a1=a2=1,an+2=3an+1+18an+2n次方求an

（Ⅰ）①当q=1时，
S3
a3＝3，
S5
a5＝5，
∴
S3
a3＜
S5
a5．
②当q＞0且q≠1时，
S3
a3−
S5
a5=
q2(1−q3)−(1−q5)
q4(1−q)＝
−1−q
q4＜0，
此时也有
S3
a3＜
S5
a5．
综上可知：
S3
a3＜
S5
a5．…（4分）
（Ⅱ）当n=1时，lga₁=1⇒a₁=10.lga1+
lga2
2+
lga3
3+…+
lgan
n＝n，①
∴当n≥2时，lga1+
lga2
2+
lga3
3+…+
lgan−1
n−1＝n−1，②
将①-②得：

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本小题主要考查等差关系的确定、数列的求和、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．

∵数列{a_n}中，a₁=a₂=1，
a_n+2=a_n+1+a_n对所有正整数n都成立，
∴a₃=1+1=2，
a₄=2+1=3，
a₅=3+2=5，
a₆=5+3=8，
a₇=8+5=13，
a₈=13+8=21，
a₉=21+13=34，
a₁₀=34+21=55．
故选：B．

点评：
本题考点： 数列递推式

考点点评： 本题考查数列的第10项的求法，解题时要认真审题，注意递推公式的合理运用．

证明：（1）∵a₁=a₂=1，故a₃=a₁+a₂=2，a₄=a₃+a₂=3，
∴b₁=a₄=3，即当n=1时，b₁能被3整除．
（2）假设n=k时，即b_k=a_4k是3的倍数．
则n=k+1时，
b_k+1=a_4（k+1）=a_（4k+4）=a_4k+3+a_4k+2
=a_4k+2+a_4k+1+a_4k+1+a_4k
=3a_4k+1+2a_4k．
由归纳假设，a_4k是3的倍数，故可知b_k+1是3的倍数．
∴n=k+1时命题正确．
综合（1）（2），可知对任意正整数n，数列{b_n}的各项都是3的倍数．

点评：
本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查由递推式给出的数列中的证明问题，属中档题，数列问题与正整数有关，所以其中证明问题可考虑数学归纳法．

因为a₁=1，a₂=1，且a_n+2-a_n=1
所以此数列奇次项、偶次项均构成以1为首项，1为公差的等差数列，
∴数列{a_n}的前100项和为2×[50×1+
50×(50-1)
2×1]=2550
故选B．

点评：
本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查学生从已知条件找规律得到前n项和的特点，会利用等差数列求和公式进行数列的求和．

∵数列{a_n}满足a₁=a₂=1，an+an+1+an+2＝cos
2nπ
3(n∈N*)，
∴从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a_3n-2
a_3n-2+a_3n-1+a_3n
=cos[2nπ/3]
=cos（2nπ-[4π/3]）
=cos（-[4π/3]）
=cos[4π/3]
=-cos[π/3]
=-[1/2]，
∵2013÷3=671，即S₂₀₁₃正好是前671组的和，
∴S₂₀₁₃=-[1/2]×671=-[671/2]．
故选D．

点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的递推公式和数列的前n项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．