切比雪夫多项式求教...据说cos(nx)能表示成关于cosx的n次多项式.这个结论在高中数学苏教版必修4出现过,所以个

切比雪夫多项式 ,棣美弗定理在《概率论与数理统计》课本中可以学到,找大数定律与中心极限定理那章即可!
特征方程在《线性代数》课本中特征值与特征向量那章!
在《高等数学》书里没有

首先cos(2x) = 2cos²(x)-1.
于是cos(4x) = 2cos²(2x)-1 = 2(2cos²(x)-1)²-1 = 8cos(x)^4-8cos²(x)+1.
又sin(2x) = 2sin(x)cos(x),sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) = 4sin(x)cos(x)(2cos²(x)-1).
cos(5x) = cos(4x)cos(x)-sin(4x)sin(x) = 8cos(x)^5-8cos³(x)+cos(x)-4sin²(x)cos(x)(2cos²(x)-1)
= 8cos(x)^5-8cos³(x)+cos(x)-4(1-cos²(x))(2cos²(x)-1)cos(x)
= 16cos(x)^5-20cos³(x)+5cos(x).
因此P5(x) = 16x^5-20x³+5x.
易见P5(x)在[-1,1]上的值域 = P5(cos(x))在R上的值域.
而P5(cos(x)) = cos(5x),因此值域为[-1,1].
故P5(x)在[-1,1]上的值域为[-1,1].