如图EFGH分别是空间四边形ABCD各边ABADCDCB上的点,且直线EF和HG共面但不平行求证：EF BD GH三直线

引理：sinθ=2Skl
证明：S=S△EFG+S△EHG,
=S△EOF+S△GOF+S△EOH+S△GOH,
=12 EO•OF•sinθ+12GO•OF•sin(180°-θ)
+12EO•OH•sin(180°-θ)+12 GO•OH•sinθ
=12EG•OF•sinθ+12EG•OH•sinθ
=12EG•FH•sinθ=12kl•sinθ
所以sinθ=2Skl
过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线,得矩形PQRT．
设正方形ABCD的边长为a,PQ=b,QR=c,
则b=根号（k2 -a2）,c=根号（l2 -a2）,
由S△AEH=S△TEH,S△BEF=S△PEF,S△GFC=S△QFG,S△DGH=S△RGH
得SABCD+SPQRT=2S,
∴a2+bc=2S,即a2+根号（k2-a2）•根号（l2-a2 ） =2S,
∴（k2+l2-4S）a2=k2l2-4S2,
由引理知kl=2Ssinθ＞2S,
所以k2+l2≥2kl＞4S,
故SABCD=a2=(k2l2-4S2)(k2+l2-4S)

这个题有一个通用的解法,例如AE=BF=CG=DH=¹/nAB
设AF交ED、BG于K、L,CH交BG、ED于M、N
∵AE=CG,∴EB=GD,∴BGDE为平行四边形,∴BG∥ED;同理,AF∥HC;
在Rt△ABF和Rt△BCG中,∵AB=BC,BF=CG,∴Rt△ABF≌Rt△BCG,∴∠BAF=∠CAG
∴∠BAF+∠CBG=90°,∴KLMN为正方形
设AB=1,则AE=BF=CG=DH=¹/n；
AF²=AB²+BF²=1+1/n²,∴AF=√(1+1/n²)
△ABF∽△AKE,∴AF:AE=BF:KE,∴KE=BF•AE/AF=1/(n²√(1+1/n²))=1/(n√(1+n²))
∴AK²=AE²-KE²=1/n²-1/(n²(1+n²))=((1+n²)-1)/(n²(1+n²))=1/(1+n²)
∴AK=1/√(1+n²)∴KL=AF-AK-LF=√(1+1/n²)-1/√(1+n²)-1/(n√(1+n²))=(n-1)/√(1+n²)
KLMN面积=KL²=（n-1)²/(1+n²)-----------通用公式
当n=3时,面积比为(3-1)²/(1+3²)=4/10=2/5
当然,可以直接用3代替n

证明：
连接AC
∵E为AB的中点,F为BC的中点
∴EF是△ABC的中位线
∴EF=1/2AC,EF//AC
∵H为AD的中点,G为CD的中点
∴HG为△ACD的中位线
∴HG=1/2AC,HG//AC
∴EF=HG,EF//HG
∴四边形EFGH为平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）