十二个同学拍照,每人一张照片.应付6元,可得3张,加洗每张0.72元,平均每人付多少元?

something anything nothing everything somebody anybody nobody everybody someone no one anyone everyone

要先知道那个球是比其它球要重还是轻,那就算它比其它球重吧,其实很简单:
1.首先把12个球平分成两组,每组6个放在天平的两边,把较重的一组拿来再称.
2.把较重的一组6个球平分成两组,每组3个放在天平的两边,再次把较重的一组拿来称.
3.现在只剩下3个球,其中1个是质量有问题的球,这时只要随机拿两个球球去称,一边一个,如果称出一重一轻,这时你就知道了,如果那两个球一样重,说明没称的那个球是

把它品均分成3堆 ,每堆四个
取2堆一称
若天平平衡则在第三堆里
天平两边各取一个铁环称
若天平平衡就拿掉任意一个换上未被称的一个如果天平还平衡剩下的就是次品 不平衡拿上去的就是次品
把它平均分成3堆
取2堆一称
若天平不平衡
换掉一堆在称
然后道理同上了
可这要4次
所以应该是4次
上面那种情况要3次

这是数学问题,不是体育问题
第一步：分成三份,每份四个称,选两份称,找出异常的那份
第二步：选出异常的那份,分成两组,每组两个,再称,找出异常的一组
第三步：异常的一组只有两个了,再称最后一次吧～搞定

八个号码三个一组,如果每组号码可以有重复的话,那么可以组成512组. 8 * 8 * 8 = 512 十二个号码三个一组,如果每组号码可以有重复的话,那么可以组成1728组. 12 * 12 * 12 = 1728
希望采纳

可把12个球分成4 4 4 以下分别称为A,B,C组.
先选择任意2组称之（以下设定为A,B组称）
以下有2种情况会出现.
Ⅰ：A,B 两组重量相等：
那么取另外一组（C组）之中的2个称之：
1：C1=C2 则代表异常球在C3,C4中,再拿任意一正常球与C3或C4称之,相同则另一球为异常球,不同则本身为异常球；
2：C1≠C2 则代表异常球在C1,C2中,再拿任意一正常球与C1或C2称之,相同则另一球为异常球,不同则本身为异常球.
Ⅱ：A,B两组重量不相等：
又分3种情况：
1： A123+B1A4+C123
3： A123+B1=A4+C123
1 异常的一定是 A123其中之一,而且是轻的 那就把 A1与A2称 ,相等则A3为异常球 不等则轻的为异常球；
2 异常的一定是B1或A4 那就找个好的和其中一个称一下就行了；
3 异常的一定是B2,B3,B4其中一个,而且还是重的,再拿B2与B3称,相等,B4为异常球,否则重的为异常球.

拼法很多啊,
最长的情况是：十二个连在一起,长为12,宽为1.此时周长为：26

十三种

明明

1）①1-2+3-4+5-6-7+8-9+10-11+12=0；②2-1+4-3+6-5+7-8+9-10+11+12=0；③1+2-3-4+5-6-7+8-9-10+11+12=0④3+4-1-2-5+6+7-8+9+10-11-12=0⑤1+2+3-4-4-6-7-8-9+10+11+12=0⑥-1-2-3+4+5+6+7+8+9-10-11-12=0
（2）不能.因为2+4+6+8+10+12=42,若要改变这些数前的符号使之代数和为0,则正数、负数之和需为21和-21,易知偶数之和为偶数不为奇数,所以不能改变钟面上的数……
（3）运用加减乘除四则运算使这12个数的运算结果为24
（4）三点四十五分到三点五十分之间,九点十五分到九点二十分之间（不等于）
（5）这个.

同意“herbenhui”说法,不学音标直接用拼音读英语以后不太好改,不过像我这种没打算学日语的人,随便学几句,就用拼音了,例如:我回来了“他大姨妈”
anyway,给你附上中文读法（肯定和正确读音有区别,拼音中1、2、3、4代表声调,没有的读轻音,有些中文不存在的音,但是英语读法和这种拼音读法相近,比如pe就是“破”的辅音加“饿”,fai等；只有辅音的就读辅音,如b就读“不”的辅音）：
January 1月 摘牛饿瑞(zhai1 niu e rui)
February 2月 佛爱博若瑞(fai1 b ruo rui)
March 3月 骂吃(ma4 chi)
April 4月 ei浦肉(ei1 pu rou)
May 5月 妹(mei4)
June 6月 住恩(zhu4 en)
July 7月 猪赖(zhu1 lai4)
August 8月 凹个私特(ao1 ge si te)
September 9月 色婆谈m波(se3 p tai1 m be)
October 10月 凹克涛波(ao1 k tao1 be)
November 11月 nou弯m波(nou3 wan1 m be)
December 12月 底三m波(di3 sai1 m be)

January February March April May June July August September October November Decembe

一月：January
二月：February
三月：March
四月：April
五月：May
六月：June
七月：July
八月：August
九月：September
十月：October
十一月：November
十二月：Decembe

12×5/6-2/3
=10-2/3
=9又1/3

正三角形
a+b=15
a+c=20
b+c=17
解得a=9,b=6,c=11
倒三角形
d+e=16
d+f=14
e+f=22
解得d=4,e=12,f=10
9
12 3 1 10
8 5
6 2 7 11
4

题目中并没有明确说明特殊小球的轻重情况,直接假设其轻重不严谨
参考答案1（不是我的）：
首先,把12个小球分成三等份,每份四只.
拿出其中两份放到天平两侧称（第一次）
情况一：天平是平衡的.
那么那八个拿上去称的小球都是正常的,特殊的在四个里面.
把剩下四个小球拿出三个放到一边,另一边放三个正常的小球（第二次）
如天平平衡,特殊的是剩下那个.
如果不平衡,在天平上面的那三个里.而且知道是重了还是轻了.
剩下三个中拿两个来称,因为已经知道重轻,所以就可以知道特殊的了.（第三次）
情况二：天平倾斜.
特殊的小球在天平的那八个里面.
把重的一侧四个球记为A1A2A3A4,轻的记为B1B2B3B4.
剩下的确定为四个正常的记为C.
把A1B2B3B4放到一边,B1和三个正常的C小球放一边.（第二次）
情况一：天平平衡了.
特殊小球在A2A3A4里面,而且知道特殊小球比较重.
把A2A3称一下,就知道三个里面哪个是特殊的了.（第三次）
情况二：天平依然是A1的那边比较重.
特殊的小球在A1和B1之间.
随便拿一个和正常的称,就知道哪个特殊了.（第三次）
情况三：天平反过来,B1那边比较重了.
特殊小球在B2B3B4中间,而且知道特殊小球比较轻.
把B2B3称一下,就知道哪个是特殊的了.（第三次）
参考答案2：
此称法称三次就保证找出那个坏球,并知道它比标准球重还是轻.
将十二个球编号为1-12.
第一次,先将1-4号放在左边,5-8号放在右边.
1.如果右重则坏球在1-8号.
第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放
在右边.就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边.
1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号.如果是1号,
则它比标准球轻；如果是5号,则它比标准球重.
第三次将1号放在左边,2号放在右边.
1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；
3.这次不可能左重.
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球轻.
第三次将2号放在左边,3号放在右边.
1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻.
3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球重.
第三次将6号放在左边,7号放在右边.
1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则6号是坏球且比标准球重.
2.如果天平平衡,则坏球在9-12号.
第二次将1-3号放在左边,9-11号放在右边.
1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重.
第三次将9号放在左边,10号放在右边.
1.如果右重则10号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则9号是坏球且比标准球重.
2.如果平衡则坏球为12号.
第三次将1号放在左边,12号放在右边.
1.如果右重则12号是坏球且比标准球重；
2.这次不可能平衡；
3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻.
3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻.
第三次将9号放在左边,10号放在右边.
1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻.
3.如果左重则坏球在1-8号.
第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放
在右边.就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边.
1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球轻.
第三次将6号放在左边,7号放在右边.
1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻.
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球重.
第三次将2号放在左边,3号放在右边.
1.如果右重则3号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则2号是坏球且比标准球重.
3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号.如果是1号,
则它比标准球重；如果是5号,则它比标准球轻.
第三次将1号放在左边,2号放在右边.
1.这次不可能右重.
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则1号是坏球且比标准球重；

可以买15个

很简单,先随便拿2个出来,剩下的10个天平上一面放5个,如果天平平衡,说明轻的在拿出来的那2个之中,再用天平一称就知道了,哪端高,哪端的球就是轻的,如果天平不平衡,说明轻的球在天平高起来那端的5个之中,方法同上,再随便拿出来1个,剩下的4个天平上一面放2个,如果天平平衡,说明轻的就是拿出来的那个球,如果天平不平衡,说明轻的球在天平高起来那端的2个之中,再用天平一称就知道了,哪端高,哪端的球就是轻的!回答完毕,嘿嘿!

建议以后还是把题目发上来,否则像你现在这样提问是不可能得到解答的.

设第二个盘子里有 x 个水果,第三个盘子里有 y 个水果,已知,编号相邻的三个果盘中水果数的和都相等,则有：第 1、4、7、10、13 个盘子里...

（1）①党的领导、人民当家作主、依法治国是有机统一的。“十二五规划”的制定过程体现党的领导、人民当家作主和依法治国的有机统一。②党的领导是人民当家作主和依法治国的根本保证。“十二五规划”首先由党讨论，并出台《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十二个五年规划的建议》，国务院根据《建议》编制《规划纲要（草案）》并提请十一届全国人大四次会议审查体现了这一点。③人民当家作主是社会主义民主政治的本质和核心。“十二五规划”的制定必须由全国人大审议通过体现了这一点。④依法治国是党领导人民治理国家的基本方略。支持人大履行国家权力机关的立法职能，经过法定程序，使党的主张成为国家意志，这是党依法执政的重要体现。“十二五规划”的制定过程，体现了党坚持依法执政，也体现了全国人大依法决定国家的大政方针，贯彻了依法治国的基本方略。
（2）①社会存在决定社会意识，社会存在的变化决定社会意识的变化。近年来，民生问题成为制约中国经济发展的突出因素，要求党中央着力保障和改善民生。②人民群众是历史的创造者，要求我们树立群众观点，坚持群众路线。着力保障和改善民生，是贯彻落实党的群众观点和坚持群众路线的必然要求。③我们要自觉站在最广大人民的立场上，把人民群众的利益作为最高的价值标准，牢固树立为人民服务的思想，把维护人民的利益作为自己最高的价值追求。着力保障和改善民生，维护了最广大人民的根本利益，属于正确的价值判断和价值选择。④价值观的导向作用，要求我们树立正确的价值观。着力保障和改善民生，是贯彻落实科学发展观，坚持以人为本的必然要求。

在5、7、8、9、10前面加负号

参考一下
用天平称乒乓球的重量,每称一次会有几种结果?有三种不同的结果,即左边的重量重于、轻于或者等于右边的重量,为了做到 称三次就能把这个不合格的乒乓球找出来,必须把球分成三组(各为四只球).现在,我们为了解题的方便,把这三组乒乓球分别编号为 A组、B组、C组.
首先,选任意的两组球放在天平上称.例如,我们把A、B两组放在天平上称.这就会出现两种情况:
第一种情况,天平两边平衡.那么,不合格的坏球必在c组之中.
其次,从c组中任意取出两个球 (例如C1、C2)来,分别放在左右两个盘上,称第二次.这时,又可能出现两种情况:
1·天平两边平衡.这样,坏球必在C3、C4中.这是因为,在12个乒乓球中,只有一个是不合格的坏球.只有C1、C2中有一个是坏球时,天平两边才不平衡.既然天平两边平衡了,可见,C1、C2都是合格的好球.
称第三次的时候,可以从C3、C4中任意取出一个球(例如C3),同另一个合格的好球(例如C1)分别放在天平的两边,就可以推出结果.这时候可能有两种结果:如果天平两边平衡,那么,坏球必是C4;如果天平两边不平衡,那么,坏球必是C3.
2·天平两边不平衡.这样,坏球必在C1、C2中.这是因为,只有C1、C2中有一个是坏球时,天平两边才不能平衡.这是称第二次.
称第三次的时候,可以从C1、C2中任意取出一个球(例如C1),同另外一个合格的好球(例如C3),分别放在天平的两边,就可以推出结果.道理同上.
以上是第一次称之后出现第一种情况的分析.
第二种情况,第一次称过后天平两边不平衡.这说明,c组肯定都是合格的好球,而不合格的坏球必在A组或B组之中.
我们假设:A组 (有A1、A2、A3、A4四球)重,B组(有B1、B2、B3、B4四球)轻.这时候,需要将重盘中的A1取出放在一旁,将A2、A3取出放在轻盘中,A4仍留在重盘中.同时,再将轻盘中的B1、 B4取出放在一旁,将B2取出放在重盘中,B3仍留在轻盘中,另取一个标准球C1也放在重盘中.经过这样的交换之后,每盘中各有三个球:原来的重盘中,现在放的是A4、B2、C1,原来的轻盘中,现在放的是A2、A3、B3.
这时,可以称第二次了.这次称后可能出现的是三种情况:
1·天平两边平衡.这说明A4B2C1=A2A3B3,亦即说明,这六只是好球,这样,坏球必在盘外的A1或B1或B4之中.已知A盘重于B盘.所以,A1或是好球,或是重于好球;而B1、B4或是好球,或是轻于好球.
这时候,可以把B1、B4各放在天平的一端,称第三次.这时也可能出现三种情况:(一)如果天平两边平衡,可推知A1是不合格的坏球,这是因为12只球只有一只坏球,既然B1和B4重量相同,可见这两只球是好球,而A1为坏球;(二)B1比B4轻,则B1是坏球;(三) B4比B1轻,则B4是坏球,这是因为B1和B4或是好球,或是轻于好球,所以第三次称实则是在两个轻球中比一比哪一个更轻,更轻的必是坏 球.
2·放着A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放A2、A3、B3的盘子(原来放B组)重.在这种情况下,则坏球必在未经交换的A4或B3之中.这是因为已交换的B2、A2、A3个球并未影响轻重,可见这三只球都是好球.
以上说明A4或B3这其中有一个是坏球.这时候,只需要取A4或B3同标准球C1比较就行了.例如,取A4放在天平的一端,取C1放在天平的另一端.这时称第三次.如果天平两边平衡,那么B3是坏球; 如果天平不平,那么A4就是坏球 (这时A4重于C1).
3.放A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放在A2、A3、B3的盘 子(原来放B组)轻.在这种情况下,坏球必在刚才交换过的A2、A3、B23球之中.这是因为,如果A2、A3、B2都是好球,那么坏球必在A4或B3之中,如果A4或B3是坏球,那么放A4、B2、C1的盘子一定 重于放A2、A3、B3的盘子,现在的情况恰好相反,所以,并不是A2、A3、B2都是好球.
以上说明A2、A3、B2中有一个是坏球.这时候,只需将A2同A3相比,称第三次,即推出哪一个是坏球.把A2和A3各放在天平的一端 称第三次,可能出现三种情况:(一)天平两边乎衡,这可推知B2是坏球;(二)A2重于A3,可推知A2是坏球;(三)A3重于A2,可推知A3是坏球.

分3组,取其2组,要是平衡,次品在第三组,其他都是正品.
第三组分2组,放天平一边,另一边放2个正品,必定能找出次品的一组.
拿次品一组的一个和一个正品放天平2边,必定能找出次品的那个.
字数不够,其他情况略

1 2 3 4 5 -6 7 8 9 -10 -11 -12 =0
1-2 3-4 5-6-7 8-9 10-11 12=0

1.
分A B C三组
A和B称,平衡则在C,不平衡则在重的一边
2.
4个分两D E组
D和E称,在重的一边
3.
剩下两颗了,一称就出来了

12=2*2*3,12=1*3*4,12=1*2*6,12=1*1*12.其中2+2+3最小
则2*5+2*4+3*3最小,
最小表面积是（10*8+8*9+9*10）*2=484

错.有无数个

可以!第一次：一边六个,选出轻的那六个；第二次：把挑出轻的那六个分两组,每组三个,放天平两端,挑出轻的那三个；第三次：在轻的那三个里任意选两个,放天平两端,如果平了,那剩下的那个就是轻的那个,如果不平,你就可以根据天平看出哪个轻了!总共三次!

很简单,分别沿各个面的对角线裁开就行 ,你画一个立方体,然后把每个面对角线都画上,你就会发现,相邻两个面的相邻两三角形沿棱平铺后为一个正方形
这样可以么?

分下列几种情况一：1*1*12 表面积50
二：2*1*6 表面积40
三：1*3*4 表面积38
四2*2*3 表面积28
规律越集中表面积越小

名副其实-名不副实/徒有虚名
从容不迫-惊慌失措
一步登天-一落千丈
固若金汤-岌岌可危 一触即溃 危如累卵
阳春白雪-下里巴人
高瞻远瞩-苟且偷安 鼠目寸光
流芳百世-遗臭万年
千变万化-一成不变
理直气壮-理屈词穷
天衣无缝-漏洞百出
蒸蒸日上-每况愈下
神采奕奕-无精打采

I'm=I am ; it's=it is ; What's=What is ; name's=name is ; isn't=isn it ; Where's=Where is ;
THey're=They are ; don't =don not ; doesn't=doesn not ; Let's=Let is ; can't =can not ; who's=who is ; That's=That is 我只找到了这些,够吗?

…

时针转满一圈是三百六十度

将球编号：
　　A:1 2 3 4 B:5 6 7 8 C：9 10 11 12
第一次：A左端 B 右端
结果有三种可能：
一、A=B,则异球在C组；
第二次：A组任取3个放左端,C组任取3个放右端
结果仍有三种可能：A3=C3,则C组剩下的那一个为异球,再称一次答案很明显；
若A3>C3或A3B或AB或AB,且A在左端,B在右端：
第二次：任取A组两个和B组一个放左端,A组另外两个和B组一个放右端,结果仍有
三种可能：
左端=右端,则B组剩下的两个含异球,且根据A>B,为较轻的,将剩下的两个称第三
次,答案很明显；
左端>右端,根据A>B,则异球在A左两个且较重或在B右一个且较轻,将A左两个称
第三次,若平衡,答案很明显为B右且较轻；不平衡则较重的为目标球；
左端B,则异球在A右两个且较重或B左一个且较轻,将A右两个称
第三次,若平衡,答案很明显为B左且较轻；不平衡则较重的为目标球；

第一次,六个一放,哪一边轻就说明次品在那六个中.第二次,把那六个分成三个一放,哪边轻说明次品在哪边.第三次,把那三个,随便取两个称,如果两边一样平,那么就说明,剩下来的那个是次品；如果有一边轻,那么次品就是轻的那个.
一共称三次.

不用想勒肯定过勒

《三思科学》电子杂志
第三期,2001年9月1日
http://www.***.com.cn/magazine/200109
称球问题——经典智力题推而广之三
异调
说明
这篇文章试图给出称球问题的一个一般
的和严格的解答.正因为需要做到一般和严
格,就要考虑许多平时遇不到的特别情形,
所以叙述比较繁琐.如果对读者对严格的证
明没有兴趣,可以只阅读介绍问题和约定记
号的第一、第二节,以及第三节末尾27个球
的例子,和第五节13个球和40个球的解法.
事实上所有的技巧都已经表现在这几个例子
里了.
一、问题
称球问题的经典形式是这样的：
“有十二个外表相同的球,其中有一个坏球,它的重量和其它十
一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别.现在有一架没有砝码的
很灵敏的天平,问如何称三次就保证找出那个坏球,并知道它比标准
球重还是轻.”
这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了.它的一种解法如
下：
将十二个球编号为1-12.
第一次,先将1-4号放在左边,5-8号放在右边.
1.如果右重则坏球在1-8号.
第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放
在右边.就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边.
1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号.如果是1号,
则它比标准球轻；如果是5号,则它比标准球重.
第三次将1号放在左边,2号放在右边.
1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；
3.这次不可能左重.
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球轻.
第三次将2号放在左边,3号放在右边.
1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻.
3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球重.
第三次将6号放在左边,7号放在右边.
1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则6号是坏球且比标准球重.
2.如果天平平衡,则坏球在9-12号.
第二次将1-3号放在左边,9-11号放在右边.
1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重.
第三次将9号放在左边,10号放在右边.
1.如果右重则10号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则9号是坏球且比标准球重.
2.如果平衡则坏球为12号.
第三次将1号放在左边,12号放在右边.
1.如果右重则12号是坏球且比标准球重；
2.这次不可能平衡；
3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻.
3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻.
第三次将9号放在左边,10号放在右边.
1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻.
3.如果左重则坏球在1-8号.
第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放
在右边.就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边.
1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球轻.
第三次将6号放在左边,7号放在右边.
1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻.
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球重.
第三次将2号放在左边,3号放在右边.
1.如果右重则3号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则2号是坏球且比标准球重.
3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号.如果是1号,
则它比标准球重；如果是5号,则它比标准球轻.
第三次将1号放在左边,2号放在右边.
1.这次不可能右重.
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则1号是坏球且比标准球重；
够麻烦的吧.其实里面有许多情况是对称的,比如第一次称时的
右重和右轻,只需考虑一种就可以了,另一种完全可以比照执行.我
把整个过程写下来,只是想吓唬吓唬大家.
稍微试一下,就可以知道只称两次是不可能保证找到坏球的.如
果给的是十三个球,以上的解法也基本有效,只是要有个小小的改动,
就是在这种情况下,在第一第二次都平衡的时候,第三次还是有可能
平衡（就是上面的第2.2.2步）,那么我们可以肯定坏球是13号球,可
是我们没法知道它到底是比标准球轻,还是比标准球重.如果给的是
十四个球,我们会发现无论如何也不可能只称三次,就保证找出坏球.
一个自然而然的问题就是：对于给定的自然数N,我们怎么来解有
N个球的称球问题?
在下面的讨论中,给定任一自然数N,我们要解决以下问题：
⑴找出N球称球问题所需的最小次数,并证明以上所给的最小次数的确
是最小的；
⑵给出最小次数称球的具体方法；
⑶如果只要求找出坏球而不要求知道坏球的轻重,对N球称球问题解决
以上两个问题；
还有一个我们并不是那么感兴趣,但是作为副产品的问题是：
⑷如果除了所给的N个球外,另外还给一标准球,解决以上三个问题.
二、记号
我们先不忙着马上着手解决上述问题.先得给出几个定义,尤其
是,要给出比较简单的符号和记法.大家看到上面给出的解法写起来
实在麻烦——想象一下如果我们要用这种方法来描述称40个或1000个
球的问题!
仍旧考虑十二个球的情况和上面举的解法.在还没有开始称第一
次时,我们对这十二个球所知的信息就是其中有一或较轻,或较重的
坏球,所以以下24种情况都是可能的：
1. 1号是坏球,且较重；
2. 2号是坏球,且较重；
……
12. 12号是坏球,且较重；
13. 1号是坏球,且较轻；
14. 2号是坏球,且较轻；
……
24. 12号是坏球,且较轻.
没有其他的可能性,比如说“1、2号都是坏球,且都较重”之类.当
我们按上面解法“先将1-4号放在左边,5-8号放在右边”称过第一次
以后,假设结果是右重,稍微分析一下,就会知道上面的24种情况中,
现在只有8种是可能的,就是
1. 1号是坏球,且较轻；
2. 2号是坏球,且较轻；
3. 3号是坏球,且较轻；
4. 4号是坏球,且较轻；
5. 5号是坏球,且较重；
6. 6号是坏球,且较重；
7. 7号是坏球,且较重；
8. 8号是坏球,且较重.
我们把诸如“1号是坏球,且较重,其他球都正常”和“2号是坏球,
且较轻,其他球都正常”这样的情况,称为一种“布局”,并记为：
(1重) 和 (2轻)
我们把“先将1-4号放在左边,5-8号放在右边”这样的步骤,称为一
次“称量”.我们把上面这次称量记为
(1,2,3,4; 5,6,7,8)
或
(1-4; 5-8)
也就是在括号内写出参加称量的球的号码,并且以分号分开放在左边
和放在右边的球号.在最一开始,我们有24种可能的布局,而在经过
一次称量(1-4; 5-8)后,如果结果是右重,我们就剩下上述8种可能
的布局.我们的目的,就是要使用尽量少的称量,而获得唯一一种可
能的布局——这样我们就知道哪个球是坏球,它是比较重还是比较轻.
这里我们注意到没有必要去考虑两边球数不相等的称量.因为坏
球和标准球重量之间的差别很小,小于标准球的重量,所以当天平两
边球数不一样时,天平一定向球比较多的那边倾斜.所以在进行这样
一次称量之前,它的的结果就可以被预料到,它不能给我们带来任何
新的信息.事实上在看完本文以后大家就很容易明白,即使坏球和标
准球重量之间的差别很大,也不会影响本文的结论.因为考虑这种情
况会使问题变麻烦,而并不能带来有趣的结果,我们就省略对此的考
虑.
现在我们看到,上面关于十二个球问题的解法,其实就是由一系
列称量组成的——可不是随随便便的组合,而是以这样的形式构成的：
称量1
如果右重,则
称量3
……
如果平衡,则
称量2
……
如果左重,则
称量4
……
省略号部分则又是差不多的“如果右重,则……”等等.所以这就提
示我们用树的形式来表示上面的解法：树的根是第一次称量,它有三
个分支（即三棵子树,于是根有三个子节点）,分别对应着在这个称
量下的右重、平衡、左重三种情况.在根的三个子节点上,又分别有
相应的称量,和它们的三个分支……如果具体地写出来,就是
|--右--( 1轻)
|--右--(1 ; 2)|--平--( 5重)
| |--左--( )
|
| |--右--( 2轻)
|--右--(1,6-8; |--平--(2 ; 3)|--平--( 4轻)
| 5,9-11)| |--左--( 3轻)
| |
| | |--右--( 7重)
| |--左--(6 ; 7)|--平--( 8重)
| |--左--( 6重)
|
| |--右--(10重)
| |--右--(9 ;10)|--平--(11重)
| | |--左--( 9重)
| |
| | |--右--(12重)
(1-4;5-8)|--平--(1-3; |--平--(1 ;12)|--平--(13轻, 13重)*
| 9-11)| |--左--(12轻)
| |
| | |--右--( 9轻)
| |--左--(9 ;10)|--平--(11轻)
| |--左--(10轻)
|
| |--右--( 6轻)
| |--右--(6 ; 7)|--平--( 8轻)
| | |--左--( 7轻)
| |
| | |--右--( 3重)
|--左--(1,6-8; |--平--(2 ; 3)|--平--( 4重)
5,9-11)| |--左--( 2重)
|
| |--右--( )
|--左--(1 ; 2)|--平--( 5轻)
|--左--( 1重)
（*：对应十三个球的情形.）
这里“右”、“平”和“左”分别表示称量的结果为“右重”、“平
衡”和“左重”所对应的分支.在树的叶子（就是最右边没有子节点
的那些节点）部分,我们标出了“能够到达”这些节点的布局,也就
是说在进行每一节点上的称量时,这个布局所给的结果和通往相对应
的叶子的道路上所标出的“右”、“平”和“左”相符合.从这个图
我们也可以清楚地看到,根下的左分支和右分支是对称的：只需要把
所有的“右”改成“左”,“左”改成“右”,“轻”改成“重”,
“重”改成“轻”；节点(1-3; 9-11)下的左分支和右分支也有这个
特点.
（如果有朋友对树理论感兴趣,可以参考随便哪一本图论或者离
散数学的书.在这里我们只用到树理论里最基本的知识,所用的名词
和结论都是相当直观的.所以如果你不知道树理论,用不着特别去学
也可以看懂这里的论证.）
所以给定一棵三分树（就是说除了叶子以外其他的节点都有三个
子节点的树）,在每个不是叶子的节点上给定一个称量,并且规定这
个节点下的三个分支（子树）分别对应右重、平衡、左重的情况,我
们就得到了一种称球的方法.我们把这样一棵三分树称为一个“策略”
或一棵“策略树”.你可以给出一个平凡的策略,比如说无论发生了
什么事总是把1号和2号球放在左右两侧来称（在叶子上我们没有写出
相应的布局,用@来代替）：
|--右--@A
|--右--(1; 2)|--平--@
| |--左--@
|
| |--右--@
(1; 2)|--平--(1; 2)|--平--@
| |--左--@
|
| |--右--@B
| |--右--(1; 2)|--平--@
| | |--左--@
| |
| | |--右--@
|--左--(1; 2)|--平--(1; 2)|--平--@
| |--左--@
|
| |--右--@
|--左--(1; 2)|--平--@
|--左--@
当然这么个策略没什么用场,只能让我们知道1号球和2号球之间的轻
重关系.另外我们看到,每个分支不一定一样长,上面这棵策略树根
下面左分支就比较长.
一棵树的高度是叶子到根之间的结点数的最大值加一.比如说上
面这个图中,叶子A和根间有1个节点,而叶子B和根间有2个节点,没
有和根之间的节点数超过2的叶子.所以它的高度是2+1=3.前面十二
球解法策略树的高度也是3.一棵没有任何分支,只有根节点的树,我
们定义它的高度是0.
显然,策略树的高度就是实行这个策略所需要的称量的次数.我
们的目的,就是找到一棵“好”的策略树,使得它的高度最小.
什么是“好”策略?我们回过头来再看十二球解法策略树.我们
说过,叶子上的那些布局都是从根开始通向叶子的.比如说布局(7重),
它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略,三次称量的结果是“右
左右”；又比如说布局(11重),它之所以在那片叶子上是因为按照这
个策略,三次称量的结果是“平右平”.如果两个布局通向同一片叶
子,那么就是说按照这个策略,三次称量的结果是完全一样的,于是
我们就不能通过这个策略来把这两种布局区分开来.比如说在十三个
球的情况下,(13轻)和(13重)都通向和“平平平”相对应的叶子,这
两个布局中13号球或者轻或者重,于是我们知道13号球一定是坏球,
但是通过这个策略我们不可能知道它到底是轻还是重.
所以对于标准的称球问题（找出坏球并知其比标准球重或轻）的
“好”策略,就是那些能使不同的布局通向不同的叶子的策略.
三、每个球都已知可能为轻或可能为重的情况
先引入一个记号：对于任意实数a,我们用{a}表示大于等于a的最
小整数,比如说{2.5}=3,{4}=4；我们用[a]表示小于等于a的最大整
数,比如说[2.5]=2,[4]=4.
我们首先考虑这样一种布局的集合.假设m,n为两个非负实数,
不同时为0.在编号从1到m+n的m+n个球中,我们知道1到m号球要么是
标准球,要么比标准球重,而m+1到m+n号球要么是标准球,要么比标
准球轻；我们还知道其中有一个是坏球（但不知轻重）.换句话说,
我们知道真实的情况是以下m+n种布局之一：
1. 1号是坏球,且较重；
2. 2号是坏球,且较重；
……
m. m号是坏球,且较重；
m+1. m+1号是坏球,且较轻；
m+2. m+2号是坏球,且较轻；
……
m+n. m+n号是坏球,且较轻.
有一种特殊的情况是m=0或n=0,也就是说坏球的是轻还是重已经知,常
常被用来单独作为智力题.
结论1：
1)在以上条件成立的情况下,要保证在m+n个球中找出坏球并知道
其轻重,至少需要称{log3(m+n)}次.
2)如果m和n不同时为1,那么称{log3(m+n)}次就足够了.如果
m=n=1,并且另有一标准球,那么称{log3(m+n)}={log3(1+1)}=1
次也足够了.
这里log3表示以3为底的对数.
需要对2)作点说明.如果m=n=1而没有标准球的话,那么是永远也
称不出坏球来的.把两个球一边一个放在天平上,必然是1号重2号轻.
但是由于没有标准球,我们无法知道是坏球比较重所以1号是坏的,还
是坏球比较轻所以2号是坏的.如果有标准球,只要把1号球和标准球
比较一下.如果天平不平衡,那么1号球是坏球,且比较重；如果天平
平衡,那么2号球是坏球,且比较轻.策略树如下：（用s表示标准球）
|--右--( )
|
|
(1; s)|--平--(2轻)
|
|
|--左--(1重)
现在来证明1).在上面我们看到,可能的布局是m+n种（1重,2重,
……,m重,m+1轻,m+2轻,……,m+n轻）.假设我们已经有一个策
略能保证在这m+n个球中找出坏球并知道其轻重,那么每一个布局都要
通向策略树上的不同叶子,这棵策略树至少需要有m+n片叶子.但是一
棵高度为H的三分树最多只能有3H片叶子.于是这棵策略树必须满足条
件
3H ≥ m+n
也就是
H ≥ log3(m+n)
考虑到H是整数,我们就证明了
H ≥ {log3(m+n)}
现在我们要具体找到一棵高度为{log3(m+n)}的策略树,使得m+n
种布局通向它的不同叶子.我们对k=m+n使用数学归纳法.
首先k=1.那么称都不要称,因为必有一坏球,那么坏球就是唯一
的1号球.如果是m=1,n=0,那么1号球比较重；如果是m=0,n=1,那
么1号球比较轻.需要的称量次数为{log3(1)}=0.
对于k=2.m=1,n=1的情况已经讨论过了.考虑m=2,n=0.这时我
们知道坏球比较重.只要把1号球和2号球放在天平两边一称,哪个比较
重哪个就是坏球.策略树如下：
|--右--(2重)
|
|
(1; 2)|--平--( )
|
|
|--左--(1重)
m=0,n=2的情况完全类似.
假设对于m+n＜k的情况我们都可以用{log3(k)}次称出坏球.考虑
m+n=k的情况.我们把1到m号球称为第一组球,m+1到n号球称为第二组
球.
设H={log3(m+n)}＝{log3(k)}.那么我们有
3H-1 ＜ k ≤ 3H
3H-2 ＜ k/3 ≤ 3H-1
3H-2 ＜ {k/3} ≤ 3H-1
于是
{log3{k/3}}=H-1.
现在我们把这k个球分为三第一堆和第二堆分别有{k/3}个球,
并且这两堆中属于第一组的球的数目一样（于是属于第二组的球的数
目也一样）,第三堆中有k-2{k/3}个球（也就是其余的球）.举一个
例子,如果m=7,n=3,那么这三堆可以分成这样：（当然不是唯一的
分法）
第一堆：1,2,3,7 （属于第一组的3个,第二组的1个）
第二堆：4,5,6,8 （属于第一组的3个,第二组的1个）
第三堆：9,10
这样的分堆总是可能的吗?如果m或n是偶数,那就很简单.比如
说假设m是偶数,有两种可能性.如果m/2≥{k/3},那么就从第一组球
中各取{k/3}个球作为第一和第二堆（这时在第一第二堆中只有第一组
的球）；如果m/2＜{k/3},那么就把第一组球分为相同的m/2个球的两
堆,再分别用{k/3}-m/2个第二组球去把它们补充成{k/3}个球的两堆
（这时在第三堆中就只有第二组的球了）.很显然这样的分堆符合上
面的要求.
如果m和n都是奇数,事情就有点复杂.首先如果(m-1)/2≥{k/3}
的话,那么按上面的方法也很容易把球按要求分为三堆.但是如果
(m-1)/2＜{k/3},我们就必须先从第一组中各拿出(m-1)/2个球放入第
一和第二堆,再从第二组中各拿出{k/3}-(m-1)/2个球将它们补充到各
有{k/3}个球为止.这就需要从第二组中总共拿得出2({k/3}-(m-1)/2)
个球来.所以必须有
2({k/3}-(m-1)/2) ≤ n
即
2{k/3} ≤ (m-1)+n
2{k/3} ≤ k-1
这个不等式在k=3或k＞4时总是成立的,但是对k=4就不成立.所以我
们要对k=4且m,n都是奇数的情况作特殊处理.我们只需考虑m=3,n=1
这种情况.把1号球和2号球放在天平两端,如果不平衡,那么较重的
那个是坏球；如果平衡,那么把1号球和3号球放在天平两端,平衡则
4号球为坏球且较轻,不平衡则3号球为坏球且较重.策略树如下：
|--右--(2重)
|
| |--右--(3重)
(1; 2)|--平--(1; 3)|--平--(4轻)
| |--左--( )
|
|--左--(1重)
m=1,n=3的情况完全类似.
于是现在我们就可以毫无障碍地假设,我们已经将m+n=k个球分为
这样的三堆：第一堆和第二堆分别有{k/3}个球,并且这两堆中属于第
一组的球的数目一样（于是属于第二组的球的数目也一样）,第三堆
中有k-2{k/3}个球（也就是其余的球）.
我们把第一堆球和第二堆球分别放在天平的左右两端.如果平衡,
那就说明坏球在第三堆里,这样我们就把问题归结为一个k-2{k/3}个
球的问题；如果右边比较重,那么我们得到结论：要么是坏球比较轻,
并且它在第一堆中的第二组球,也就是可能较轻的那些球中,要么是
坏球比较重,并且它在第二堆中的第一组球,也就是可能较重的那些
球中,下面它就归结为一个{k/3}个球的问题了；如果是左边比较重,
那么我们也完全类似地将问题归结为一个{k/3}个球的问题.开始的策
略树如下：（小球的编号作了适当变化：假设1,2,……,s为第一堆
中的第一组球,1',2'……,s'为第二堆中的第一组球,(s+1),……
为第一堆中的第二组球,(s+1)'为为第二堆中的第二组球）
归结为坏球在
|--右--(1',2',……,s',s+1,……)中
| 的问题（{k/3}个球）
|
|
(1,2,……,s,s+1,……; |
1',2',……,s',(s+1)',……)|--平--归结为坏球在第三堆中的问题
| （k-2{k/3}个球）
|
| 归结为坏球在
|--左--(1,2,……,s,(s+1)',……)中
的问题（{k/3}个球）
考虑到k-2{k/3}≤{k/3},另外此次称量后我们至少可以得到一个标准
球（如果不平衡,第三堆里的球均为标准球,否则第一第二堆里的球
均为标准球）.根据归纳假设,上面得到“左”、“平”、“右”三
种情况归结后的问题都可以用{log3{k/3}}=H-1次的称法来解决.所
以加上这第一次称量,k个球只需{log3(k)}次称量就可以找出坏球.
在这节的最后我们给出一个具体的例子：如果有27个球,其中有
一个坏球,而且已知第一堆1-14号球如果其中一个是坏球,那么它比
标准球重,第二堆15-27号球如果其中一个是坏球,那么它比标准球轻.
根据结果1,我们知道只要[log3(27)]=3次就可以找出坏球.
按照上面的称法,首先将27个球分为三堆,第一第二堆的个数为
{27/3}=9个球,而且其中分别属于第一和第二组的球的个数相同.于
是我们可以取：
第一堆： 1-7,15-16
第二堆：8-14,17-18
第三堆：19-27
现在把第一和第二堆放在天平左右两端,如果平衡,我们就归结为在
19-27号9个球中其中有个较轻坏球的问题；如果右边重,我们就归结
为坏球在8-14,15-16中的问题；如果左边重,我们就归结为坏球在
1-7,17-18中的问题.这三种情况都是9个球的问题.
|--右--归结为坏球在8-14,15-16中的问题
|
|
(1-7,15-16; |
8-14,17-18|--平--归结为坏球在19-27中的问题
|
|
|
|--左--归结为坏球在1-7,17-18中的问题
三种情况中我们只具体做一种：坏球在1-7,17-18中的问题.同
样地我们将其分为三堆
第一堆：1-3
第二堆：4-6
第三堆：7,17-18
照上面类似地我们有策略树
|--右--归结为坏球在4-6中的问题
|
|
(1-3; 4-6)|--平--归结为坏球在7,17-18中的问题
|
|
|--左--归结为坏球在1-3中的问题
于是变成了3个球的问题,解决方法就很显然了,我们把上面的策略树
写完整：
|--右--( 5重)
|--右--(4 ; 5)|--平--( 6重)
| |--左--( 4重)
|
| |--右--(17轻)
(1-3; 4-6)|--平--(17;18)|--平--( 7重)
| |--左--(18轻)
|
| |--右--( 2重)
|--左--(1 ; 2)|--平--( 3重)
|--左--( 1重)
类似地我们写出坏球在8-14,15-16中的问题的策略树：
|--右--(12重)
|--右--(11;12)|--平--(13重)
| |--左--(11重)
|
| |--右--(15轻)
(8-10;11-13)|--平--(15;
参考资料：bbs.pku.edu.cn

不能,因为不知道那个球是轻了还是重了,告诉你就可以.假设告诉你轻了
分2队 6Vs6 拿去衬一下 轻的一边6个拿出来
分2队 3Vs3 拿去衬一下 轻的一边3个拿出来
最后随手挑2个拿去衬一下,如果有一个是轻的,那就是他了；如果两个一样重,说明你手气不好,是剩下那个.

12个球分3组,先把1-4和5—8,放两边称（第1次）有3种可能,
第一种,1-4=5-8.第2种,1-4〉5-8.第3种,1-4〈5-8.
先说1-4=5-8.在1-8里面那出3个,如148和91011称（第2次）
还有3种可能,148=91011.148〉91011.148〈91011.
148=91011.说明1-11全是好球,12是坏的,在用1和12称一次（第3次）
1〈12,12是坏的而且轻.1〉12,12是坏的而且重.
148〉91011.说明坏球在9-11里面,而且轻.用9和10称一次（第3次）
9=10,11是坏球.9〉10,10是坏球.9〈10,9是坏球.
148〈91011.说明坏球在9-11里面,而且重.用9个10称一次（第3次）
9=10,11是坏球.9〉10,9是坏球.9〈10,10是坏球.
想明白没有,想明白的话,我们继续往下走.
在说1-4〉5-8（这是第1次称的）,这说明1-4里面有重的,或5-8
里面有轻的.9-12全是好的.先把4和8去掉,把剩下的全部球分成2组.
12569一组,37101112一组.把这两组在称一次（第2次称）有3种可能,
12569〉37101112.12569〈37101112.12569=37101112.
先说12569〉37101112.在1-4〉5-8的前提下,这里56不可能重,3不可能轻,9-12全是好球.那就是1,2有一个重或7轻,把1和2称一下.
（第3次）.1=2,7轻.1>2,1重.16,6轻.5

3 4 4

1. i eat dinner at home
2. i have 12 tomatoes
3. would you like a bowl of beaf rice
4. i did my homework in the afternoon
what would you like

设定价为x
（1-85%）x乘8=（45-35）x12
1.2x=120
x=100

1-12月
January Jan
February Feb
March Mar
April Apr
May May
June Jun
July Jul
August Aug
September Sep
October Oct
November Nov
December Dec

7个苹果 5个梨

12个单元音
[i:][E:][C:][u:][B:]
[i][E][C][u][Q][e][A]

这是一种有亲水基(铵基)和疏水基(烷基)的相转移催化剂(也叫表面活性剂);在聚合反应中用来从水相向油滴中运送单体的.