1=0.99999999.设x=0.99999.（1）10x=9.9999999.（2）（2）-（1）得：9x=9x=1

∵0.99999……=lim(1-0.1^n)
对任意给定的正数ε,要使不等式
|(1-0.1^n) -1| = 0.1^n

0.9……就是等于1,设0.9……=x,则10x=9.9……=9+0.9……=9+x,即10x=9+x,所以x=1,即0.9……=1
不知道你是几年级,高中数学中极限原理也可以说明
0.9……=0.9+0.09+0.009+0.0009+……9*10^(-n)=9*[0.1+0.01+0.001+10^(-n)]=9*[0.1(1-10^(-n))/(1-0.1)],其中n趋近于无穷,所以9*[0.1(1-10^(-n))/(1-0.1)]=9*[0.1*1/(1-0.1)]=1
关于你的补充问题,这就是一个极限的定理.
剩下的部分永远都是原来的2/3
那么最后剩下（2/3）^n
当n趋近于正无穷时,（2/3）^n是趋近于0的
就是说在切了无数次之后是会切完的

0.99999999循环＝1,实际上就是一个极限的问题

10a=9.9999999...
10a=9+0.9999999.
10a=9+a
9a=9
a=1

那请问0.999999999.是什么?到大学学完高等数学,你就知道了.0.999999999.其实就是1

标准解法：
令x=0.99999.
显然x满足　　　　x=0.9+0.1*x　　　　
解上面的方程,x=1　　
所以 0.99999.=1这是到高中才学的,属于极限思维
你也可以这样理这里我给另一种方法：令a＝0.9999.2×a＝0.9999.＋0.9999.＝1－0.1＋0.9＋0.1－0.01＋0.09＋0.01-0.001＋0.009+0.001.
注意我取括号的方法:=1+(-0.1+0.9+0.1)+(-0.01+0.09+0.01)+(-0.001+0.009+0.001).2×a=0.999...+0.9999...=1+0.9999999.所以0.9999.=1

这个问题的关键就是对极限的认识,像0.33…的的数应该看成是以0.3为首项以0.1为公比的一个数列的所有项的和,而不能看成简单的数,而这极数就等于三分之一

这题其实可以用竖式计算也有简便方法.
相同数位对齐后,小数部分第一位上有8个9相加,第二位有7个9相加,以此类推,第八位只有一个9相加.
则最后答案为：第八位是9,第七位是18,向第六位进1,第六位是27+第七位的进1=28,向第五位进2,第五位36+第六位的进2=38,向第四位进3,第四位45+第五位的进3=48,向第三位进4,第三位54+第四位的进4=58,向第二位进5,第二位63+第三位的进5=68,向第一位进6,第一位72+第二位的进6=78,向整数部分的个位进7,所以最后结果是7.88888889.
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