放缩法不等式证明1+1/√2+,1/√n小于2√n

因为前面已经证明了对于任意的x＞0,不等式an≥1/1+x-1/（1+x）²[（2/3^n）-x]成立,
请注意“对于任意的x>0",此话的意思就是我们可以在x>0的前提下进行假设,比如你可以假设x=1,也可以设x=2,但从此题的情况来看,设x=(2/3+2/3²+.+2/3^n)/n >0可以使不等式的计算来得更简便些,因为x=(2/3+2/3²+.+2/3^n)/n,则nx=2/3+2/3²+.+2/3^n,那么右边不等式的第二项就等于0
这时不等式就变成
a1+a2+a3+.+an≥n/(1+x)
=n/[1+(2/3+2/3²+.+2/3^n)/n]
=n^2/[n+2/3(1-1/3^n)/(1-1/3)]
=n^2/(n+1-1/3^n)
>n^2/(n+1)
因为1/3^n>0
所以n^2/(n+1-1/3^n)>n^2/(n+1),

通分:(1/a+1)+(1/b+1)=(a+b+2)/[(a+1)*(b+1)]
=(a+b+2)/[a*b+a+b+1]
注意分母是:a*b+a+b+1
因为a>0,b>0,所以a*b>0,所以(a*b+a+b+1)>(a+b+1)
所以上面的(a+b+2)/[a*b+a+b+1]

第一题
1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
=1/(2*2)+1/(3*3)+...+1/(n*n)
>1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/[n(n+1)]
=1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)
=1/2-1/(n+1)
因此1/2-1/(n+1)

高中数学解题基本方法
配方法 ； 换元法； 待定系数法 ；定义法 ；数学归纳法；参数法；反证法 ； 消去法 ；分析与综合法； 特殊与一般法 ； 类比与归纳法；观察与实验法
高中数学常用的数学思想
数形结合思想 ；分类讨论思想；函数与方程思想 ；转化(化归)思想
高考热点问题和解题策略 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个 新问题, 总想用熟悉的题型去"套" ,这只是满足于解出来,只有对数学思想,数学方法理解透彻及融 会贯通时,才能提出新看法,巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是 突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学 思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光. 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: 常用数学方法:配方法,换元法,待定系数法,数学归纳法,参数法,消去法等; 数学逻辑方法:分析法,综合法,反证法,归纳法,演绎法等; 数学思维方法:观察与分析,概括与抽象,分析与综合,特殊与一般,类比,归纳和演绎等; 常用数学思想:函数与方程思想,数形结合思想,分类讨论思想,转化(化归)思想等. 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以 用文字和 符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是 一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识,处理和解决, 掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方 法也还是对你起作用. 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性 的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在 学习,掌握数学知识的同时获得. 可以说, "知识"是基础, "方法"是手段, "思想"是深化,提高数学素质的核心就是提高学 生对 数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是"能力" . 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基 本方法:配方法,换元法,待定系数法,数学归纳法,参数法,消去法,反证法,分析与综 合法,特殊与一般法,类比与归纳法,观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数 与方程思想,数形结合思想,分类讨论思想,转化(化归)思想.最后谈谈解题中的有关策 略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷. 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现 性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方 法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的 选取,又尽量综合到代数,三角,几何几个部分重要章节的数学知识. 第一章 高中数学解题基本方法 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成"完全平方" )的技巧,通过配方找到已知和未 知的联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用"裂项"与"添项" , "配"与"凑"的技巧,从而完成配方.有时也将其称为"凑配法" . 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方.它主要适用于:已知或者未知中 含有二次方程,二次不等式,二次函数,二次代数式的讨论与求解,或者缺 xy 项的二次曲线 的平移变换等问题. 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b) =a +2ab+b ,

证明：原式=1+2/（√2+√2）+2/（√3+√3）+2/（√4+√4）+...2/（√n+√n）

证明：1/√n>1/(√n+√n-1)=√n-√n-1
则1+1/√2+1/√3.+1/√n
>1+√2-1+√3-√2+.+√n-√n-1
=√n
证毕
希望帮得到你!

1/（n＋1）＋1/（n＋2）＋1/（n＋3）＋······＋1/（3n）
＜1/（n＋1）＋1/（n＋1）＋1/（n＋1）＋······＋1/（n＋1）
＝［3n－（n＋1）］/（n＋1）
＝（2n－1）/（n＋1）
＜（2n＋2）/（n＋1）
＝2

一般看等式的要求来放缩
比如有的题目要求证明一个式子大于或小于某个值,而这个值跟所给的式子关系不大,就需要把原来的式子拆开,或者去掉一些项,或者增添一些项,直到与要证明的值相关为止,这个还是要具体题目具体分析了~

因为n为整数,且n>1,所以当 m 为整数,且 m < n 时,
有 根号m < 根号n ,即 1/根号m > 1/根号n,因此：
1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号n > 1/根号n + 1/根号n + 1/根号n +...+ 1/根号n = n*1/根号n = 根号n

1/(2n+1)^2

可以用数学归纳法证明,我刚才已经证过了,放缩的话难度有点太大
计算出来S（n）=ln（1*3*5*……*2n+1）^2/n!(n+1)!这一部没什么问题吧
假设第n项满足5n/4+1/60

放大的原因基本是由于,式|f(x)-A|对于δ的选择不利,至于答案将不必放大的式子也选择了放大可能是出于计算方便的考虑.当然,如果在不放大的情况下,你选择了适当的δ,也使得|x-x0|<δ时,|f(x)-A|<ε成立,那么证明就是成功的,不必拘泥答案.

根号K分之一小于根号K加上根号K-1之和分之2=2（根号K-根号（K-1))
所以原式小于1+2（根号2-根号1）+2（根号3-根号2）+……+2（根号n-根号n-1）=2倍根号n-1小于二倍的根号n

采纳我为答案吧!小鸿

n=1时1/3+1/2=5/6明显不成立
n=2时1/3+1/4+1/5=47/603时有设An=1/（n+1）+1/（n+2）+1/（n+3）+.+1/（2n+1）
所以An+1=1/（n+2）+1/（n+3）+.+1/（2n+1）+1/（2n+2）+1/（2n+3）
An-An+1=1/(n+1)-1/（2n+2）+1/（2n+3）>0
所以1/（n+1）+1/（n+2）+1/（n+3）+.+1/（2n+1)

loga (a-1)*loga(a+1)
≤{ [loga(a-1)+loga(a+1)]/2}² 基本不等式
={[loga (a²-1)]/2}²

这样做不是完整的解答,你这个方法只是证明了n为偶数的情况成立
因为你用到了n/2.你还得说明n为奇数的情况也成立.
下面再写个我的想法吧
记左边和式为f(n),则f(n+1)-f(n)=1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)-1/(n+1)
=[1/(3n+1)-1/(3n+3)]+[1/(3n+2)-1/(3n+3)]>0
所以f(n)是关于n单增的函数,即对所有n∈N*,n≥2,均有
f(n)≥f(2)=1/3+1/4+1/5+1/6>9/10

证明
[1/2*3/4*5/6*…(2n-1)/2n]^2
=[1/2*3/4*5/6*…(2n-1)/2n]×[1/2*3/4*5/6*…(2n-1)/2n]
1/2

1/2

1/2^2+1/3^2+……1/n^2 > 1/2*3+1/3*4+.+1/N*(N+1) =1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/N-1/(N+1) = 1/2-1/(N+1) 即左侧
1/2^2+1/3^2+……1/n^2 < 1/1*2+1/2*3+.+1/(N-1)*N = 1-1/2+1/2-1/3+.+1/(N-1)-1/N = 1-1/N 即右侧

254685

是"

证明:(x+y)=(x+y)(a/x+b/y)=a+b+bx/y+ay/x 大于等于a+b+2根号ab 等于 （根号a+根号b)的平方.此题其实是用均值不等式

1/n>1/n+1 > 1/2n
1/n>1/n+2 >1/2n
……
1/n>1/(2n-1) >1/2n
1/n>1/2n=1/2n
全部 加起来
就是
1/2

放缩法很灵活，可以说没有一个老师可以把它讲通关，只有平时练多一点，见识各种各样的题，积累这些题！高考生存率才会高 热心网友 2014-8-17 一般出现时式中有无数多个式子，不能用反证法来证明。且分母基本上按照等差排列或者是分子，这个时候要考虑放宿法，把分子或分母化统一，可以很快算出。...

Loga(a-1)loga(a+1)
=lg(a-1)/lga*lg(a+1)/lga
=lg(a-1)lg(a+1)/(lga)^2
因为a>2,所以lg(a-1)和lg(a+1)均大于0,所以lg(a-1)*lg(a+1)

1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)*n]>1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2 >1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[n*(n+1)] 所以：1+1-1/n>1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2 >1-1/(n+1) 放缩法是不等式证明中一种常用的方法,也是一种非常重要的方法....

1/（1的平方）+1/（2的平方）+1/（3的平方）+.+1/(N的平方)3/2=1.5

,因为a^2+b^2=c^2,且a>0,b>0,c>0.所以a(a/c)^n,(b/c)^2>(b/c)^n.因此(a/c)^n+(b/c)^n

1/k^2=2时,原式=1+1/2(1-1/2+1/2-1/3+.+1/k-1+1/k+1)
=1+1/2(1-1/k-1)
=3/2-1/2(k+1)

因为
(1+a)(1+a^2)...(1+a^n) > a*a^2*...*a^n = a^[(1+n)*n/2]
当n>2时,(1+n)*n/2>2n-1=(n-1)+n
所以 若 a>1
则 a^[(1+n)*n/2]>a^[(n-1)+n]=a^(n-1)*a^n
所以 1/[(1+a)(1+a^2)...(1+a^n)]

只需要证明,对于任意的n有下式成立
(2n+1)/(2n)>sqrt(n+1)/sqrt(n)
当上式成立的时候,有
(b1+1)/b1>sqrt(2)/sqrt(1)
.
(bn+1)/bn>sqrt(n+1)/sqrt(n)
以上式子连乘,不等式成立.
于是我们只需要证明上式成立即可.
显然的,（2n+1)/(2n)>sqrt(n+1)/sqrt(n) 2n+1 >2sqrt(n(n+1))
4n*n+4*n+1>4n*n+4n
1>0
得证.

有：1/2-1/3= 1/(2X3）< 1/(2X2）

∵x＞0时,函数f(x)=x/(1+x)=1-[1/(1+x)],∴f(x)递增.∵|a+b|≤|a|+|b|,∴|a+b|/(1+|a+b|)≤(|a|+|b|)/（1+|a|+|b|)=[|a|/（1+|a|+|b|)]+[|b|/（1+|a|+|b|)]≤=[|a|/（1+|a|]+[|b|/（1+|b|)]所以,命题成立....

放缩法是不等式的证明里的一种方法,其他还有比较法,综合法,分析法,反证法,代换法等.
所谓放缩法,要证明不等式A

对于这个问题来说
首先复述下定义,任取的ε>0,总存在一个N,当n>N时,lan-al

1、放缩法,一放一缩,可放可缩.
2、我的初中数学老师说过一句话：“大于大的,小于小的”,我觉得这是放缩法的精髓所在.
3、当题目不是很容易解或者表面上不好解的时候,适当地把范围进行放大或者缩小.

1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)*n]>1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2 >1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[n*(n+1)]
所以：
1+1-1/n>1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2 >1-1/(n+1)
放缩法是不等式证明中一种常用的方法,也是一种非常重要的方法.在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果.但放缩的范围较难把握,常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象.因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要.要想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点.下面举几个例子说明这个问题.
放缩法在近年高考题中经常出现,而学生大多无从下手.现笔者将放缩法的基本技巧作简略归纳,以供读者体会.
放缩法的实质：要证不等式A＜B成立,有时可以将它的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C即A＜C,后证C＜B.
放缩法的常见技巧有：（1）舍掉（或加进）一些项.（2）在分式中放大或缩小分子或分母.（3）应用基本不等式放缩.（4）应用函数的单调性进行放缩.（5）根据题目条件进行放缩.下面笔者分别举例加以说明.

证明不等式

通分变成同底

an=√（1×2）+√（2×3）+√（3×4）+.+√(n(n+1))
>√（1×1）+√（2×2）+√（3×3）+.+√(nxn)
=1+2+3+```+n=[n（n+1）]/2
an=√（1×2）+√（2×3）+√（3×4）+.+√(n(n+1))

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我们把第一项不动,从第二项开始放,放的原则是把分母弄小,所以第二项1/（2×2）≤1/（1×2）,第三项就是1/（3×3）≤1/（2×3）,这样,诸如1/（2×3）=1/2-1/3,可以裂项,
所以原式=1+1-1/2+1/2-1/3+……+1/（n-1）-1/n=2-1/n
所以原式成立.

你要分析啊
左边的式子总共n项 相乘 要证他大于等于1/n!
只要证(2-2n-1/n)≥1/n
化简,即1≥1,显然成立
所以(2-2n-1/n)≥1/n成立
故(2-2n-3/n)≥1/n-1
(2-2n-5/n)≥1/n-2
.
(2-1/n)≥1/1
n式相乘 即:(2-1/n)×(2-3/n)×(2-5/n)×...×(2-2n-1/n)≥1/n!

∵1＞1/√5、1/√2＞1/√5、1/√3＞1/√5、1/√4＞1/√5,
∴1＋1/√2＋1/√3＋1/√4＋1/√5＞1/√5＋1/√5＋1/√5＋1/√5＋1/√5＝5/√5＝√5.
∴1＋1/√2＋1/√3＋1/√4＋1/√5＞√5.

（a+b）的立方＝a立方+b的立方 没有正整数a,b 解,拆在左边 整理后
3ab(a+b)=0,不可能都正整数

这累题目就是要多做才有灵感想出来的,我可以告诉你,只有放缩和归纳法了.不过你也不用担心,你不会做别人也不会做,一般高考做出这种题目的人很少.如果你想做出的话,只有平时多做题,积累方法了.

(1-1/3)(1-1/3^2)
=1 - 1/3 - (1-1/3) * 1/3^2
>1 - 1/3 - 1 * 1/3^2
=1 - 1/3 - 1/3^2
类似地处理n次,得
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)…(1-3^n)
>1 - 1/3 - 1/3^2 - 1/3^3 … - 1/3^n
=2 - ( 1 + 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 … + 1/3^n )
=2 - 1/(1 - 1/3) + 1/3^(n+1)
=2 - 3/2 + 1/3^(n+1)
=1/2 + 1/3^(n+1)
>1/2
十几年书没白读,haha