正交向量组与正交矩阵

为什么说非零正交向量组是线性无关的?

韵杰1年前1

dfhh22 共回答了13个问题 | 采纳率84.6%

a1,a2.an是非零正交向量,那么k1a1+k2a2+.+knan=0,你两边先成一向量a1的转置矩阵,那么这个式子变为k1a1(a1的转置）,因为a1(a1的转置）大于0,所以K1等于0,同理K2.Kn都等于0,所以线性无关.

1年前查看全部

设a1 a2.a(n-1)是欧式空间R的n次中一正交向量组,b1 b2属于R的n次

设a1 a2.a(n-1)是欧式空间R的n次中一正交向量组,b1 b2属于R的n次
设a1 a2.a(n-1)是欧式空间R的n次中一正交向量组,b1 b2属于R的n次,且b1与每个ai内积等于0,b2与每个ai的内积等于0,证明b1 b2线性无关.

卓越笃信1年前1

鼓鼓的眼睛 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%

由已知,b1,b2 是齐次线性方程组 AX=0 的解,
其中 A=
a1^T
...
an-1^T
由于 a1,...,an-1 是正交向量组,故线性无关
所以 r(A) = n-1
所以 AX=0 的基础解系含 n-r(A) = 1 个向量
所以 b1,b2 线性相关
(不应该是线性无关,你题目是不是写错了)

1年前查看全部

将向量组a1=(1,1,1)^T,a2=(0,1,1)^T,a3=(0,0,1)^T化为标准正交向量组,刘老师,麻烦你.

将向量组a1=(1,1,1)^T,a2=(0,1,1)^T,a3=(0,0,1)^T化为标准正交向量组,刘老师,麻烦你.谢谢

gch3151年前1

lyqxx 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

1=a1=1/√3(1,1,1)^T
b2=a2 - (a2'b1)/(b1'b1)b1= 1/√6(-2,1,1)^T
b3=a3 - (a3'b1)/(b1'b1)b1 - (a3'b2)/(b2'b2)b2 = 1/√2(0,-1,1)^T
直接单位化了

1年前查看全部

a1=(1 2 3)^T,a2=(2 -1 0)^T,a3=(-3 -6 5)^T是否是标准正交向量组?说明理由.

风吹mm1年前2

tuojiang_79 共回答了22个问题 | 采纳率100%

∵a1·a2=0,a2·a3=0,a1·a3=0
∴a1,a2,a3是正交向量组
但│a1│=√(1+ 4+9)≠1,
∴a1不是单位向量
（同样│a2│≠1,│a3│≠1,但只要有一个向量不是单位向量,向量组就不是单位向量组）
∴该向量组不是标准正交向量组

1年前查看全部

证明正交向量组必定是线性无关的

mzh9990001年前0

共回答了个问题 | 采纳率

查看全部

设a1=（1,1,1）,a2=（0,1,-1）,a3=（t,1,1）是正交向量组,则t满足的条件是—— 紧急

设a1=（1,1,1）,a2=（0,1,-1）,a3=（t,1,1）是正交向量组,则t满足的条件是—— 紧急
答案是t不等于1 可是我认为t应该等于-2

kankana1年前1

作新 共回答了25个问题 | 采纳率84%

a1a3=0 t+1+1=0 t=-2
你做的对.

1年前查看全部

求这个线性代数的答案求a1=(1,2,0)T,a2=(1,0,2)T,a3=(0,1,2)T的标准正交向量组

bluecloud4181年前1

mugong331 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%

百度“施密特正交化”，找一个例题对照着算一下
http://www2.tust.edu.cn/jingpin/jp2006/daishu/files/Kechengjianshe/JiaoAn/4_2.htm

1年前查看全部

线性代数题欧式空间设a1,a2…am是n维欧式空间V的一个标准正交向量组.证明对V中任意向量a有【求和（i从1开始到m）

线性代数题欧式空间
设a1,a2…am是n维欧式空间V的一个标准正交向量组.证明对V中任意向量a有【求和（i从1开始到m）】(a,ai)^2≤a的模长的平方

chu44hun1年前2

小女乖乖儿 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

记Q＝【a1,a2,...,an】是正交阵,其中am+1,am+2,...,an和a1,...,am组成V的正交基,因此有Q^Ta模长的平方＝a^TQQ^Ta=a^Ta=a的模长的平方.注意到要证不等式的左边是向量Q^Ta的前m个分量,因此不等式成立.

1年前查看全部

为什么说非零正交向量组是线性无关的?

俏笑妖精1年前1

天目游子 共回答了15个问题 | 采纳率80%

a1,a2.an是非零正交向量,那么k1a1+k2a2+.+knan=0,你两边先成一向量a1的转置矩阵,那么这个式子变为k1a1(a1的转置）,因为a1(a1的转置）大于0,所以K1等于0,同理K2.Kn都等于0,所以线性无关.

1年前查看全部

线性代数题,“一组非零的n维向量组,如果他们两两正交,则称其为正交向量组” 是随便两个向量都正交吗?

n10031年前2

丑小鸭传说 共回答了23个问题 | 采纳率95.7%

是

1年前查看全部

a1=1 ,求a2,a3,使得a1,a2,a3,为正交向量组

a1=1 ,求a2,a3,使得a1,a2,a3,为正交向量组
1
1

liluhong1年前1

wenzimww 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%

设 x=(x1,x2,x3)' 与 a1 正交.
则 x1+x2+x3 = 0
求得一个基础解系:a2=(1,-1,0),a3=(1,1,-2).
易知 a2,a3 正交,故 a1,a2,a3 是正交向量组.
注:求正交的基础解系的技巧
自由未知量 (x2,x3) 取 (1,0) 得 a2=(1,-1,0),
观察,取 x1=x2=1 即可正交,代入解得 x3=-2,故得 a3.

1年前查看全部

设{α1,α2,…,αr}为n维正交向量组,Q为正交矩阵,bi=Q*αi,证明{β1,β2,…,βr}也为正交向量组.

设{α1,α2,…,αr}为n维正交向量组,Q为正交矩阵,bi=Q*αi,证明{β1,β2,…,βr}也为正交向量组.
设{α1,α2,…,αr}为n维正交向量组,Q∈Rn×n为正交矩阵,βi=Qαi,证明{β1,β2,…,βr}也为正交向量组.

短日高起lti1年前0

共回答了个问题 | 采纳率

查看全部

设a1,a2...am是n维欧式空间V的一个标准正交向量组,证明:对V中任意向量a有 ∑(a,ai)^2

时光倒流19981年前2

天苍苍野茫茫2 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

将 a1,a2...am 扩充为V的标准正交基 a1,a2...am,...,an
任一向量a可表示为 a=k1a1+k2a2+...+kmam+...+knan
(a,ai) = ki
||a||^2 = (a,a)
= (a,k1a1+k2a2+...+kmam+...+knan)
= ∑(a,kiai)
= ∑ki(a,ai)
= ∑(a,ai)^2
>= ∑(a,ai)^2 (不含m之后的项)

1年前查看全部

为什么由单个非零向量组成的向量组为正交向量组

loveatao1年前1

zcl0707 共回答了20个问题 | 采纳率85%

因为这两个向量可以作正交分解（勾股分解）,使得双方同一方向分量叠加,方向相反则抵消,利于向量计算.

1年前查看全部

线性代数 求出构成标准正交向量组的充要条件

线性代数 求出构成标准正交向量组的充要条件
rt ***是算对了 可是y应该是0啊 但是书上答案不一样
就是求出a和b构成标准正交向量组的充要条件是什么

ming19791年前2

快客便利店 共回答了20个问题 | 采纳率95%

正交:
(a,b) = x/2 - 1/2√2 = 0
所以 x = 1/√2
长度为1:
(b,b) = y^2 + 2 (1/2)^2 = 1
所以 y^2 = 1-1/2 = 1/2
所以 y = ±1/√2

1年前查看全部

正交向量组,是指一组两两正交的非零相量.那么是每个相量都不能为零,还是只要不全为零就行了?

水底之鱼1年前1

112120051201 共回答了25个问题 | 采纳率72%

非零向量是指长度不为0的向量叫做非零向量,长度是指向量的大小（向量的长度/向量的模）,所以,零向量是（0,0,0,0,0,0...0,0,0),除此形式之外的都是非零向量.
正交向量组中两两正交,所以每个向量都不能为零向量,零向量与任意向量的内积都是零.

1年前查看全部

正交向量组不应该是等于0吗,这个奇怪的符号是什么意思

俺是曼联银1年前1

YEMING8896 共回答了11个问题 | 采纳率90.9%

当i=j时,δij=1；i≠j时,δij=0

1年前查看全部

什么叫标准正交向量组啊 举个好点的例子吧 我实在看不大明白 比如向量A=（0 0 0）B=（1 1 1）,我知道A里的A

什么叫标准正交向量组啊 举个好点的例子吧 我实在看不大明白 比如向量A=（0 0 0）B=（1 1 1）,我知道A里的A11和B11 A22和B22 A33和B33 相乘都是0 所以AB正交 但是定义说 如果同一个同维向量组中不含0向量,且其中任意两个向量都是正交的,则称为这个向量组为正交向量组.没有0向量 他相乘怎么会为0 不为0又怎么正交?

xfile1年前3

mcjfh19781129 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%

任意两个向量都是正交的,意思是说任意两个向量之间作内积(数量积)为0.
比如A=(1,1,2),B=(-1,-1,1),C=(1,-1)
可以验证{A,B,C}是正交向量组 即A·B=B·C=C·A =0
这里的相乘是做内积,与向量夹角和模都有关a·b = |a|·|b|·Cos,结果为0,可能是模为0,也可能是夹角为Pi/2
标准正交向量组,就是正交向量组中向量都是单位向量
上例中令A'=A/根号6,B'=B/根号3,C'=C/根号2,{A',B',C'}就是标准正交向量组

1年前查看全部

如何判断基础解系是正交向量组?什么情况下是?什么情况下不是?

烂壶1年前2

x_1029 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%

正常情况下解得的基础解系一般不是正交向量组
需要正交化
估计你解决正交对角化问题时想到的这个问题

1年前查看全部

线性代数：n阶实方阵A是正交矩阵的充分必要条件是A的n个行向量是标准正交向量组

线性代数：n阶实方阵A是正交矩阵的充分必要条件是A的n个行向量是标准正交向量组

这个式子感觉理解的不透,

yang-an1年前1

leeyuen 共回答了23个问题 | 采纳率91.3%

题解中设A是三个行向量（即把A的每一行看做一个向量,这个是第一步您应该明白）
第二个等号就是分块矩阵的乘法
A是正交矩阵,所以,题解中就有“所以”后面的东东了
希望我的解释能够帮到您

1年前查看全部

线性代数求解,三维向量 A=[ 1 2 3]（的转置） 求 B C两个向量 让A B C 三个成为正交向量组.

线性代数求解,三维向量 A=[ 1 2 3]（的转置） 求 B C两个向量 让A B C 三个成为正交向量组.
尽量详细点,写的好的追加分,

天天想你的小鱼1年前1

dyy0321007 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

设A与x=(x1,x2,x3) 正交,则
x1+2x2+3x3 = 0
该齐次线性方程组的基础解系为 (2,-1,0)^T,(1,2,-5/3)^T
令 B= (2,-1,0)^T,C = (1,2,-5/3)^T
则A,B,C为正交向量组.

1年前查看全部

知道一个列向量怎么求它的一个标准正交向量组

知道一个列向量怎么求它的一个标准正交向量组
具体题目是：求与向量a^T=（1 1 1 1）正交的一个标准正交向量组.求方法啊,

clknight1年前1

我的半截烟 共回答了18个问题 | 采纳率100%

方法是这样
设X=(x1,x2,x3,x4)^T 与 a 正交
则 x1+x2+x3+x4 = 0
求出这个基础解系
然后正交化
单位化
OK了.

1年前查看全部

关于正交向量组的一道题目已知三维向量A1=[1 2 3]T,试求非零向量A2,A3,使A1,A2,A3成为正交向量组

慨撒1年前2

kokkin 共回答了22个问题 | 采纳率100%

设x=(x1,x2,x3)^T 与 A1正交.
则 x1+2x2+3x3 = 0
得基础解系 b1 = (-2,1,0)^T,b2=(-3,0,1)^T
将 b1,b2 正交化:
c1 = b1
c2 = b2 - (6/5)b1 = (1/5)(-3,-6,5)^T
则 A2 = c1 = (-2,1,0)^T
A3 = (3,6,-5)^T
即为所求.

1年前查看全部

设V是一个n维欧式空间,a1,a2,.,am是V中的正交向量组,令：

设V是一个n维欧式空间,a1,a2,.,am是V中的正交向量组,令：
W={α | (a,ai)=0,α∈ V ,i=1,2,...m}
证明：W是V的一个子空间
证明：W的正交补 =L(a1,12,...an)

深圳uu1年前1

neijiu 共回答了21个问题 | 采纳率81%

证明:(1) 对任意a,b∈W, k∈F (a,ai)=0, (b,ai)=0, i=1,2,...,m 所以 (a+b,ai)=(a,ai)+(b,ai)=0 (ka,ai)=k(a,ai)=0, i=1,2,...,m 所以 a+b,ka∈W 所以 W是V的一个子空间. (2) 由a1,a2,...,am是V中的正交向量组 故 a1,a2,...,am 线性无关, 可扩充为V的一组基 a1,a2,...,am,am+1,...,an 将 am+1,...,an 正交化得与其等价的正交向量组 bm+1,...,bn 所以 a1,a2,...,am,bm+1,...,bn 是V的一组正交基 易见 W=L(bm+1,...,bn), W与L(a1,a2,...,am)正交, dimW+dim(L(a1,a2,...,am))=n 所以 W的正交补 =L(a1,a2,...,am).

注: W=L(bm+1,...,bn)
因为 a1,a2,...,am,bm+1,...,bn 是V的一组正交基所以 bi 与 aj 正交, 所以 bi∈W所以 L(bm+1,...,bn)包含在W中.反之, 对W中任一向量a, 有(a,ai)=0, i=1,2,...,m且 a 可表示为 a = k1a1+k2a2+...kmam+km+1bm+1+...+knbn则 k1a1+k2a2+...kmam = a -km+1bm+1-...-knbn两边对ai作内积得 ki(ai,ai)=0, 故ki=0, i=1,2,...,m所以 a = km+1bm+1+...+knbn ∈L(bm+1,...,bn)综上, W=L(bm+1,...,bn).

1年前查看全部

怎么判断正交矩阵正交矩阵的充分必要条件：它的列向量组为标准正交向量组,

lo13881年前1

不再要面子 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%

简单的说 就是对于一个矩阵A,A×A′=I ,A'是A的共轭矩阵,I为单位举证,共轭就是把虚部前面的正负号颠倒.

1年前查看全部

正交向量组一定线性无关,这句话错那了?为啥一定要加非零的条件?

兜兜梨418号1年前1

心雨寒冰 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%

有的教材对正交向量组定义时就已经要求了都是非零向量
所以需要看你自己的教材中是怎样定义正交向量组的
若并不要求是非零向量, 则需加上非零向量的条件
否则含 0 向量的向量组都线性相关

1年前查看全部

用施密特正交化方法,由下列向量组构造一组标准正交向量组：(1,2,2,-1)^T (1,1,-5,3)^T (3,2,8

用施密特正交化方法,由下列向量组构造一组标准正交向量组：(1,2,2,-1)^T (1,1,-5,3)^T (3,2,8,-7)^T

晕7991年前1

联想来了 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

1=a1=(1,2,2,-1)^T
b2=a2-[b1,a2]*b1/[b1,b1] = (2,3,-3,2)^T
b3=a3-[a3,b1]*b1/[b1,b1]-[a3,b2]*b2/[b2,b2] = (2,-1,-1,-2)^T

1年前查看全部

设向量组a1,a2,.am为正交向量组,证明它们线性无关

阳光梅1年前1

scr002 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

设k1a1+k2a2+……+kmam=0
两边同时(ai,k1a1+k2a2+……+kmam)=0
ki|ai|^2=0
ki=0
所以线性无关

1年前查看全部

线性代数。仍是求非零向量使构成正交向量组的问题

线性代数。仍是求非零向量使构成正交向量组的问题

问题：1、其中的x1,x2,x3是a2还是a3的分量？或是a2,a3共同设的分量？

2、为什么根据方程x1+x2+x3=0求出的基础解系需要正交规范化才能符合要求？而上一道例题（如下图）则根据方程求出的基础解系就可满足条件？二者的区别在哪？

这两道例题感觉方法都差不多，就是有两个问题仍未弄明白。恳请高手指点指点，在此先行谢过^_^

没注意到截图截掉了题目，在此补上，题目如下：

blueeagal1年前1

醉爱上海 共回答了17个问题 | 采纳率100%

请你将本题的题目给我。 不知道已知条件，以及所求内容。
x1+x2+x3=0
这是齐次线性方程组，满足条件的x1，x2，x3有无穷多个，即有无穷多解。
一般都是求解【一个】基础解系，然后用基础解系表示x1，x2，x3
有时候会要求基础解系满足正交性，就需要通过 Schmidt 正交化，单位化。
newmanhero 2015年8月13日18:46:21
希望对你有所帮助，望采纳。

1年前查看全部

将以下向量组通过施密特正交化,求标准正交向量组?a1=[1 1],b1=[1 0],

好笑的人1年前3

novogo 共回答了19个问题 | 采纳率84.2%

c1=a1=[1 1]
c2=b1-[(a1,b1)/(a1,a1)]*c1=[0.5,-0.5]

1年前查看全部

什么是单位正交向量组请问单位正交向量组定义是什么 书上没有诶 单位正交向量组和正交单位向量组是一个意思吗?

aphei_trans1年前1

海南银联拍卖有限kk 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%

是一样的
两两正交且长度为1

1年前查看全部

正交向量组必是线性无关向量组的证明有一段话如下：.两边与a1作内积,得(k1a1+k2a2+...+kmam,a1)=(

正交向量组必是线性无关向量组的证明有一段话如下：.两边与a1作内积,得(k1a1+k2a2+...+kmam,a1)=(0,a1)=0 对上式左端应用内急的线性性质得 k1(a1,a1)+k2(a2,a1)+...+km(am,a1)=0,由于(ak,a1)=0(k=2,.,m),(a1,a1)不等于0,所以上式既得k1=0,同理可证k2.km=0
我的问题是证明里加上这句由于(ak,a1)=0(k=2,.,m),有什么意义?能说明什么?

终极兵器1年前1

春天说再见 共回答了26个问题 | 采纳率84.6%

可以把一个包含m个未知数的等式变成只有一个未知数的等式,所以(ak,a1)这样k不等于1的内积为0,可以把它前面的系数去掉
至于意义,这不就是“垂直”或者“正交”的定义么?

1年前查看全部

a1=[1 2 3],求非零向量a2,a3,使a1,a2,a3为正交向量组

渡也无人1年前2

arfee2004 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

设x=(x1,x2,x3)与a1正交,则
x1+2x2+3x3 = 0.
取其一组正交的基础解系即为所求,这是常用的方法
令 x2=1,x3=0 得 a1=(-2,1,0)^T -- 这个正常取
取 x1=1,x2=2,得 a2=(1,2,5/3)^T.-- 这个x1,x2取值先满足与a1正交,代入方程定出x3

1年前查看全部