黎曼重积分定理证明 714 和 15

当ReS≤1时,黎曼ζ函数ζ(s)和赫尔维茨ζ函数ζ(s,1/2)同样有关系式：
ζ(s,1/2)=(2^s-1)ζ(s)
只是证明太复杂,在此从略.

黎曼Zeta函数在负偶数不是你说的情形,
去新浪找本叫素数之恋的书

不太严格地来说,黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候,黎曼和趋向的极限.下面的证明中,会对“越来越‘精细’”作出严格的定义.
要使得“越来越‘精细’”有效,需要把λ趋于0.如此[xi,xi + 1]中的函数值才会与f(ti)接近,矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小.实际上,这就是黎曼积分定义的大概描述.
严格定义如下：S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分,当且仅当对于任意的ε > 0,都存在δ > 0,使得对于任意的取样分割、,只要它的子区间长度最大值 ,就有：
}-
也就是说,对于一个函数f,如果在闭区间[a,b]上,无论怎样进行取样分割,只要它的子区间长度最大值足够小,函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值,那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在,并且定义为黎曼和的极限,这时候称函数f为黎曼可积的.
这个定义的缺陷是没有可操作性,因为要检验所有的取样分割是难以做到的.下面引进另一个定义,然后证明它们是等价的.
另一个定义:S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分,当且仅当对于任意的ε > 0,都存在一个取样分割、,使得对于任何比其“精细”的分割 and ,都有：
}-
这两个定义是等价的.如果有一个S满足了其中一个定义,那么它也满足另一个.首先,如果有一个S满足第一个定义,那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个.对于比其精细的分割,子区间长度最大值显然也会小于δ,于是满足
}-
其次,如果有一个S满足第二个定义,首先引进达布积分的概念.首先第二个定义和达布积分的定义是等价的,具体见达布积分.其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义.任选一个分割使得它的上达布和与下达布和都与S相差不超过 .令r等于,其中Mi和mi是f在[xi,xi + 1]上的上确界和下确界.再令δ是和}-中的较小者.可以看出,当一个分割的子区间长度最大值小于δ时,f关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差,所以和S至多相差ε.

黎曼设想黎曼设想又称黎曼猜想.这是1859年由德国大数学家黎曼提出的几个猜想之一,这个猜想指黎曼函数 在数学中我们碰到过许多函数,最常见的是多项式和三角函数.多项式 的零点也就是代数方程 =0的根.根据代数基本定理...

定理:f为(a,b)的凸函数,则其左右导数f'{-},f'{+}
存在,且
1.f'{-},f'{+}递减.
2.f'{-}(c)≥f'{+}(c)
3.c,d∈(a,b),则
f'{+}(c)≥[f(d)-f(c)]/[d-c]≥f'{-}(d)
1.
由于f'{-},f'{+}递减.
只需研究
In=(d-c)/n∑{0≤k≤n-1}f'{+}(c+k(d-c)/n)和
Jn=(d-c)/n∑{0≤k≤n-1}f'{-}(c+k(d-c)/n)的极限.
2.In≤Jn.(定理的2.)
3.由定理的3.得
In≥[(d-c)/n]*
∑{0≤k≤n-1}[f(c+(k+1)(d-c)/n)-f(c+k(d-c)/n)]/[(d-c)/n]=
=f(d)-f(c)
4.由定理的3.得
Jn≤[(d-c)/n]f'{-}(c)+[(d-c)/n]*
∑{1≤k≤n-1}[f(c+k(d-c)/n)-f(c+(k-1)(d-c)/n)]/[(d-c)/n]=
=[(d-c)/n]f'{-}(c)+f(d-(d-c)/n)-f(c)
5.由f的连续性得,
Lim{n→∞}{[(d-c)/n]f'{-}(c)+f(d-(d-c)/n)-f(c)}=
=f(d)-f(c)
所以
Lim{n→∞}In=Lim{n→∞}Jn=f(d)-f(c)
==>f'{-},f'{+}黎曼可积,且
∫{c→d}f'{-}(x)dx=∫{c→d}f'{+}(x)dx=f(d)-f(c).

微分流形一、 流形的基本概念：流形的定义和基本例子,子流形,切空间和切丛,光滑函数、光滑映射及切映射.要求了解球面、环面、射影空间等基本例子,并了解一维、二维流形的分类.要求了解浸入（immersion）、嵌入（embe...

ΔG=ΔH-TΔS 这个是吉布斯亥姆霍兹方程
ΔG〈0 反应自发
ΔG=0 平衡
ΔG〉0 逆向自发
楼上说的一点都不对,判断吉布斯自由能的正负号是由焓变ΔH和熵变ΔS共同决定的当然还有温度
焓变和熵变受温度影响不大,而吉布斯自由能变却受温度影响较大
若反应为吸热反应ΔH〉0 ,熵变小于零的话,任意温度下,ΔG〉0 逆向自发
若反应为放热反应ΔH〈0,熵变大于零的话,任意温度下,ΔG〈0 反应自发
若反应为吸热反应ΔH〉0 ,熵变大于零的话,高温条件下,ΔG〈0 正向自发
若反应为放热反应ΔH〈0,熵变小于零的话,低温条件下,ΔG〈0 正向自发

波恩哈德·黎曼旧照德国数学家,对数学分析和微分几何做出了重要贡献,其中一些为广义相对论的发展铺平了道路.他的名字出现在黎曼ζ函数,黎曼积分,黎曼引理,黎曼流形,黎曼映照定理,黎曼-希尔伯特问题,黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中.他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲,开创了黎曼几何,并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础.他在1857年升为格丁根大学的编外教授,并在1859年狄利克雷去世后成为正教授.
目录
作者
人物简介
主要成果
生平经历
主要贡献
编辑本段作者
　　黎曼（1826～1866） Riemann,Georg Friedrich Bernhard
编辑本段人物简介
　　德国数学家,物理学家 .1826年9月17日生于汉诺威布列斯伦茨,1866年7月20日卒于意大利塞那斯加 .1846年入格丁根大学读神学与哲学,后来转学数学,在大学期间有两年去柏林大学就读 ,受到 C.G.J.雅可比和P.G.L.狄利克雷的影响.1849年回格丁根.1851 年获博士学位 .1854 年成为格丁根大学的讲师,1859年接替狄利克雷成为教授.1851 年论证 了复变 函数 可导的 必要充分 条件（ 即柯西-黎曼方程） .借助狄利克雷原理阐述了黎曼映射定理 ,成为函数的几何理论的基础.1853年定义了黎曼积分并研究了三角级数收敛的准则.1854年发扬了高斯关于曲面的微分几何研究,提出用流形的概念理解空间的实质,用微分弧长度的平方所确定的正定二次型理解度量,建立了黎曼空间的概念,把欧氏几何、非欧几何包进了他的体系之中.1857年发表的关于阿贝尔函数的研究论文,引出黎曼曲面的概念 ,将阿贝尔积分与阿贝尔函数的理论带到新的转折点并做系统的研究.其中对黎曼曲面从拓扑、分析、代数几何各角度作了深入研究.创造了一系列对代数拓扑发展影响深远的概念,阐明了后来为G.罗赫所补足的黎曼-罗赫定理.
编辑本段主要成果
　　在1858年发表的关于素数分布的论文中,研究了黎曼ζ函数,给出了ζ函数的积分表示与它满足的函数方程,他提出著名的黎曼猜想至今仍未解决.另外,他对偏微分方程及其在物理学中的应用有重大贡献.甚至对物理学本身,如对热学、电磁非超距作用和激波理论等也作出重要贡献.黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展,许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理,在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就.黎曼首先提出用复变函数论特别是用ζ函数研究数论的新思想和新方法,开创了解析数论的新时期,并对单复变函数论的发展有深刻的影响 .
编辑本段生平经历
　　1826年,他出生于汉诺威王国（今德国）的小镇布列斯伦茨（Breselenz）.他的父亲弗雷德里希·波恩哈德·黎曼是当地的路德会牧师.他在六个孩子中排行第二.　　1840年,黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习.　　1842年祖母去世后,他搬到吕内堡（Lüneburg）的约翰纽姆（Johanneum）.　　1846年,按照父亲的意愿,黎曼进入哥廷根大学学习哲学和神学.在此期间他去听了一些数学讲座,包括高斯关于最 黎曼
小二乘法的讲座.在得到父亲的允许后,他改学数学.　　1847年春,黎曼转到柏林大学,投入雅戈比、狄利克雷和Steiner门下.两年后他回到哥廷根.　　1854年他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲,开创了黎曼几何,并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础.他在1857年升为哥廷根大学的编外教授,并在1859年狄利克雷去世后成为正教授.　　1862年,他与爱丽丝·科赫（Elise Koch）结婚.　　1866年,他在第三次去意大利的的途中因肺结核在塞拉斯卡（Selasca）去世.
编辑本段主要贡献
　　他对数学分析和微分几何做出了重要贡献,对微分方程也有很大贡献.　　他引入三角级数理论,从而指出积分论的方向,并奠定了近代解析数论的基础,提出一系列问题；他最初引入黎曼曲面这一概念,对近代拓扑学影响很大；在代数函数论方面,如黎曼-诺赫定理也很重要.在微分几何方面,继高斯之后建立黎曼几何学.　　他的名字出现在黎曼ζ函数,黎曼积分,黎曼引理,黎曼流形,黎曼映照定理,黎曼-希尔伯特问题,柯西-黎曼方程,黎曼思路回环矩阵中

欧拉、阿基米德、牛顿、高斯等四位被称为有史以来贡献最大的四位数学家.具体介绍：http://blog.csdn.net/free4294/article/details/6985213

假设u和v在开集C上连续可微.则f=u+iv是全纯的,当且仅当u和v的偏微分满足柯西-黎曼方程组

你的结果一看就是错的,根号里的式子小于2,结果应该小于根号2

黎曼积分 如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义,而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割,则和
σ(f；p,ζ):=∑ f(ζi)ΔXi
叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和,其中ΔXi=Xi-X(i-1)
存在这样一个实数I,如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0,使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ),只要分化P的参数λ(P)

This paperstarts from theancientcalculus thought,introduced thehistoryof calculusto thedefinitiongiven by Riemann,laterRiemann integral.But in thepractice and application of theintegral,Riemanngraduallyshow someshortcomings,and so there isnecessary to improve theRiemann integral,resulting in aLebesgue integral.The Lebesgueintegral is anevolutionof Riemann integral,sothey have avery close relationship.In this paper,the definition ofRiemannintegral and Lebesgue integral,integrable functiontypes,propertiesand other aspects of thetwo are compared,and summed up thedifferences between the two.Lebesgue also pointed out that theintegrationis theextension of Riemann integral,but notgeneralizedRiemann integral.
本文从古代的微积分思想开始,介绍了微积分的产生历史,到后来黎曼给出的黎曼积分的定义.但是在应用与实践中,黎曼积分逐渐的表现出一些不足,于是有了改进黎曼积分的必要,从而产生了勒贝格积分.勒贝格积分是黎曼积分的一种进化,所以它们有着十分亲密的关系.文中在黎曼积分与勒贝格积分的定义、可积函数的种类、相关性质等方面对两者进行了比较,并总结出两者之间的区别.同时指出勒贝格积分是黎曼积分的推广,但非广义黎曼积分的推广.

黎曼和的极限是定积分,此题是估算,可先用分部积分法化简,再代值累加即可

是一种描述空间的数学工具,只不过被描述的空间是特别的黎曼空间,我们通常认识的空间都是欧几里德空间,也就是线性空间,符合欧几里德几何原理,而黎曼空间是一种非线性空间,黎曼张量就可以用来描述这种空间.
举个例子来说,欧几里德空间中的三角形内角和一定是180度,不管是什么三角形.而黎曼空间中的三角形内角和可以等于180度,也可以大于或者小于180度,通常我们是不能理解这种情况的,但是它确实存在（好像有点抽象）,这是广义相对论以及天体物理研究中经常会碰到的问题.

黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。 在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标...

都很难计算的,特别是求极限
∫(a到b)[e^(cx)]dx
底Δx=(b-a)/n
高f(ck)=e^[c*(b-a)*k/n]=e^[(cbk-cak)/n]
和式∑(下k=1上n) e^[(cbk-cak)/n]
这个太复杂,不计了
结果为(1/c)[e^(bc)-e^(ac)]
∫(a到b)cosxdx
底Δx=(b-a)/n
高f(ck)=cos[(b-a)*k/n]=cos[(bk-ak)/n]
和式∑(下k=1上n) cos[(bk-ak)/n]
=(1/2)csc[(b-a)/(2n)]cos[(2bn-2an+b-a-nπ)/(2n)]-(1/2)cos[(b-a-nπ)/(2n)]csc[(b-a)/(2n)]
∴定积分=lim(n→+∞) [(b-a)/n]*∑(下k=1上n) cos[(bk-ak)/n]
=sinb-sina
∫(a到b)sinxdx
底Δx=(b-a)/n
高f(ck)=sin[(b-a)*k/n]=sin[(bk-ak)/n]
和式∑(下k=1上n) sin[(bk-ak)/n]
=(1/2)csc[(b-a)/(2n)]sin[(2bn-2an+b-a-nπ)/(2n)]-(1/2)[(b-a-nπ)/(2n)]csc[(b-a)/(2n)]
∴定积分=lim(n→∞) [(b-a)/n]*∑(下k=1上n) sin[(bk-ak)/n]
=cosa-cos

在直角坐标中f(z)表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y),其中z表示为z=x+iy,类似地在极坐标中,变量是r和θ,因此f(z)表示为f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ),其中z表示为z=re^(iθ).把这里的r和θ看做中间变量,即u和v都是关于x与y的复合函数,根据极坐标与直角坐标的转化关系r=√(x^2+y^2),θ=arctan(y/x),有u'x=u'r*r'x+u'θ*θ'x=cosθ*u'r-rsinθ*u'θ,同理求出u'y,v'x和v'y,带人直角坐标的柯西黎曼方程u'x=v'y,u'y=-v'x中,得sinθ*u'r+rcosθ*u'θ=-cosθ*v'r+rsinθ*v'θ,cosθ*u'r-rsinθ*u'θ=sinθ*v'r+rcosθ*v'θ,两式联立可得u'r=rv'θ,v'r=-ru'θ,这就是极坐标下的柯西黎曼方程.

不一定,比如 ζ(0)=-1/2,ζ(-1)=-1/12,ζ(-2)=0,ζ(-3)=1/120,ζ(-4)=0,…

不能.实部和虚部还必须是可微的.

B黎曼

证明：必要性,若f在[a,b]上黎曼可积,设该积分值为S
则对任意ε>0,存在分割π：a=x(0)

əu/əx=əv/əy ,得：əu/əx=2uəu/əy 1)
əu/əy=-əv/əx,得：əu/əy=-2uəu/əx 2)
2）代入1)得：əu/əx=2u(-2uəu/əx)=-4u^2 əu/əx
故(1+4u^2)əu/əx=0
故有əu/əx=0,
故əu/əy=-2uəu/əx=0
即u与x,y都无关,故u=c,c为常数
所以v=u^2=c^2
所以有f=c+c^2 i为常数.

这不是具体怎么做的问题,这根本就是一个不同的空间上讨论这个问题.
欧氏的平面几何里面,你在直线外一点作平行线只能做一条（这是所谓的第五公设等价命题）,这就决定了这是一个欧式几何的平面.现在黎曼说：直线外一点不能做直线平行.那这就不是怎么做的问题了,这是公理,是要求你做不出来的.这条公理就决定了这不是一个欧式平面,而是另一类型的平面.
举个例子：你要知道,地球上的经线是球面上的直线,而任意两条经线按照定义都是平行直线,但是这些平行直线都是相交的,它们在南北两极相交.你在球面上是做不出不相交的平行线的.
你问出这种问题说明你转不过这个弯来,这也很正常,因为很多中学生都把欧式几何作为描述物理世界的唯一几何学.你可以通过不同渠道,多了解什么是公理化的几何学,然后就明白第五公设只是条公理,还可以有其他替代的公理来描述物理现象.

方法很多,我只说两个Riemann原始的方法吧.
方法一：他证明Γ(s)ζ(s)是x^(s-1)/(e^x-1)dx从0到无穷大的积分,然后他把后者解析开拓,因为Γ(s)是熟知的,所以将ζ(s)解析开拓至复平面（除了s=1）.
方法二：他借助一个Jacobi为研究椭圆函数和模函数而引入的θ函数（Riemann记为ψ(x)）,由Jacobi的一个等式（此等式是Poisson求和法的一个直接结果）推出函数方程,然后得到解析开拓.
附带一说,Zeta函数和模函数的联系是深刻而微妙的,除了上面所说的,还可以举出Deligne证明Weil猜想中的Riemann猜想类比的一个副产物就是证明了一个模函数的Ramanujan猜想.

柯西 Cauchy
黎曼 Riemann
两个人