于E),则y等价于x （即（y,x）也属于E）
（3）等价是一种传递关系,意思同理：若x等价于y,y等价于z,那么x等价于z
（等价并不能直接用y来表示x,不能说只有x等价于x,这和初等数学是不一样的）