排序不等式证明设x>0,求证1+x+x^2+x^3+.+x^(2n)>=(2n+1)*x^n实在用排序证不出来用其他的也

解题思路：由排序原理：顺序和≥反序和，结合基本不等式，即可得到结论．

证明：不妨设a≥b≥c＞0，∴a²≥b²≥c²，
由排序原理：顺序和≥反序和，得：
a³+b³≥a²b+b²a，b³+c³≥b²c+c²b，c³+a³≥a²c+c²a
三式相加得2（a³+b³+c³）≥a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）．
又a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca．
所以2（a³+b³+c³）≥6abc，
∴a³+b³+c³≥3abc．
当且仅当a=b=c时，等号成立．

点评：
本题考点： 排序不等式．

考点点评： 本题考查排序原理：顺序和≥反序和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

你说的没错 总共是有n!种不同的和 ,排序不等式告诉我们在这些和中 顺序和最大,逆序和最小. 至于证明切比雪夫不等式时,只选了其中n种和 凑成了
（a1+a2+.+an）（b1+b2+.+bn） 的形式 它再除以n 自然是介于顺序和和逆序和之间了

需要a1,a2,a3的限制条件

解题思路：由（a³+b³）-（a²b+ab²）=（a+b）（a-b）²≥0，得a³+b³≥a²b+ab²，同理，a³+c³≥a²c+ac²，b³+c³≥b²c+bc²三式相加，能证明2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

证明：先证明：a³+b³≥a²b+ab²，
∵（a³+b³）-（a²b+ab²）
=a²（a-b）-b²（a-b）
=（a²-b²）（a-b）
=（a+b）（a-b）²
≥0，
∴a³+b³≥a²b+ab²，取等号的条件是a=b，
同理，a³+b³≥a²b+ab²，
a³+c³≥a²c+ac²，
b³+c³≥b²c+bc²
三式相加，得：
2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b），
取等号的条件是a=b=c，
∴2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

点评：
本题考点： 排序不等式．

考点点评： 本题考查不等式的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意作差法的合理运用．

一个比较可行的做法就是大家按从快到慢的顺序排好队,分别在2个水龙头之间,一个龙头空闲便马上补上去,这样能最省时间.
对了 这个方法比较粗糙的最快,
但从精细方面说不是绝对的,比如最后 一个比较大,那么一个最后的时候 一个龙头空,一个龙头还要好长时间才能完成 ,也不是最科学的.具体算法现在还没有.这个在最初就要把方案定好,以免让一个龙门空太长时间

设依次时间为a、b、c、d、e分钟,则：
总时间为：5a+4b+3c+2d+e
若要最少,则：5x4+4x5+3x6+2x8+10=84分钟
顺便比较一下最长时间是：5x10+4x8+3x6+2x5+4=114分钟,两者差30分钟哦!
尤其是当第一个人要是用10分钟时,其他4人也要等上10分钟,一下子就5x10=50分钟去掉了.

证明：不妨设a≥b≥c 2acosC+2bcosB+2ccosA ≥acosB+bcosC+ccosA+acosC+bcosA+ccosB（排序不等式）……① 因为在△ABC中,对边a、b、c与角A、B、C有：sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB……② 且对②式用正弦定理有：a=bcosC+ccosB 所以①式右端=a+b+c,即：2acosC+2bcosB+2ccosA ≥a+b+c 所以a+b+c≤2acosC+2bcosB+2ccosA 得证

不妨设a>=b>=c,所以(a^12/bc+b^12/ca+c^12/ab)=(a^10*a^2/bc+b^10*b^2/ac+c^10*c^2/ab),然后由排序不等式得(a^10*a^2/bc+b^10*b^2/ac+c^10*c^2/ab)>=1/3*(a^10+b^10+c^10)*（a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab）
而（a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab）由均值不等式得>=3,
所以(a^12/bc+b^12/ca+c^12/ab)=(a^10*a^2/bc+b^10*b^2/ac+c^10*c^2/ab)>=1/3*(a^10+b^10+c^10)*（a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab）>=a^10+b^10+c^10
得证

就是将b1,b2,……,bn的下标进行重新排序所组成的新的一列数 ,具体的说它可以是b5,b3,b6,...,b1(一共N个数,顺序随意,不重复）

解题思路：由（a³+b³）-（a²b+ab²）=（a+b）（a-b）²≥0，得a³+b³≥a²b+ab²，同理，a³+c³≥a²c+ac²，b³+c³≥b²c+bc²三式相加，能证明2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

证明：先证明：a³+b³≥a²b+ab²，
∵（a³+b³）-（a²b+ab²）
=a²（a-b）-b²（a-b）
=（a²-b²）（a-b）
=（a+b）（a-b）²
≥0，
∴a³+b³≥a²b+ab²，取等号的条件是a=b，
同理，a³+b³≥a²b+ab²，
a³+c³≥a²c+ac²，
b³+c³≥b²c+bc²
三式相加，得：
2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b），
取等号的条件是a=b=c，
∴2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

点评：
本题考点： 排序不等式．

考点点评： 本题考查不等式的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意作差法的合理运用．

先去分母,变成x^13+y^13+z^13>=xyz(x^10+y^10+z^10).(1)
(1)的左边是以下两个数列对应项之积的和：
x^10,y^10,z^10.
x^3,y^3,z^3 .
这两个数列都是递减的.
由排序不等式,顺序和大于乱序和：
x^13+y^13+z^13>=x^10y^3+y^10z^3+z^10x^3 (2)
x^13+y^13+z^13>=x^10z^3+y^10x^3+z^10y^3 (3)
x^13+y^13+z^13 = x^13+y^13+z^13 (4)
将(2),(3),(4)三式相加得：
3(x^13+y^13+z^13）>=(x^10+y^10+z^10)(x^3+y^3+z^3)
所以3(x^13+y^13+z^13）>=(x^10+y^10+z^10)(3xyz)
即x^13+y^13+z^13>=(x^10+y^10+z^10)(xyz)
(1)式证毕,所以原不等式成立.
（柯西先生答）

可以.是用逐步调整法证明的..
参见百科

解题思路：由排序原理：顺序和≥反序和，结合基本不等式，即可得到结论．

证明：不妨设a≥b≥c＞0，∴a²≥b²≥c²，
由排序原理：顺序和≥反序和，得：
a³+b³≥a²b+b²a，b³+c³≥b²c+c²b，c³+a³≥a²c+c²a
三式相加得2（a³+b³+c³）≥a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）．
又a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca．
所以2（a³+b³+c³）≥6abc，
∴a³+b³+c³≥3abc．
当且仅当a=b=c时，等号成立．

点评：
本题考点： 排序不等式．

考点点评： 本题考查排序原理：顺序和≥反序和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

解题思路：由（a³+b³）-（a²b+ab²）=（a+b）（a-b）²≥0，得a³+b³≥a²b+ab²，同理，a³+c³≥a²c+ac²，b³+c³≥b²c+bc²三式相加，能证明2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

证明：先证明：a³+b³≥a²b+ab²，
∵（a³+b³）-（a²b+ab²）
=a²（a-b）-b²（a-b）
=（a²-b²）（a-b）
=（a+b）（a-b）²
≥0，
∴a³+b³≥a²b+ab²，取等号的条件是a=b，
同理，a³+b³≥a²b+ab²，
a³+c³≥a²c+ac²，
b³+c³≥b²c+bc²
三式相加，得：
2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b），
取等号的条件是a=b=c，
∴2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

点评：
本题考点： 排序不等式．

考点点评： 本题考查不等式的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意作差法的合理运用．

设a>=b>=c>=d,则a+b>=b+c
1/a+b=a/(b+a)+d/(b+c)
同理得：
b/(d+c)+c/(d+a)>=b/(d+a)+c/(d+c)
相加得：
a/(b+c)+b/(d+c)+c/(d+a)+d/(b+a)>=a/(b+a)+d/(b+c)+b/(d+a)+c/(d+c)>=2
故a/(b+c)+b/(d+c)+c/(d+a)+d/(b+a)>=2
晴L：难怪没人答你~还看出来你题目问的有问题?
应该这样~[a/(b+c)]+[b/(c+d)]+[c/(d+a)]+[d/(a+b)]>等于2

不妨设a

c/a+ca/b+ab/c
=(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/abc
=2(b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2)/2abc
=[a^2(b^2+c^2)+b^2(a^2+c^2)+c^2(a^2+b^2)]/2abc
因为
a^2+b^2>=2ab,
b^2+c^2>=2bc,
a^2+c^2>=2ac
所以
原式=[2abc（a+b+c)]/2abc
=a+b+c当且仅当a=b=c时等号成立
>=a+b+c
所以:bc/a+ca/b+ab/c>=a+b+c

一是先来先打水,不能加塞!
二是打水时间少的在前
4分钟,5分钟,6分钟,8分钟,10分钟
4*5人+5*4人+6*3人+8*2人+10*1人

右边需要除个n 否则不成立
展开排一下就正了

解题思路：由排序原理：顺序和≥反序和，结合基本不等式，即可得到结论．

证明：不妨设a≥b≥c＞0，∴a²≥b²≥c²，
由排序原理：顺序和≥反序和，得：
a³+b³≥a²b+b²a，b³+c³≥b²c+c²b，c³+a³≥a²c+c²a
三式相加得2（a³+b³+c³）≥a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）．
又a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca．
所以2（a³+b³+c³）≥6abc，
∴a³+b³+c³≥3abc．
当且仅当a=b=c时，等号成立．

点评：
本题考点： 排序不等式．

考点点评： 本题考查排序原理：顺序和≥反序和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

没必要用排序不等式,柯西不等式即可
由柯西不等式：(a²+b²)×(1²+1²）≥(a+b)²得(a²+b²)≥(a+b)²/2
故同理有：(c²+b²)≥(c+b)²/2,(a²+c²)≥(a+c)²/2
则原式≥(a+b)/√2+(a+c)/√2+(c+b)/√2=√2(a+b+c),证毕

lg((a+b)/2)+lg((a+c)/2)+lg((c+b)/2)>=lga +lgb+lgc
(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc
用均值不等式就可以了：
a+b>=2√ab
b+c>=2√bc
c+a>=2√ca
三式相乘即得：
(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc
故原不等式成立,证毕.
如果非要用排序不等式的话,也可以的,直接代入乘积形式的排序不等式就行
参见下面的证明【思路跟证明排序不等式一样,调整法.】
（关于排序和的乘积的不等式）设有两组有序正数：
0＜a1≤a2≤…≤an,0＜b1≤b2≤…≤bn
则对于1,2…n的任一排列i1,i2,…in,有
(a1+b1)(a2+b2)…(an+bn)（同序和的乘积）
≤(a1+bi1)(a2+bi2)…(an+bin)（乱序和的乘积）
≤(a1+bn)(a2+bn-1)…(an+b1)（逆序和的乘积）
证明 ：若bi1≤bi2≤…≤bin,则bik=bk(k=1,2,…,n),那么,同序和的乘积=乱序和的乘积；
若bi1,bi2,…bin中至少有两个反序,不妨设bi1＞bi2那么
(a1+bi1)(a2+bi2)-(a1+bi2)(a2+bi1)=(a1-a2)(bi2-bi1)＞0.
由此,同序和的乘积＜乱序和的乘积.进而,若bi1,bi2,…,bin是全反序,则乱序和的乘积≤逆序和的乘积.
事实上,也可以用柯西不等式的推广【holder不等式】直接证明：
(a+b)(b+c)(c+a)>=（(abc)^(1/3)+(bca)^(1/3)）^3=8abc 【注意字母的顺序】
其实用最一般的想法也可以：A>=B A-B>=0
(a+b)(b+c)(c+a)-8abc
=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-6abc
=ab(a-c)+ac(a-b)+ba(b-c)+bc(b-a)+ca(c-b)+cb(c-a)
=b(a-c)^2+c(a-b)^2+a(c-b)^2
>=0
方法还有很多,楼主可以自己研究下.

不妨设
a1≥a2≥a3
则a1a2≥a1a3≥a2a3
(a1*a2)/a3+(a2*a3)/a1+(a3*a1)/a2≥a1+a2+a3
即证(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3^2)≥(a1+a2+a3)a1a2a3
(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1^2a2a3+a1a2^2a3+a1a2a3^2
同序和≥乱序和
(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1a2*a1a3+a1a2*a2a3+a1a3*a2a3
即(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1^2a2a3+a1a2^2a3+a1a2a3^2
则原不等式得证

a^(3a)*b^(3b)*c^(3c)/[(abc)^(a+b+c)]
=a^(2a-b-c)*b^(2b-c-a)*c^(2c-a-b)
=(a/b)^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a),
当a>=b>0时a/b>=1,a-b>=0,(a/b)^(a-b)>=1;
当0=1,(abc)^(a+b+c)>0,
∴a^(3a)*b^(3b)*c^(3c)>=(abc)^(a+b+c),
两边开立方,就得待证式.

1、两边取对数则alga+blgb>algb+blga
不妨设a>b>0,则lga>lgb
由排序不等式alga+blgb>algb+blga
故不等式成立
2、不妨设a>=b>=c,则lga>=lgb>=lgc,所以
alga+blgb+clgc>=blga+clgb+algc
alga+blgb+clgc>=clga+algb+blgc
相加得2alga+2blgb+2clgc>=(b+c)lga+(a+c)lgb+(a+b)lgc
即(a^2a)(b^2b)(c^2c)>=[a^(b+c)][b^(c+a)][c^(a+b)]

不妨设：00

设A≥B≥C(上式对称)
A+B≥A+C≥B+C
1/(B+C)≥1/(A+C)≥1/(A+B)
A/(B+C)+B/(C+A)+C/(A+B) (同序和)
≥B/(B+C)+C/(C+A)+A/(A+B) (乱序和)
同理 A/(B+C)+B/(C+A)+C/(A+B)≥C/(B+C)+A/(C+A)+B/(A+B)
两式相加 得:
A/(B+C)+B/(C+A)+C/(A+B)≥3/2