三等分任意角是一个作图难题，在距第一次提出这个问题两千年之后，这个问题才被证实用尺规作图（用没有刻度的直尺和圆规作图）无

古希腊三个著名问题之一的三等分角,现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员,每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且,在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个,因为二等分角是那么容易,这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢?
用欧几里得工具,将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时,提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的,在那里,要三等分一个60°角．
在研究三等分角问题时,看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线,它交CA于E,交DA之延长线于F,且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点,则
EG=GF=GA=BA,
从中得到：
∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC,
并且BEF三等分∠ABC．因此,这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间,作一给定长度2(BA)的线段EF,使得EF斜向B点．
如果与欧几里得的假定相反,允许在我们的直尺上标出一线段E’F’=2(BA),然后调整直尺的位置,使得它过B点,并且,E’在AC上,F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用,也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用,参看问题研究4．6．
为了解三等分角归结成的斜向问题,有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线,而O为c外任何一点,P为c上任何一点,在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是,当P沿着c移动时,Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上,只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①,用这样一个工具,就可以很容易地三等分角．这样,令∠AOB为任何给定的锐角,作直线MN垂直于OA,截OA于D,截OB于L(如图32所示)．然后,对极点O和常数2(OL),作MN的蚌线．在L点作OA的平行线,交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．
借助于二次曲线可以三等分一个一般的角,早期希腊人还不知道这一方法．对于这种方法的最早证明是帕普斯(Pappus,约公元300年)．利用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4．8中可以找到．
有一些超越(非代数的)曲线,它们不仅能够对一个给定的角三等分,而且能任意等分．在这这样的曲线中有：伊利斯的希皮阿斯(Hippias,约公元前425年)发明的割圆曲线(quadratrix)和阿基米得螺线(spiral of Archimeds)．这两种曲线也能解圆的求积问题．关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用,见问题研究4．10．
多年来,为了解三等分角问题,已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规．①参看R．C．Yates．The Trisection Prolem．其中有一个有趣的工具叫做战斧,不知道是谁发明的,但是在1835年的一本书中讲述了这种工具．要制做一个战斧,先从被点S和T三等分的线段RU开始,以SU为直径作一半圆,再作SV垂直于RU,如图33所示．用战斧三等分∠ABC时,将这一工具放在该角上,使R落在BA上,SV通过B点,半圆与BC相切于D．于是证明：△RSB,△TSB,△TDB都全等,所以,BS和BT三等分给定的角．可以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧,然后调整到给定的角上．在这种条件下,我们可以说用直角和圆规三等分一个角(用两个战斧,则可以五等分一个角)．
欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角,但是用这些工具的作图方法,能作出相当好的近似的三等分．一个卓越的例子是著名的蚀刻师、画家A．丢勒(Albrecht Durer)于1525年给出的作图方法．取给定的∠AOB为一个圆的圆心角(参看图34),设C为弦AB的靠近B点的三等分点．在C点作AB的垂线交圆于D．以B为圆心,以BD为半径,作弧交AB于E．设令F为EC的靠近E点的三等分点,再以B为圆心,以BF为半径,作弧交圆于G．那么,OG就是∠AOB的近似的三等分线．我们能够证明：三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大；但是,对于60°的角大约只差1〃,对于90°角大约只差18〃．

解题思路：因为共分了3次，3次后每份1个棋子为最少，所以第3次分时有1×4+1=5枚，第2次分时有5×4+1=21枚，第1次分时有21×4+1=85枚．

因为共分了3次，3次后每份1个棋子为最少
所以第3次分时有：1×4+1=5（枚）
第2次分时有：5×4+1=21（枚）
第1次分时有：21×4+1=85（枚）
答：原来至少有85枚棋子．
故答案为：85．

点评：
本题考点： 逆推问题．

考点点评： 解决此类问题的关键是抓住最后的结果，利用逆推的方法，从后向前推即可．

huairendege的证明中,看不懂这一句：
“E,F,D在一直线上,可以得出AI等于AH”.
（题目给出的图确实太糟糕了,∠ECA=150°,画出来和135°一样,让人以为B、C、E共线.）
有一个证明如下：
不妨设正方形边长为单位“1”,（亦可设为a）,
由菱形的对称性,∠CAE=∠FAE,只需证∠EAD=30°,则∠CAE=∠CAD-∠EAD=45°-30°=15°,于是∠FAE=∠CAE=15°,故∠FAD=∠EAD-∠FAE=15°,得欲证之结论.
现证∠EAD=30°.
过F做FH⊥AD延长线于H,做EG⊥AD延长线于G,设FH=x,则DH=x,AH=1+x,
在三角形AFH中,由勾股定理：
AH^2+FH^2=AF^2,
AF=AC=√2,
所以,(1+x)^2+x^2=2,
解之得：
x=(√3-1)/2 （舍去负值(-√3-1)/2）,
于是DF=√2*x,
FE=AF=AC=√2,
所以DE=DF+FE=√2*x+√2,
所以EG=DG=DE/√2=DH+1=(√3+1)/2,
AG=AD+DG=1+(√3+1)/2=(√3+3)/2,
所以,AG=√3*EG,
于是,AE^2=AG^2+EG^2=4*EG^2,
所以AE=2*EG,
故在直角三角形AEG中,∠EAG=30°,即
∠EAD=30°.
证毕.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .+ 无限
趋近于1

解题思路：游标卡尺读数的方法是主尺读数加上游标读数，不需估读．螺旋测微器的读数方法是固定刻度读数加上可动刻度读数，在读可动刻度读数时需估读．

游标卡尺的主尺读数为20mm，游标读数为0.1×3mm=0.3mm，所以最终读数为20mm+0.3mm=20.3mm．
螺旋测微器的固定刻度读数为0.5mm，可动刻度读数为0.01×1.8mm=0.018mm，所以最终读数为0.5mm+0.018mm=0.518mm．
故答案为：20.3，0.518．

点评：
本题考点： 刻度尺、游标卡尺的使用；螺旋测微器的使用．

考点点评： 解决本题的关键掌握游标卡尺和螺旋测微器的读数方法，游标卡尺读数的方法是主尺读数加上游标读数，不需估读．螺旋测微器的读数方法是固定刻度读数加上可动刻度读数，在读可动刻度读数时需估读．

用圆规取任意长度做半径,以角的顶点o为圆心做弧,交角的两边于a、b两点,接着分别以a、b两点为圆心,任意长度为半径做弧,两弧交于一点c,以角的顶点o做射线过c,射线oc即该角的角平分线（等分线）.

三等分角
古希腊三大几何问题之一.
三等分任意角的题也许比另外两个几何问题出现更早,早到历史上找不出有关的记载来.但无疑地它的出现是很自然的,就是我们自己在现在也可以想得到的.纪元前五、六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法,正像我们在几何课本或几何画中所学的：以已知角的顶点为圆心,用适当的半径作弧交角两的两边得两个交点,再分别以这两点为圆心,用一个适当的长作半径画弧,这两弧的交点与角顶相连就把已知角分为二等分.二等分一个已知角既是这么容易,很自然地会把问题略变一下：三等分怎么样呢?这样,这一个问题就这么非常自然地出现了.
现已证明,在尺规作图的前提下,此题无解.
三等分角的历史：
公元前4世纪,托勒密一世定都亚历山大城.他凭借优越的地理环境,发展海上贸易和手工艺,奖励学术.他建造了规模宏大的“艺神之宫”,作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆,藏书75万卷.托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义,他邀请著名学者到亚历山大城,当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城市.
亚历山大城郊有一座圆形的别墅,里面住着一位公主.圆形别墅中间有一条河,公主的居室正好建立在圆心处.别墅南北围墙各开了一个门,河上建了一座桥,桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上.国王每天赏赐的物品,从北门运进,先放到南门处的仓库,然后公主再派人从南门取回居室.
一天,公主问侍从：“从北门到我的卧室,和从北门到桥,哪一段路更远?”侍从不知道,赶紧去测量,结果是两段路一样远的.
过了几年,公主的妹妹小公主张大了,国王也要为她修建一座别墅.小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样,有河,有桥,有南北门.国王满口答应,小公主的别墅很快就动工了,当把南门建立好,要确定桥和北门的位置时,却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢?
设,北门的位置为Q,南门的位置为P,卧室（圆心）为O,桥为K,
要确定北门的和桥的位置,关键是做出∠OPQ,设PO和河流的夹角是α
由 QK=QO,
得 ∠QKO=∠QOK
但是∠QKO=α+∠KPO,
又∠OQK=∠OPK
所以在△QKO中,
∠QKO+∠QOK+∠OQK
=（α+∠KPO）+（α+∠KPO）+∠KPO
=3∠KPO+2α=π
即∠KPO=（π-2α）/3
只要能把180-2α这个角三等分,就能够确定出桥和北门的位置了.解决问题的关键是如何三等分一个角.
工匠们试图用尺规作图法确定出桥的位置,可是他们用了很长的时间也没有解决.于是他们去请教阿基米德.
阿基米德用在直尺上做固定标记的方法,解决了三等分一角的问题,从而确定了北门的位置.正当大家称赞阿基米德了不起时,阿基米德却说：“这个确定北门位置的方法固然可行,但只是权宜之计,它是有破绽的.”阿基米德所谓的破绽就是在尺上做了标记,等于是做了刻度,这在尺规做图法则中是不允许的.
这个故事提出了一个数学问题：如何尺规三等分任意已知角,这个问题连阿基米德都没有解答出来.
所以不能用尺规作图法把一个角平均分成三等分

这个用三角函数很快 不过 你又没学过三角函数 仅供参考吧
三角函数中 若直角三角形 角为x 则tanx意思是 角的对边 除以 角的邻边
比如tan 角ABC (C为直角) =AC/BC
不妨设三角形ABC CD CE CF分别为 高 角分线 中线
设角BCD=DCE=ECF=FAC=x
设CD=h
容易知道BF=BD+DF=h(tan2x+tanx)
AF=AD-DF=h(tan3x-tanx)
而tan3x-tanx=tan2x(1+tanxtan3x) [这一步超过你的知识范围太多了，仅做了解]
由AF=BF
得tanxtan3x=1
又x为锐角
故x+3x=90度（这个是正切tan函数的性质，也超过你的知识太多了...）
所以角C为直角
其他方法 我不知道 但是这种方法我觉得还是挺快的
另外 这道题还是比较有趣的

5x4x4x4x4x3=3840 排列组合 LS,貌似没说前边用过的颜色后便不能用的

解题思路：拼成的长方形的两个长的和是圆的周长，即圆的周长的一半是长方形的长；已知长方形的长是6.28厘米，通过圆的周长公式求出圆的半径，进而求出圆的面积．

6.28÷3.14=2（厘米），
S=πr²，
=3.14×2²，
=3.14×4，
=12.56（平方厘米）．
答：圆的面积是12.56平方厘米．
故答案为：12.56平方厘米．

点评：
本题考点： 圆、圆环的面积；长方形、正方形的面积．

考点点评： 本题关键是理解拼成的长方形的长是什么，然后根据圆的周长公式：C=2πr，求出圆的半径．

首先要确定弧,并不是所有的弧都是规则的,因此无法确定能否三等分.即使是规则的弧,也有非圆类的弧吧（比如说抛物线的某一段弧）,其可三等分性也不确定.鉴于楼主说的是初中的三等分弧,我猜测这里所说的弧是圆弧.假设任意一段圆弧可以三等分,由等弧对等角,知道每一段弧所对的圆心角相等,于是问题可以表述为：任意一个角可以被尺规三等分.但是这是不可能的（历史上有名的三等分角问题,已经被证明）.从而尺规三等分任意圆弧也是不行的了.但是对于一些例如直角之类的角,可以被三等分.

6 1 8
7 5 3
2 9 4

设圆的半径为x,面积为3.14x²
2（3.14x+x）=12.42
8.28x =12.42
x =1.5
3.14x²=3.14×1.5²=7.065
祝你学习更上一层楼,数学辅导团为您解决疑问!

由题意：a^2/c＝2c可得a^2＝2c^2 则e^2＝1/2故e＝√2/2

1.尺规作图用“平行线分线段成比例”定理
过给定的线段的一端点做射线,在射线上用圆规从端点开始截取三等长线段
连接该三等长线段终点和给定的线段的另一端点成一直线,
过三等长线段的等分点作该直线的平行线与给定线段的交点即可三等给定的线段.
2.这比较难
先做给定的角的平分线,在角平分线上取一点作一垂直该平分线得直线
在该直线上截一线段(AB)使其被角平分线平分
然后另取角平分线上一点O,以O点为圆心到线段两端的距离为半径作圆
再分别以线段两端点为圆心,线段的长(AB)为半径画弧交大圆于两点(C和D)
分别连接DO,CO.此时角DOC被AO,BO三等分
然后以给定的角的顶点（H）作圆交该角的边与E和F
过E作DO平行线交给定的角的平分线于T
过T作AO,BO的平行线交圆H于P,Q
连接HP,HQ
此时给定的角H被HP,HQ三等分
这题三等份角我的作法是近似的,
所做的T点越接近H点,越近似三等分,
也就是说,角DOC角度越接近H角的角度,越近似三等分
只有在T点刚好和H点重合时才能完全三等分.
要通过调整AB的长度和O点的位置达成

只能三等分特殊角,比如直角、平角等.任意角是不行的,已被证明.
古希腊几何三大难题：
三等分角：即分一个给定的任意角为三个相等的部分.
立方倍积：即求作一立方体的边,使该立方体的体积为给定立方体的两倍.
化圆为方：即作一正方形,使其与一给定的圆面积相等.

解题思路：把角四等分，第一步把角二等分后，得到两个相等的角，再把得到的两个角分别二等分，则得到四个相等的角．

把∠O四等分的步骤是：第一步：先把∠O二等分；
第二步：把得到的两个角分别再二等分．
故答案为二．

点评：
本题考点： 角平分线的定义．

考点点评： 将角四等分的方法，将一个角二等分后，再将二等分后的两个角再次二等分即可得到四等分．

360除以11等于32余8
8°转换为分是8*60=480‘
480除以11等于43余7
7/11大于0.5,也就是向前进一,43变为44
故答案是32°44’
希望对你的学习有所帮助.

21 设原有X个棋子，第2次分后每份有y个棋子。 [（X-1)/4-1]/4=Y 解得X-5=16Y 设Y最小=1，所以X=21

(1/2)²+(1/4)²+(1/8)²+ ...+(1/2^n)² 等比数列求和
=(1/2)²×(1-1/4^n)/(1-1/4)
=1/3×(1-1/4^n)
n=无穷,面积等于1/3
n=3,面积等于63/192=21/64

2×10×2=40平方厘米
把一个底面半径是2厘米,高10厘米的圆柱沿底面半径切开,等分后再拼成一个近似长方体,这个圆柱的表面积增加（40）平方厘米

解题思路：30克砝码放左边，300克盐放在天秤两边直至平衡，分别得到135克和165克盐；再把35克砝码放左边，从135克里取出部分放在右边直至平衡，剩下100克；右边100克不动，左边从165克里取出部分放入左边直至平衡，剩下65克；这样就分好了．

1、30克砝码放左边，300克盐放在天秤两边直至平衡，分别得到135克和165克盐．
2、35克砝码放左边，从135克里取出部分放在右边直至平衡，剩下100克
3、将100克盐放左边，右边同样放盐直到天平平衡，即将200克盐也均分
故只要3次即可．
答：把300克食盐平均分成3份至少要称3次．

点评：
本题考点： 找次品．

考点点评： 解答此题，应认真分析，采取合理的方法，进行解决．如果一下看不出来，也可采用“试一试”的办法．

九等分圆作法 1、任作⊙O,直径QOD,以Q为圆心,半径长画弧交圆弧上A,B,连结AO,BO,则∠AOB=120°,将∠AOB三等分.2、连结AD延长至G,使DG=1/2AD,再作AG中点P,以G为圆心,GP为半径画弧交DO上O1,以O1为圆心,截O1C=O1A=O1B 3...

不用证全等,用相似挺简单的.
先连BM,∠BMC=180°-4∠NCB,因为∠NCB=∠MCN=∠NBC=∠MBN,
而∠BEC=180°-4∠NCB,
∴BMC=∠NEC,又因为∠MCB=∠ECN,于是△BMC∽△NEC,
∴MC/BC=EC/CN,又∠ECM=∠NCB,
∴△ECM∽△NCB,∴∠EMC=∠NBC,
而ND⊥BC,BD=CD,∴∠NBC=∠NCB,
∴∠EMC=∠NCB=∠MCN,
∴CN‖EM
多给点分吧,看我这么辛苦

解题思路：此题是求图中组合图形的面积，可以利用辅助线将它转换成规则图形，如图，连接BH，将阴影部分分成了三个三角形，求出这三个三角形面积和即可解决问题．利用三角形面积公式进行解决．

如图，连接BH，

AB=CD=24厘米，BC=AD=26厘米，
因为F、G分别是四等分点，
所以BF=[1/4]AB=[1/4×24=6（厘米），
DG=
1
4DC＝
1
4×24=6（厘米），
S△BFH+S△DHG，
=
1
2]BF×AH+
1
2DG×HD，
=[1/2× 6×AH+
1
2× 6× DH，
=3×AH+3×DH，
=3×（AH+DH），
=3×AD，
=3×26，
=78（平方厘米），
因为E是BC的中点，BE=13厘米，
S△BEH=
1
2]×13×24=156（平方厘米），
78+156=234（平方厘米），
答：阴影部分的面积为234平方厘米．

点评：
本题考点： 组合图形的面积．

考点点评： 组合图形的面积计算，转化成规则图形的面积计算时解题的关键．

分别以线段两个端点为圆心,大于线段一半的长度画弧,分别在线段上下交于两点,把两个点连起来,与原线段交点就是该线段中点（得到二等分）.然后不断重复,把线段左边和右边的一半再分别二等分（现在就是四等分）.一直重复就能2^n（n.>=0且n为整数）等分一条线段

圆蛋糕是360度，360度/15度=24
所以是24k个，k=1,2...n的整数
选A

1*4+1=5 5*4+1=21 21*4+1=85(枚）

四等分有30个
五等分有55个
2等分的话有1+4个
3等分的有1+4+9个
4等分有1+4+9+16个
5等分有1+4+9+16+25个
n等分的话有从1加到n方个

①当n=3时,共向外作出了_3_个小等边三角形,每个小等边三角形的面积为__S/9___；
②当n=4时,共向外作出了__6__个小等边三角形,这时每个小等边三角形的面积为__s/16___；
③当n=k时,共向外作出了__3(k-2)__个小等边三角形,这时每个小等边三角形的面积为_____s/k2_________（用含k的式子表示）；

1.因为等腰直角三角形 AC=BC=40,所以AB=40乘以根号2,CD=20乘以根号2,因为CD 四等分,所以,第一条的长度为四分之一AB=10乘以根号2,第二条长为二分之一AB=20乘以根号2,第三条的长为四分之三AB=30乘以根号2,
2.用最大的边30乘以根号2作为正方形的边,所以最大面积为1800

先别急嘛,我会说的让你容易懂的,
别管那些什么理论了,其实,你的备注都查不多做出来啦,只是你没组织好而已.
一步步来吧,
（1）aL分成两份就是a/2L体积.
（2）加入烧碱,和哪个反应,你知道吧.OH- + NH4+ =NH3 + H2O 一比一反应,加入的是b mol OH- 你就有b mol NH4+.这个明白吧?
（3）加入c mol BaCl2 是Ba2+ + SO42- =BaSO4一比一反应,就是有c mol SO42-,这个懂吧?
（4）由（3）可知,在a/2L里面有硫酸铵是 c mol,再结合（2）可知,含有的硝酸根量与和他结合的铵根一样的,就是b -2c,
所以,浓度就是,b-2c/a/2=2(b-2c)/a.

设甲为x,则乙为a-x,有70X+60(a-X)=10X+60a=740
x=74-6a
当a=x时,约为10, a=11 x=8
a=12 x=2
a=13 x=-6

0.05mm
不管怎样,精度就是 尺身最小分度/游标分度数目

1、用尺画一个角
2、用圆规以角的顶点O为圆心一定长（任意）为半径作弧,分别交角的两边于A,B
3、分别以A、B为圆心,一定长为半径（任意但这两个半径要相等）作弧,交于一点C
4、连接顶点和C即为角平分线
三角形OAC和OBC,其中OA=OB,AC=BC,OC=OC,因此这两个三角形全等,则有角AOC=BOC
因此是两等分

1错 直线没有长度之说
2错 反向延长线（不包括原来的射线的）仍然是射线
3正确

三角形ABC的面积为5*3/2=7.5
△BEF的面积为ABC的面积的三分之一=7.5/3=2.5
所以选C

一半、半径

360除以7=（357除以7）+（3除以7）=51+(3除以7) 追问：我明白你的意思,但我想问一下,把360°看成357°和3°在这道题是随便取出来的吗?回答：是的

蒸发10克水后溶液析出固体,说明蒸发10克水,溶液已经饱和
这样饱和溶液再蒸发10克水析出1.5-0.5=1克固体.（相当与原溶液直接蒸发20克水）
说明10克水溶解1克氯酸钾达到饱和
1/10=10/100 氯酸钾溶解度为10克/100克水

先求出半径（7.14-2r)x4=2∏r得出r=2,然后,面积=∏r*2

2a=6c,∴a=3c
准线a²/c,两准线间的距离2a²/c=18c
椭圆的焦距2c
18c/2c=9
∴9倍

A容器中氢气的转化率是60%,氮气的转化率就是20%,比B容器中氮气的转化率大,氮气和氢气的反应是一个体积减小的,则B容器体积大.

BD＝3 ﹙厘米 ﹚
正方形ABCD的面积＝BC²＝﹙BC²+CD²﹚/2＝BD²/2＝3²/2＝4.5﹙平方厘米﹚.