充分必要条件的证明?在数学中的充分必要条件是怎么证明的?最好给个例子!

不用证明了吧,A的充分必要条件是B就已经有充分性了,不论是A对于B还是B对于A

两个都是可逆阵

当然有啊：就是全微分的定义；
定义一边最有理论价值；但是应用价值较小；
只有充分条件是偏导数连续~；充分条件应用价值最大；
比如求极限：我们几乎不用极限的定义求极限；
而是用其充分条件：等价无穷小,洛必达法者等

命题p,命题q
p是q的充分条件：p可以推出q,q不能推出p
p是q的必要条件：q可以推出p,p不能推出q
p与q是充分必要条件：p可以推出q,q可以推出p

证明如下:充分性:A-A^T对称,那么(A-A^T)^T=A-A^T 又∵(A-A^T)^T=A^T-A ∴A-A^T=A^T-A,移项:∴A=A^T 必要性:A对称那么A=A^T,2A=2A^T,A+A=A^T+A^T,移项:A-A^T=A^T-A=(A-A^T)^T ∴A-A^T对称 ∴n阶矩阵A对称的充分必要条件是A-A^T对称

必要性
f(x)在X上有界即存在M>0.对任意x∈X,有|f(x)|

你想问什么?如果是判断,这是对的.
公式：a*b=|a|*|b|*cos .
如果 |a*b|=|a|*|b| ,说明 cos= 1 或 -1 ,因此夹角为 0° 或 180° ,显然 a//b ；
如果 a//b ,则夹角为 0° 或 180° ,因此 cos= 1 或 -1 ,所以有 |a*b|=|a|*|b| .

∵四边形ABCD是平行四边形,∴向量AB等于向量DC(向量AB等于-向量CD,∵向量AB与CD方向正好相反)
∵向量AB等于向量DC,∴|AB|=|DC|,|AB|‖|DC|
∴四边形ABCD是平行四边形,

证明：
1,必要性：
因为f(x)当x→Xo时极限存在,设为A,则f(x)-A的绝对值

f(X为多少)

若一正和一负根,则根x1,x2的乘积为负数,且判别式为正.
由韦达定理,x1x2=c/a＜0,故ac

例如:f(x)=x+2
当x—>1时 f(x)—>3 此时 f(x)=3+(x-1)
可令b=x-1 当x—>1时,显然 b—>0即b是x—>1时的无穷小.
所谓无穷小就是极限为0的变量.

证明：1,必要性：因为f(x)当x→Xo时极限存在,设为A,则f(x)-A的绝对值-E,A-f(x）

1年前

2

这个不对 是a的绝对值的充分不必要条件,
因为a^2-a+1=(a^2-a+1/4)+3/4=(a-1/2)^2+3/4>0
(a-1)/(a的平方-a+1)>0
则a-1>0
a>1
所以|a|>1
反之|a|>1 (a-1)/(a的平方-a+1)>0 不一定成立
充分不必要条件
|a|>1是a>1或a

证明：
若函数f(x)在X上有界,
则存在M>0,对任意x∈X,
|f(x)|

含有一个向量α的向量组,线性无关的充分必要条件是 α≠0

既不是充分条件,也不是必要条件.
可能出现的情况如下： 若：a=-1 , b=-2 , a平方=1, b平方=4 此时a平方b平方. 也就是说a>b 推不出来a平方>b平方.反之亦然.

Q是P充分必要条件.
理由如下：
假设非P为命题A,非Q为命题B
如果命题A是命题B的充要条件,那么命题B也是命题A的充要条件
B既然是A的充要条件,就同时包括充分和必要两个条件
先从必要条件分析,只有B才能推出A,即：非B就一定非A,也就是说非B是非A的充分条件,代入假设中,即Q是P的充分条件
再从充分条件分析,只要B就一定能推出A,则A是B的必要条件,非A就一定非B,代入假设中,只要P就一定Q,即Q是P的必要条件.
综上所述：Q同时满足是P的充分条件,也满足是P的必要条件,故Q是P充分必要条件.
祝你开心!

一元二次方程ax²+bx+c恒大于零的充分必要条件是：
a＞0且同时满足b²-4ac＜0

1、你的见解是有理由的.这里不用给出“循环论证”与“互为充分必要条件”的具体定义来,可以从百度百科中查到.你的困惑不在定义,而在它们的功能上或目的上.当然功能可以从定义中隐约中看到.
2、简单地说,循环论证,它的目的是论证.充分必要条件,它的目的是说明.论证的意思就是肯定,而说明并不包含肯定的意蕴.在一个论证中,显然是说结论是由前提符合逻辑地推论的,而且前提是个显然正确的陈述,所以结论必然正确.而在充分必要条件中,如果A与B互为充要条件,那么A正确,则B必然正确,反之亦然.充要条件只是说A和B的真值相同.这里的A并不是一个显然正确的陈述,而是一个可是可否的陈述.因而B虽然是A的充要条件,但B也未必是真的.
3、用另一句话来说,就是论证要表达的是一个必然关系；而条件只是表达关系,而不包含必定是必然关系的意思.在充要条件中,恰恰因为A和B两者构成了充要条件,所以它们不构成论证关系.也就是说恰恰是因为它们互为充要条件,所以它们不能作为对方的前提而存在：A和B要么同为前提,要么同为结论.

a=-5,b=0,甲成立,乙不成立,所以不是充分条件.
a=0,b=-5,乙成立,甲不成立,所以不是必要条件.
所以即不是充分又不是必要条件

不矛盾.具有n个线性无关的特征向量是一个推论而非唯一的判定条件.第二句话的意思是说矩阵具有什么条件我们才能推导出它可以对角化是复杂的问题,而第一句话是给出了在线性代数知识背景下的一个判别条件.

x'=Ax,矩阵A的特征值均具有非正实部,即实部为零或负,且零实部特征值只能为A的最小多项式的单根.可根据特征值判据或者Lyapunov判据

所有特征值的实数部分小于0

偶来了,
1,就是当b=0时,F(x)=ax²+c是偶函数（冲,这个你应该会证）,在反着证一次.F(x)=ax²+bx+c,肯定b=0啊,平方肯定是偶函数,有一次项就不一定关于Y轴对称.
2,是三新上的原题,求三个方程没实根a的范围,再反过来就行了
3.图就是AB间是一段小弧,设出圆的一般方程x²+y²Cx+Dy+E=0,带点,圆心到准线的距离为R
4.这题我也不是特会
5|MF2|-|MF1|=2a=4,|NF2|-|NF1|=2a=4,这两个狮子一加就行了.

闭环极点都位于S平面左侧；系统的特性方程的根都在Z平面上以原点为圆心的单位圆内.

证明跟这题类似,

这是教材中的定理
好长的证明
去看看北大的高等代数教材吧,上面有证明

选D啦.因为一个向量组若有线性相关的部分组,则该向量组必线性相关.

两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数.
首先合同是等价关系.可以传递.
每个实对称矩阵都可以通过正交矩阵相似于（由特征值构成的）对角矩阵,因为正交矩阵的特点,那么他也合同与由对特征值构成的对角矩阵.
下证,对角矩阵如果正负数元素个数相同,则一定合同.
先证明,对角矩阵一定可以合同与一个对角线上只有正负一以及0的对角矩阵.
设对角矩阵对角线A上第i个元素为a（不为零）,那么设P为用（a的绝对值）^0.5乘E的第i行得到的初等矩阵,那么P^TAP也是个对角矩阵,对角线上除了第i个元素其他和A相同,且第i个元素为正负一,且与a同号.依次这么做,A对角线上所有元素可化为正负一以及0.
再证明,对角线上只有正负一以及0的对角矩阵,只要正负一的个数相同就合同.设对角线上只有正负一以及0的对角矩阵为A,那么用对调ij行的初等矩阵左右乘A,恰使得A的对角线上第i和j个元素对调,其他不变,故命题成立.
结合这两点,易得对角矩阵如果正负数元素个数相同,则一定合同.
那么现在,
两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数.
这个结论也是显然的了.

必要性：
R(A)=r等价于存在可逆阵P,Q使得A=PDQ,其中
D=
I_r 0
0 0
由此可以构造出A=BC (注意,不是AB=C)
充分性：
考虑B和C里面的满秩rxr子阵即可

解题思路：运用根与系数的关系，得出p与方程根的关系，利用整除性得出方程x²+px+kp-1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1．

充分性，若k=1，则方程有两个整数根，x₁=1，x₂=p-1；
必要性，设方程x²+px+kp-1=0有整数解x₁和另一根x₂，由根与系数的关系得：
x₁+x₂=-p，x₁x₂=kp-1．①
由①知x₂也是整数根，假设k＞1，
（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=（k-1）p，②
因为p为素数，k-1＞0，由②得：p/x₁+1，或p/x₂+1，
不妨设p/x₁+1，则有

x1+1＝±mp
x2+ 1＝±
k−1
m
其中m为正整数，且m整除k-1
由上式相加得：x₁+x₂+2=±（mp+[k−1/m]）．
由①得：-p+2=±（mp+[k−1/m]）③
若③中右边取正号，则有
（m+1）p+[k−1/m]=2，
显然，此式左边大于2，矛盾，若③中右边取负号，则有
（m-1）p+2+[k−1/m]=0
此式左边大于0，矛盾．
因此，k=1．

点评：
本题考点： 一元二次方程的整数根与有理根；解一元二次方程-因式分解法．

考点点评： 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和素数以及方程整数根的性质，综合性较强．

第一个,如果你的题目没抄错的话,因为f'(x)=0,那么意味着f(x)的值就是一个常数,因为f(x0)=0,f(x)恒为0,显然绝对值f(x)可导,充分性成立,必要性的话,你可以画图,好理解点,f(x)在x0处连续,且值为0,如果绝对值f(x)在x0可导,那么绝对值f(x)的图像在x0处必然是连续而且平滑相连的,而不是突然弯折的（绝对值f(x)的图像相当于f(x)沿x轴向上翻折）,既然绝对值f(x)的图像在x0处是连续平滑相连的,那你把它翻回去,f(x)在x0处的图像也肯定是连续且平滑相连的,所以能得出f'(x0)=0,得不出你题目中的f'(x)=0（所以怀疑你题目抄错了）
第二题,你那个符号我打不出来,用f(x)代替好了.下面的演算过程从左或右趋向x都一样.
若g(a)=0,
lim[x→a] [F(x)-F(a)]/(x-a)
=lim[x→a] [f(x)g(x)-f(a)g(a)]/(x-a)
=lim[x→a] f(x)g(x)/(x-a)
=lim[x→a]f(x)*lim[x→a] g(x)/(x-a)
=f(a)lim[x→a] [g(x)-g(a)]/(x-a)
=f(a)g'(a)
因此f(x)g(x)在x=a可导,充分性成立
设f(x)g(x)在x=a可导
则：lim[x→a] [f(x)g(x)-f(a)g(a)]/(x-a)存在
lim[x→a] [f(x)g(x)-f(a)g(a)]/(x-a)
=lim[x→a] [f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a)]/(x-a)
=lim[x→a] f(x)[g(x)-g(a)]/(x-a)+lim[x→a] g(a)[f(x)-f(a)]/(x-a)
=f(a)g'(a)+g(a)lim[x→a] [f(x)-f(a)]/(x-a)
由于整个式子极限存在,其中lim[x→a] [f(x)-f(a)]/(x-a)不存在,因此只有g(a)=0时上式极限才存在.
因此g(a)=0必要性成立.
或者你直接想.F'(a)=g'(a)f(a)+g(a)f'(a),f'(a)不存在,如果g(a)=0,好了,万事大吉,后面那一项带f'(a)的直接没了,F(x)导数存在且为0,若F(x)在x=a可导,那么g'(a)f(a)+g(a)f'(a)必须能算出来才行,但f'(a)是个不存在的数,啊,如果g(x)不等于0,那这个式子在x=a处没定义,肯定算不出来,所以只能g(x)=0.
总结一下,你发现没,凡是这种在某点可导还是不可导题目,抓住最重要的一点,根据条件能否证明函数在该点,1、有定义；2、连续；3、该点处左右导数存在且相等（就是第一题我上面说的“平滑相连”）.3点满足则该点可导.你就死掐这3点,像第一题那样简单些的,画图看也行,像第二题复杂点的,想象不出来,就只能根据导数存在的定义做喽.就看能不能证出这3点.
我以前学这部分时也晕,不过现在好了~~不明白就追问~~

对于∀ε>0,∃A,G>0,当x>G使,|f（x）-A|

f(x)有界则 存在0

a,b>0

当向量个数 与 向量的维数 相等时,上述结论成立.

1 充分性.
因为|A|不等于0,故A可逆,X=A^(-1)*B.
2 必要性.
由于AX=B对于任意B有解,则r(AiB)=r(A),且r(AiB)=n,
故r(A)=n,
所以它的系数矩阵A的行列式|A|不等于0.

这样看看可以不
AX=B 有解
Axi = bi
bi 可由 A 的列向量组线性表示
B 的列向量组可由A的列向量组线性表示
R(A,B) = R(A)

这是无聊的人写书时的无聊习惯,自以为是严格的方法.
举两个例子：
英文例子：return back,back 是多此一举.
中文例子：快捷,快=捷=快捷
连续=不断=连续不断
这种写法的意思是：
当x→0,或x→∞.意思是趋近就一直趋近,不要趋来趣去,该来改去,变来变去.其实我们的脑子里在考虑“趋近于”,本来就没有想到趋来趋去.我们考虑变化,从来都是同一变化,“同”样的按“一”样的规律变化,一样的趋势变化,一样的方式变化.“x→x₁”表示越来越趋近于,无限地趋近于.
本人的解释,是不是也啰嗦了?体会到什么是“啰哩啰唆”了吧?
我们的老师都有习惯性的共同的职业毛病,这是其一也.

由极限定义：|f(x)|

不是
若改成存在可逆矩阵U, 满足 A=U^TU 则 A是正定的.
此时即 A 与 单位矩阵合同.
设A是实对称矩阵,则下列条件等价:
1.A是正定的
2.A的正惯性指数等于它的阶数n
3.A相合于单位矩阵,即存在可逆实矩阵T,使得T'AT=En
4.存在可逆实矩阵S,使得A=S'S
5.A的所有顺序主子式都大于0
6.A的所有主子式都大于0

我是一个数学老师很高兴为你回答这个问题,分两种情况：一,如果因为A所以B是真命题的话那A就是B的必要条件.二,如果因为A所以B是假命题那A就不一定是B的必要条件.

对的，充分条件，之前面的条件能推出结论，意思是条件比结论范围小（条件被涵盖在结论范围之内，条件成立结论就成立）。必要条件是结论推得出条件，意思是条件比结论范围大。谁在前面谁就是条件。

必要性：α1,α2,…αn线性无关,对于任一n维向量X,设X=t1 *α1+t2 *α2,…+tn *αn那么它们组成的方程组的系数行列式不为0,,那么通过方程组的理论你可以知道 方程组有解,且解唯一 .
充分性：任何一个n维向量可以由它们线性表示,那么它们可以线性表示 e_1,e_2...e_n（单位向量） 那么显然它们可以由 e_1,e_2...e_n 线性表示 故两个向量组等价 ,所以它们也线性无关

E 是单位矩阵
对任意同阶方阵A, EA=AE=A
所以有 B^2+BE+EB+E^2 = B^2+B+B+E=B^2+2B+E

a1,a2,a3...as 不全为0
a1,a2,a3...as 全为0 与 秩为0为充要条件
其逆否命题即为结论

（1）
g(x)|f(x),那么对于任意的n都有,g(n)|f(n)
（2）
要证明多项式整除,一般采取验证它的余式为0.
要想有余式,那么要求f(x)的次数比g(x)要至少一样大.
下面证明.
既然有无穷多个整数都满足g(n)|f(n),根据皮亚诺公理,
那么一定存在充分大的整数满足g(n)|f(n).
假若def（g(x)）＞def（f(x)）,那么
可以取到足够大的整数,使得g(n)＞f(n),与已知条件矛盾.
于是证明了def（g(x)）≤def（f(x)）
那么可以按余式形式,设
f(x)=p(x)·g(x)+r(x),其中def（r(x)）≤def(g(x))
那么显然是有无穷多个n,使得
f(n)=p(n)·g(n)+r(n),
注意到,因为n是数字,
因而上面的式子不是多项式,是数字的带余数除法,那么我们可以作算术除法：
f(n)/g(n)-r(n)/g(n)=p(n)
注意到,p(n)一定是整数.
既然g(n)|f(n),
那么会有r(n)/g(n),并且存在无穷多个n都满足.
由def（r(x)）≤def(g(x)),
那么对于充分大的n,一定存在g(n)＞r(n)
只能r(x)=0
证明完毕.
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